6.2.3-6.2.4 组合 组合数-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“组合”与“组合数”核心知识点，通过实例对比排列与组合概念，系统推导组合数公式及性质，构建从概念理解到公式应用再到问题解决的完整学习支架。 以张兵选大学志愿等情境引入概念，任务驱动式设计（分任务探究组合数公式、性质及应用），结合例题与变式练习，培养数学抽象、数学运算与数学建模素养。课中助力教师分层教学，课后通过对点练和任务再现帮助学生查漏补缺。

6.2.3　组合　　6.2.4　组合数 学习目标 1.通过实例，理解组合的概念，正确认识组合与排列的区别与联系，培养数学抽象的核心素养.　2.能利用计数原理推导组合数公式，掌握组合数公式和组合数的性质，培养数学抽象的核心素养.　3.能运用组合数的性质进行计算，会用组合及组合数公式解决一些简单的组合问题，提升数学运算、数学建模的核心素养. 任务一　组合的概念 (阅读教材P21－22，完成探究问题1、2) 问题1.张兵同学要在甲、乙、丙3所大学选2所大学作为自己的奋斗目标，共有几种不同的选择方式？ 提示：甲乙、甲丙、乙丙三种方式. 问题2.经过三年的努力奋斗，张兵梦想成真，准备从甲、乙、丙3所大学选2所大学作为第一志愿与第二志愿，有多少种报考方法？ 提示：甲乙、乙甲、甲丙、丙甲、乙丙、丙乙六种报考方法. 组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. [微思考]　排列与组合有何区别与联系？ 提示：共同点：两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素；不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素顺序没有关系. (多选)以下四个问题，属于组合问题的是(　　) A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B.从1，2，3，…，9中任取出两个数求积 C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D.从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地 答案：BC 解析：从1，2，3，…，9中任取两个数求积，因为乘法满足交换律，与顺序无关，是组合问题；从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题，而A、D均与顺序有关.故选BC. 组合概念的理解 区分某一问题是排列问题还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组合在一起.区分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化.若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题. 对点练1.判断下列问题是排列问题还是组合问题： (1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分1张，而且票必须分完，有多少种分配方法？ (2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成1个分数，共能构成多少个不同的分数？ (3)若已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，则集合的子集中有3个元素的有多少？ (4)在北京、上海、广州、成都4个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？ 解：(1)4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关，是组合问题. (2)选出的2个数分别作为分子和分母，结果是不同的，是排列问题. (3)已知集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题. (4)飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题；票价只与两站的距离有关，故求票价的种数是组合问题. 学生用书⬇第15页 任务二　组合数的概念、公式及性质 (阅读教材P23－24，完成探究问题3) 问题3.我们知道表示从4个不同元素中选3个元素的排列数，不用列举法，怎么求从4个不同元素中选3个元素的组合数呢？ 提示：可设从4个不同元素中选3个元素的组合数为x，则x＝，即x＝. 1.组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 2.组合数公式 ＝＝，或＝.(n，m∈N*，且m≤n) 规定：＝1. 3.组合数的性质 性质1　＝； 性质2　＝＋. [微提醒]　(1)m≤n，m，n∈N*；(2)＝＝常用于计算；＝常用于证明. (链教材P24例6)计算下列各式的值： (1)＋； (2)＋； (3)＋＋…＋. 解：(1)＋＝＋＝＋100＝5 050. (2)因为所以9.5≤n≤10.5. 因为n∈N*，所以n＝10. 所以＋＝＋＝＋＝＋31＝466. (3)＋＋…＋＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝＝＝330. 组合数的计算问题 1.涉及具体数字的可以直接用公式＝＝计算. 2.计算时应注意组合数的两个性质的运用. 对点练2.(1)若＝，则＋＋…＋的值为(　　) A.34 B.35 C.55 D.56 (2)式子＋的值为(　　) A.27 B.127 C.5 160 D.与n的取值有关 答案：(1)C　(2)A 解析：(1)因为＝，所以m＋m－2＝12⇒m＝7，所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋－1＝－1＝55.故选C. (2)由题中组合数的形式可知解得n＝3，所以＋＝＋＝27.故选A. 学生用书⬇第16页 任务三　组合的简单应用 角度1　利用组合数公式证明恒等式或解方程(不等式) (1)若＞3，求正整数m. (2)证明：·＝·. 解：(1)依题意，得0≤m－1≤8且0≤m≤8， 所以1≤m≤8，由＞3， 可得＞， 即＞，解得＜m≤8， 又因为m∈N*，所以m＝7或m＝8. (2)证明：·＝·＝， ·＝·＝， 因此，·＝·. 1.组合数公式的乘积形式主要用于计算，阶乘形式的公式＝一般用于含字母的式子的化简、证明或解与组合数有关的方程(不等式). 2.要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数的隐含条件为m≤n，且m，n∈N*，并注意验证求解后所得结果是否符合题意. 对点练3.(1)解关于正整数x的方程：＋＝. (2)证明：n＝(k＋1)＋k. 解：(1)由＋＝， ＋＝， 得＝，即＝， 所以＝， 化简可得x(x－1)＝12，解得x＝4或x＝－3， 又∈N*，所以x＝4. (2)证明：依题意可得，(k＋1)＋k＝(k＋1)＋k· ＝＋ ＝(n－k＋k) ＝n·＝n， 所以n＝(k＋1)＋k. 角度2　简单的组合问题 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名. (1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？ (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？ 解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即＝＝45种. (2)可把问题分两类情况： 第1类，选出的2名是男教师有种方法； 第2类，选出的2名是女教师有种方法. 根据分类加法计数原理，共有＋＝15＋6＝21种不同的选法. [变式探究] (变设问)本例条件不变，现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 解：从6名男教师中选2名的选法有种，从4名女教师中选2名的选法有种.根据分步乘法计数原理，共有不同的选法×＝15×6＝90种. 　　解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关；其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏. 对点练4.(1)某单位为了解该公司员工家庭情况，用分层随机抽样方法作抽样调查，现从A部门和B部门共抽取3名员工，已知A部门和B部门分别有6名和3名员工，则不同的抽样结果共有(　　) 学生用书⬇第17页 A.9种 B.18种 C.45种 D.90种 (2)(一题多解)学校召集高二年级6个班级的部分家长座谈，高二(1)班有2名家长到会，其余5个班级各有1名家长到会，会上任选3名家长发言，则发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数为　　　　. 答案：(1)C　(2)30 解析：(1)抽样比为6∶3＝2∶1，所以可以先从A部门抽取2名员工，再从B部门抽取1名员工，不同的抽样结果共有＝15×3＝45种.故选C. (2)法一：若高二(1)班有家长发言，共有种，若高二(1)班没有家长发言，共有种，所以发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数共有＋＝30种. 法二：若从7名家长中任选3人，共有种情况，高二(1)班2名家长都发言的情况有种，所以发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数共有－＝30种. 任务再现 1.组合的概念.2.组合数及组合数公式.3.组合数的简单应用 方法提炼 列举法、公式法、间接法、分类讨论思想 易错警示 排列与组合混淆；组合数公式中的隐含条件“n，m∈N*，m≤n”易忽略 1.书架上有3本不同的数学书，4本不同的物理书，图书管理员从中任取2本，则不同的取法种数为(　　) A.7 B.12 C.21 D.42 答案：C 解析：依题意可知不同的取法种数为＝＝21.故选C. 2.(多选)下列等式正确的是(　　) A.＝ B.＝ C.＝＋ D.n＝m 答案：AB 解析：A是组合数公式，故A正确；B是组合数性质，故B正确；＝＋，故C错误；n＝n·，m＝m·＝·，两者不相等，故D错误.故选AB. 3.计算＝　　　　. 答案： 解析：依题意，＝6×5×4＝120，＝＝10，＝＝100，4！＝4×3×2×1＝24，3！＝3×2×1＝6，所以＝＝＝. 4.某快餐厅推出一种双人组合套餐，每份套餐包括2份主食和2杯饮料，主食有5种可供选择，饮料有4种可供选择，且每份套餐中主食和饮料均不能重复，则这种双人套餐的不同搭配有多少种？(用数字作答) 解：先从5种主食选2种，有＝10种选法，再从4中饮料中选2种，有＝6种选法，所以共有10×6＝60种不同的搭配. 学科网（北京）股份有限公司 $