7.3.1 离散型随机变量的均值-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学离散型随机变量的均值，从西瓜重量实例抽象出均值概念，明确两点分布均值公式，探究Y=aX+b的均值性质，通过比赛得分、糖果定价等实际问题应用，构建“概念-性质-应用”的学习支架。 以任务驱动整合实例与理论，通过取球问题培养数学抽象，结合比赛策略选择、混合糖果定价等情境提升数学建模与运算能力。课中助力教师高效授课，课后便于学生回顾练习，查漏补缺。

7.3　离散型随机变量的数字特征 7.3.1　离散型随机变量的均值 学习目标 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值，培养数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养.　2.掌握两点分布的均值.　3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题，提升数学运算、数学建模的核心素养. 任务一　离散型随机变量的均值 (阅读教材P62－63，完成探究问题1、2) 已知有12个西瓜，其中重5 kg的有4个，重6 kg的有3个，重7 kg的有5个. 问题1.任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，X的取值有哪些？ 提示：5，6，7 问题2.如何求西瓜的平均重量？ 提示：＝＝5×＋6×＋7×＝ kg. 1.离散型随机变量的均值或数学期望 一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示. 学生用书⬇第45页 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. 2.两点分布的均值 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p. [微思考]　离散型随机变量的均值和样本的平均值相同吗？ 提示：不相同，离散型随机变量的均值是一个常数，他不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本的不同而变化. (链教材P63例2)一个袋子里装有编号1，2，3的3个红球与编号1，2的2个黄球，从中逐一取球，已知每个球被取到的可能性相同.若取后不放回，设取完黄球所需的次数为X，求X的分布列及均值. 解：依题意，知X的可能取值为2，3，4，5. 当X＝2时，表示前2次取的都是黄球， 所以P(X＝2)＝＝， 当X＝3时，表示前2次中取得1个黄球，1个红球，第3次取得黄球， 所以P(X＝3)＝＝， 当X＝4时，表示前3次中取得1个黄球，2个是红球，第4次取得黄球， 所以P(X＝4)＝＝， 当X＝5时，表示前4次中取得1个黄球，3个是红球，第5次取得黄球， 所以P(X＝5)＝＝. 所以X的分布列为 X 2 3 4 5 P 所以E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝4. [变式探究] (变条件)在本例中，从袋中同时取出2个球.求2球的编号之和Y的均值. 解：依题意，知Y的可能取值为2，3，4，5. 所以当Y＝2时，表示2球的编号都是1， 所以P(Y＝2)＝＝， 当Y＝3时，表示2球的编号一个是1，一个是2，所以P(Y＝3)＝＝＝， 当Y＝4时，表示2球的编号一个是1，一个是3；或表示2球的编号一个是2，另一个也是2， 所以P(Y＝4)＝＝， 当Y＝5时，表示2球的编号一个是2，一个是3，所以P(Y＝5)＝＝＝. 所以Y的分布列为 Y 2 3 4 5 P 所以E(Y)＝2×＋3×＋4×＋5×＝. 求离散型随机变量X的均值的步骤 对点练1.盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有2节废电池.若无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值. 解：依题意，知X的可能取值为1，2，3. 则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝， P(X＝3)＝××1＝. 所以抽取次数X的分布列为 X 1 2 3 P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 任务二　离散型随机变量均值的性质 (阅读教材P64－65，完成探究问题3、4、5) 已知X是离散型随机变量，设Y＝aX＋b(其中a，b是常数). 问题3.Y是离散型随机变量吗？Y的取值有哪些？ 提示：Y是离散型随机变量，其取值分别为ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b. 学生用书⬇第46页 问题4.Y取每一个值的概率与X取每个值的概率有何关系？ 提示：因为Y＝aX＋b， 所以P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi). 问题5.能写出Y的分布列吗？ 提示：Y的分布列为 Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 离散型随机变量的均值的性质 1.若Y＝X＋b，其中b是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且E(X＋b)＝E(X)＋b. 2.若Y＝aX，其中a是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且E(aX)＝aE(X). 3.若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b. [微思考]　在Y＝aX＋b中，若a＝1，则E(Y)＝E(X)＋b，你能解释其意义吗？ 提示：若每个数据xi都加上b，则其均值也应该加上b. 已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 设Y＝3X－2，则E(Y)＝(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：A 解析：法一：依题意，知＋＋m＝1，解得m＝.随机变量Y的分布列为 Y －2 1 4 P 所以E(Y)＝－2×＋1×＋4×＝.故选A. 法二：由题知，＋＋m＝1，解得m＝，由随机变量X的分布列可得E(X)＝0×＋1×＋2×＝，而Y＝3X－2，所以E(Y)＝3E(X)－2＝3×－2＝.故选A. 求随机变量η＝aξ＋b的均值的方法 1.定义法：先列出η的分布列，再求均值. 2.性质法：直接套用公式：E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可. 对点练2.(1)已知离散型随机变量X的分布列如下，若E(3X＋4)＝5，则a＋b＝(　　) X －1 0 a 2 P b A. B.1 C. D. (2)设随机变量X的分布列如下： X －1 0 1 P 则E(X2)＝　　　　. 答案：(1)C　(2) 解析：(1)依题意，知＋b＋＋＝1，解得b＝，因为E(3X＋4)＝5，所以3E(X)＋4＝5，即E(X)＝，则E(X)＝－1×＋0×＋a×＋2×＝，解得a＝1，所以a＋b＝.故选C. (2)X2的分布列如下： X2 1 0 P 则X2服从两点分布，故E(X2)＝. 任务三　离散型随机变量的均值的实际应用 (链教材P65例4)为了丰富学生的课余生活，某校决定举办竞技比赛.比赛分为“无人机表演”和“机器人操作”两个项目，选手两个比赛项目的顺序自选，若第一个项目不过关，则淘汰；若第一个项目过关则进行第二个项目比赛，无论第二个项目是否合格，比赛都结束.“无人机表演”比赛合格得4分，否则得0分；“机器人操作”比赛合格得6分，否则得0分.已知博文同学参加“无人机表演”比赛合格的概率为0.8，参加“机器人操作”比赛合格的概率为0.7. (1)若博文同学先进行“无人机表演”比赛，记X为博文同学的累计得分，求X的均值； (2)为使累计得分的均值最大，博文同学应选择先进行哪项比赛？并说明理由. 解：(1)依题意，得X的可能取值为0，4，10. 所以P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝4)＝0.8×(1－0.7)＝0.24，P(X＝10)＝0.8×0.7＝0.56. 所以X的分布列为 X 0 4 10 P 0.2 0.24 0.56 所以E(X)＝0×0.2＋4×0.24＋10×0.56＝6.56. (2)若博文同学先进行“机器人操作”比赛，记Y为博文同学的累计得分，Y的可能取值为0，6，10. 所以P(Y＝0)＝1－0.7＝0.3，P(Y＝6)＝0.7×(1－0.8)＝0.14，P(Y＝10)＝0.7×0.8＝0.56. 所以Y的分布列为 Y 0 6 10 P 0.3 0.14 0.56 所以E(Y)＝0×0.3＋6×0.14＋10×0.56＝6.44， 因为E(X)＞E(Y)，所以博文同学应该选择先进行“无人机表演”比赛. 学生用书⬇第47页 1.实际问题中的均值问题 均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计. 2.概率模型的三个解答步骤 第1步，审题：确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些； 第2步，确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值； 第3步，对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论. 对点练3.某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等. (1)假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记X为这颗糖果的单价(元/kg)，求X的分布列. (2)如何对混合糖果定价才合理？ 解：(1)依题意，得X的可能取值为18，24，36. 所以P(X＝18)＝， P(X＝24)＝， P(X＝36)＝. 所以X的分布列为 X 18 24 36 P (2)由(1)可知：E(X)＝18×＋24×＋36×＝23(元/kg)， 所以混合糖果定价23元/kg才合理. 任务再现 1.离散型随机变量的均值.2.离散型随机变量均值的性质.3.离散型随机变量的均值的实际应用 方法提炼 定义法、公式法、性质法、数学建模 易错警示 均值公式及性质记忆错误；不会应用均值对实际问题做出正确分析 1.已知随机变量X的均值为E(X)＝3，则E(3X＋2)＝(　　) A.9 B.11 C.27 D.29 答案：B 解析：因为E(X)＝3，所以E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×3＋2＝11.故选B. 2.(多选)随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如表： X 1 2 3 4 P m n 则下列正确的是(　　) A.E(X)＝12 B.E(X)＝ C.m＝ D.n＝ 答案：BCD 解析：根据分布列可知m＋n＝1－－＝①，因为Y＝12X＋7，所以E(Y)＝12E(X)＋7＝34，解得E(X)＝，又由分布列可得1×＋2×m＋3×n＋4×＝，整理得2m＋3n＝②，①②联立解得m＝，n＝.故选BCD. 3.已知随机变量X取所有值1，2，…，n是等可能的，且E(X)＝2，则n＝　　　　. 答案：3 解析：依题意，得P(X＝1)＝P(X＝2)＝…＝P(X＝n)＝，所以E(X)＝(1＋2＋…＋n)×＝×n×＝＝2，解得n＝3. 4.马老师从课本上抄录一个随机变量X的概率分布列，如下表： X 1 2 3 P ？ ！ ？ 尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同.据此你能求X的数学期望吗？如果能，求出E(X)，如果不能，说明理由. 解：令？的数字是m，则！的数值是1－2m， 所以E(X)＝1×m＋2(1－2m)＋3m＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $