7.3.2 离散型随机变量的方差-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦离散型随机变量的方差这一核心知识点，系统梳理方差及标准差的概念、计算步骤，深入探究方差的性质（如D(aX+b)=a²D(X)），并结合均值与方差的实际应用，构建从集中趋势到离散程度的完整知识体系，为后续统计分析提供学习支架。 该资料以灯泡寿命比较等现实情境引入概念，引导学生用数学眼光观察数据波动，通过推导方差性质培养数学思维的逻辑性，结合广告投放方案决策等实例，让学生用数学语言表达和解决实际问题。课中助力教师引导学生理解概念，课后通过对点练习和任务再现帮助学生巩固知识、查漏补缺。

7.3.2　离散型随机变量的方差 学习目标 1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念，培养数学抽象的核心素养.　2.能计算简单离散型随机变量的方差，掌握离散型随机变量的方差的性质，培养数学抽象、数学运算的核心素养.　3.能够运用离散型随机变量的均值和方差解决一些实际问题，提升数学建模、数学运算的核心素养. 任务一　离散型随机变量的方差 (阅读教材P67－68，完成探究问题1) 问题1.有两批灯泡，其平均寿命都是1 000 h，其中一批灯泡大部分的寿命集中在950 h～1 050 h；另一批灯泡一部分寿命很长，能达到1 500 h，另一部分寿命很短，只能达到500 h左右.如何判断灯泡质量的好坏呢？ 提示：两个随机变量的均值相同，即“平均水平”相同，但此时其取值却存在较大的差异. 为了判断灯泡质量的好坏，还需要进一步考察灯泡寿命X与其均值E(X)的偏离程度.若偏离程度小，则灯泡的寿命比较稳定；若偏离程度大，则灯泡寿命的稳定性比较差. 设离散型随机变量X的分布列如表所示. X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2.因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度.我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X). [微提醒]　(1)一般地，随机变量的方差是非负常数.(2)D(X)越小，随机变量X越稳定，波动越小.(3)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)(其中p为成功概率). [微思考]　随机变量的方差与样本方差有什么关系？ 提示：随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的.对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差. (链教材P69例5)有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在卡片上分别写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令X＝x·y.求随机变量X的方差. 解：依题意，知X的可能取值为0，1，2，4. 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝4)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 4 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1， D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(4－1)2×＝. 求离散型随机变量的方差的步骤 第1步：理解随机变量X的意义，写出X的所有取值； 第2步：求出X取每个值的概率； 第3步：写出X的分布列； 第4步：计算E(X)； 第5步：计算D(X). 学生用书⬇第49页 对点练1.(1)已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝1)＝0.2，那么D(X)＝　　　　. (2)随机变量ξ的分布列如下表所示，则D(ξ)＝　　　　. ξ 1 2 3 P 1－m 3m2－m－ 答案：(1)0.16　(2) 解析：(1)因为随机变量X服从两点分布，且P(X＝1)＝0.2，所以P(X＝0)＝1－0.2＝0.8，所以E(X)＝0×0.8＋1×0.2＝0.2，所以D(X)＝(0－0.2)2×0.8＋(1－0.2)2×0.2＝0.16. (2)依题意，得＋1－m＋3m2－m－＝1，故3m2－2m＝0，解得m＝或m＝0(舍去)，故随机变量ξ的分布列如下： ξ 1 2 3 P 故E(ξ)＝＋2×＋3×＝，D(ξ)＝×(1－)2＋×(2－)2＋×(3－)2＝. 任务二　离散型随机变量方差的性质 (阅读教材P68－69，完成探究问题2、3) 问题2.我们知道，若X是离散型随机变量，则Y＝X＋b(b是常数)也是随机变量，利用方差的含义你能推理出D(X)与D(X＋b)的关系吗？ 提示：因为离散型随机变量X加上一个数b，其均值相应加上数b，故不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即方差D(X)＝D(X＋b). 问题3.若X是离散型随机变量，则Y＝aX(a是非零常数)也是随机变量，根据方差的含义，你认为D(X)＝D(aX)还成立吗？ 提示：不成立，因为离散型随机变量X乘上一个数a，离散程度明显发生变化. 1.D(aX＋b)＝a2D(X). 2.D(X)＝E(X2)－(E(X))2. [微提醒]　 特例 方差 意义 a＝0 D(b)＝0 常数的方差等于0 a＝1 D(X＋b) ＝D(X) 随机变量与常数之和的方差与随机变量的方差相同 b＝0 D(aX)＝a2D(X) 常数a与随机变量的乘积的方差是随机变量的方差的a2倍 (1)随机变量X的分布列如下，且E(X)＝，则D(X)＝(　　) X 0 1 2 P 0.2 p1 p2 A.0.64 B.0.32 C.0.16 D.0.08 (2)(双空题)设随机变量X，Y满足Y＝2X＋b(b为非零常数)，若E(Y)＝4＋b，D(Y)＝32，则E(X)＝　　　　，D(X)＝ 　　　　. 答案：(1)C　(2)2　8 解析：(1)依题意， 得所以D(X)＝D(X)＝×[0.2×(1.4－0)2＋0.2×(1－1.4)2＋0.6×(2－1.4)2]＝×(0.392＋0.032＋0.216)＝0.16.故选C. (2)设随机变量X，Y满足Y＝2X＋b(b为非零常数)，因为E(Y)＝4＋b，D(Y)＝32，则E(Y)＝2E(X)＋b＝4＋b，所以E(X)＝2，又因为D(Y)＝22·D(X)＝32，所以D(X)＝8. 求随机变量Y＝aX＋b的方差的方法 1.定义法：先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差. 2.性质法：应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解. 对点练2.(1)已知随机变量X满足E(2X＋3)＝7，D(2X＋3)＝16，则下列选项正确的是(　　) A.E(X)＝，D(X)＝ B.E(X)＝2，D(X)＝4 C.E(X)＝2，D(X)＝8 D.E(X)＝，D(X)＝8 (2)已知随机变量的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，则D(2X－1)＝　　　　. 答案：(1)B　(2)5 解析：(1)因为E(2X＋3)＝7，D(2X＋3)＝16，所以2E(X)＋3＝7，22D(X)＝16，解得E(X)＝2，D(X)＝4.故选B. (2)因为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，所以E(X)＝×(1＋2＋3＋4)＝， D(X)＝×［(1－)2＋(2－)2＋(3－)2＋(4－)2］＝，所以D(2X－1)＝22D(X)＝4×＝5. 任务三　均值与方差的实际应用 (链教材P69例6)某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告.某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案： 方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元，20万元，40万元，且P(X＝20)＝0.3，均值E(X)＝30. 方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为0.3，0.4，0.3. (1)请写出方案一的分布列，并求方差D(X)； (2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由. 解：(1)设P(X＝0)＝a，P(X＝40)＝b， 依题意，得a＋b＋0.3＝1①，又E(X)＝0×a＋20×0.3＋40b＝30②， 由①②解得a＝0.1，b＝0.6. 所以X的分布列为 X 0 20 40 P 0.1 0.3 0.6 则D(X)＝(0－30)2×0.1＋(20－30)2×0.3＋(40－30)2×0.6＝180. (2)依题意，得Y的分布列为 Y 10 20 30 P 0.3 0.4 0.3 则E(Y)＝10×0.3＋20×0.4＋30×0.3＝20， D(Y)＝(10－20)2×0.3＋(20－20)2×0.4＋(30－20)2×0.3＝60. 由E(X)＞E(Y)可知采用平台广告投放均值收益较大，又D(X)＞D(Y)，说明平台广告投放的风险较高. 综上所述，如果公司期望高收益，选择平台广告；如果公司期望收益稳定，选择传统广告. 学生用书⬇第50页 均值、方差在决策中的作用 1.均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高. 2.方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定. 3.在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断. 对点练3.有甲、乙两家单位都愿意聘用你做兼职员工，而你能获得如下信息： 甲单位不同职位月工资X1/元 1 200 1 400 1 600 1 800 获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1 乙单位不同职位月工资X2/元 1 000 1 400 1 800 2 200 获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解：根据月工资的分布列，可得E(X1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400， D(X1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000， E(X2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400， D(X2)＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋(2 200－1 400)2×0.1＝160 000. 因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)＜D(X2)， 所以两家单位的工资的均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散. 因此，如果希望不同职位的工资差距小一些，可选择甲单位； 如果希望不同职位的工资差距大一些，可选择乙单位. 任务再现 1.离散型随机变量的方差、标准差.2.离散型随机变量方差的性质.3.均值与方差的实际应用 方法提炼 定义法、公式法、性质法 易错警示 方差公式记忆错误；不能理解方差的含义 1.若随机变量X满足D(X)＝0.8，则D(2X－3)＝(　　) A.0.2 B.0.8 C.1.6 D.3.2 答案：D 解析：因为D(X)＝0.8，所以D(2X－3)＝22×D(X)＝4×0.8＝3.2.故选D. 2.(多选)设随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝(k＝1，2，3)，则(　　) A.E(X)＝ B.D(X)＝ C.E(3X＋1)＝7 D.D(3X＋1)＝5 答案：ABD 解析：依题意，得E(X)＝1×＋2×＋3×＝，则D(X)＝(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＝，故E(3X＋1)＝8，D(3X＋1)＝5.故选ABD. 3.在一次随机试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数为ξ，则方差D(ξ)的最大值为　　　　. 答案： 解析：依题意，得0－1分布的分布列为 ξ 0 1 P 1－p p 则D(ξ)＝p(1－p)＝p－p2(0≤p≤1)，故当p＝时，D(ξ)取到最大值. 4.甲、乙两名同学在一次答题比赛中答对题数的概率分布分别如下表所示.试分析甲、乙两名同学的成绩. 甲 答对题数X甲 0 1 2 3 概率 0.1 0.2 0.4 0.3 乙 答对题数X乙 0 1 2 3 概率 0.2 0.1 0.3 0.4 解：甲、乙两人答对题数的均值分别为E(X甲)＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.4＋3×0.3＝1.9， E(X乙)＝0×0.2＋1×0.1＋2×0.3＋3×0.4＝1.9. 方差分别为D(X甲)＝(0－1.9)2×0.1＋(1－1.9)2×0.2＋(2－1.9)2×0.4＋(3－1.9)2×0.3＝0.361＋0.162＋0.004＋0.363＝0.89， D(X乙)＝(0－1.9)2×0.2＋(1－1.9)2×0.1＋(2－1.9)2×0.3＋(3－1.9)2×0.4＝0.722＋0.081＋0.003＋0.484＝1.29. 由上面的数据，可知E(X甲)＝E(X乙)，D(X甲)＜D(X乙). 这表示甲、乙两人答对题数的均值相等，但两人答对题的稳定程度不同，甲同学较稳定，乙同学波动较大. 学科网（北京）股份有限公司 $