课时分层评价16 超几何分布-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价16　超几何分布 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9题，每小题5分，共45分) 1.下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(　　) A.将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X B.某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X C.从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，记选出女生的人数为X D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X 答案：C 解析：对于A，将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布，故A不满足；对于B，某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X，则X服从两点分布，故B不满足；对于C，从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，记选出女生的人数为X，则X服从超几何分布，故C满足；对于D，盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X，则X不服从超几何分布，故D不满足.故选C. 2.国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应.某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”.现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：依题意，得恰有2个村是“旅游示范村”的概率为P＝＝.故选C. 3.一箱零件中共有12个零件，其中有3个是尺寸不达标的，从这箱零件中任意选取4个，则不达标的零件全部取到的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：因为一箱零件中共有12个零件，其中有3个是尺寸不达标的，从中任意选取4个，由超几何分布概率计算公式，不达标的零件全部取到的概率为P＝＝.故选A. 4.摇奖器内有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金X(元)为这3个小球上所标数字之和，则获得12元奖金的概率是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，X＝12，故P(X＝12)＝＝.故选A. 5.一箱苹果共有12个苹果，其中有n(2＜n＜7)个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个，恰有2个烂果的概率为，则n＝(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案：B 解析：依题意，得＝，即＝，整理得n2－13n＋36＝0，解得n＝4或9，因为2＜n＜7，所以n＝4.故选B. 6.(多选)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2题才算合格.则下列选项正确的是(　　) A.答对0题和答对3题的概率相同，都为 B.答对1题的概率为 C.答对2题的概率为 D.合格的概率为 答案：CD 解析：设此人答对题目的个数为ξ，则ξ＝0，1，2，3，P(ξ＝0)＝P(ξ＝3)＝＝，故选项A错误；P(ξ＝1)＝＝，故选项B错误；P(ξ＝2)＝＝，故选项C正确；至少答对2题的概率为＋＝，故选项D正确. 7.某医院派出16名护士、4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去A城市支援，设X表示其中内科医生的人数，则P(X＝2)＝　　　　. 答案： 解析：依题意，得P(X＝2)＝＝＝. 8.某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取　　　　时，对应的概率为. 答案：2或3 解析：依题意，知X服从超几何分布，且＝，所以＝＝，所以X＝2或3. 9.(双空题)某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，则黑球的个数为　　　　.若记取出3个球中黑球的个数为X，则E(X)＝　　　　. 答案：3　 解析：设袋中黑球有n个，则从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为P＝＝，可得n＝3；取出3个球中黑球的个数为X服从超几何分布，所以E(X)＝＝＝. 10.(13分)小明从4双鞋中，随机一次取出2只， (1)求取出的2只鞋都不来自同一双的概率； (2)若这4双鞋中，恰有一双是小明的，记取出的2只鞋中含有小明的鞋的个数为X，求X的分布列及均值E(X). 解：(1)依题意，得取出的2只鞋都不来自同一双的概率为＝. (2)依题意，知X的可能取值为0，1，2. 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. (11—13题，每小题5分，共15分) 11.某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月(30天)下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有(　　) A.1张 B.2张 C.3张 D.4张 答案：B 解析：设中奖的概率为p，30天中奖的天数为X，则X～B(30，p)，E(X)＝np.若盒子中的有奖券有1张，则中奖的概率为p＝＝，E(X)＝30×＝6；若盒子中的有奖券有2张，则中奖的概率为p＝＝，E(X)＝30×＝；若盒子中的有奖券有3张，则中奖的概率为p＝＝，E(X)＝30×＝16，盒子中的有奖券越多，中奖率p越大，理论上E(X)就越大，根据题意盒子中的有奖券有2张，更有可能30天中奖11天.故选B. 12.(多选)如图，我国传统珠算算具算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任选3颗，记上珠的个数为X，下珠的个数比上珠的个数多Y，则(　　) A.P(X≠1)＝ B.E(X)＝ C.E(Y)＝ D.D(Y)＝ 答案：BCD 解析：依题意，知X＝0，1，2.所以P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，则E(X)＝＝，P(X≠1)＝＝，故A错误，B正确；依题意，知Y＝－1，1，3.P(Y＝－1)＝P(X＝2)＝，P(Y＝1)＝P(X＝1)＝，P(Y＝3)＝P(X＝0)＝，E(Y)＝＝，D(Y)＝(－1－)2＋(1－)2＋(3－)2＝，故C、D正确.故选BCD. 13.厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.则该商家拒收这批产品的概率是　　　　. 答案： 解析：依题意，知这20件产品中有20－3＝17件合格品，所以该商家接收这批产品的概率为P＝＝＝，故商家拒收这批产品的概率为1－P＝1－＝. 14.(17分)为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性. (1)当N＝10时，求出3人中男性员工人数X的分布列和均值； (2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑，从N名员工(男女比例不变)中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作P1，在二项分布中，即男性员工的人数X～B(3，)，男性员工恰有2人的概率记作P2.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001(即P1－P2≤0.001)的前提下认为超几何分布近似为二项分布.(参考数据：≈24.04) 解：(1)依题意，当N＝10时，男性员工有4人，女性员工有6人， X服从超几何分布，X＝0，1，2，3. 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (2)依题意，知男性员工有N人，女性员工有N人， 则P1＝＝ ＝·， P2＝)2·＝＝0.288， 由于P1－P2≤0.001， 则·－0.288≤0.001， 即·≤0.289＝， 即≤×＝， 依题意，易知(N－1)(N－2)＞0，从而720N(N－1)≤289(N－1)(N－2)， 化简得N2－147N＋578≥0，又N＞0，于是N＋≥147. 由于函数y＝x＋在(，＋∞)上单调递增，且≈24.04， 从而y＝N＋在N≥25时单调递增， 又142＋≈146.07＜147，143＋≈147.04＞147. 因此当N≥143时，符合题意， 而又考虑到N和N都是整数，则N一定是5的整数倍， 则N至少为145时，我们可以在误差不超过0.001(即P1－P2≤0.001)的前提下认为超几何分布近似为二项分布. (15、16题，每小题5分，共10分) 15.(创新题)已知在(－)n的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为ξ，则E(ξ)＝　　　　. 答案： 解析：(－)n的二项展开式的通项为Tk＋1＝)n－k(－)k＝(－)k，(k＝0，1，2，…，n)，依题意，知＝0，解得n＝10，若要取到有理项，则需要10－2k能被3整除，则k＝2，5，8，即在(－)n的二项展开式中，有理项有3项，无理项有8项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为ξ，可知ξ的可能取值为0，1，2，3.所以P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝.所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝. 16.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由题意知，10个数中，1，3，5，7，9为阳数，2，4，6，8，10为阴数，若任取的3个数中有0个阴数，则概率为＝；若任取的3个数中有1个阴数，则概率为＝；故这3个数中至多有1个阴数的概率为P＝＋＝.故选A. 学生用书⬇第60页 学科网（北京）股份有限公司 $