课时分层评价11 全概率公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价11　全概率公式 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9题，每小题5分，共45分) 1.已知事件A，B互斥，且P(A)＝P(B)＝0.5，M满足P(M｜A)＝0.8，P(M｜B)＝0.7，则P(M)＝(　　) A.0.25 B.0.35 C.0.4 D.0.75 答案：D 解析：依题意，事件A，B互斥，且P(A)＋P(B)＝1，所以事件A，B对立，由全概率公式可得：P(M)＝P(A)P(M｜A)＋P(B)P(M｜B)＝0.5×0.8＋0.5×0.7＝0.75.故选D. 2.在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：设甲中奖为A事件，乙中奖为B事件，则P(B)＝P(B｜A)P(A)＋P(B｜)P()＝×＋×＝.故选A. 3.某班举办知识竞赛，已知题库中有A，B两种类型的试题，A类试题的数量是B类试题数量的两倍，且甲答对A类试题的概率为，答对B类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：设“选出A类试题”为事件A1，“选出B类试题”为事件A2，“甲答对题目”为事件B，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(B｜A1)＝，P(B｜A2)＝，所以P(B)＝P(B｜A1)P(A1)＋P(B｜A2)P(A2)＝×＋×＝.故选C. 4.某同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为. 若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：设A，B分别代表事件“第1球投进”和“第2球投进”，则由已知条件知P(B｜A)＝，P(B｜)＝，P(A)＝，这得到P()＝1－P(A)＝1－＝.故P(B)＝P(B｜A)P(A)＋P(B｜)P()＝×＋×＝.故选C. 5.某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.3，0.3，0.4，乘火车迟到的概率为0.2，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.4，则这个人从甲地到乙地迟到的概率是(　　) A.0.16 B.0.31 C.0.4 D.0.32 答案：B 解析：设事件A表示“乘火车”，事件B表示“乘轮船”，事件C表示“乘飞机”，事件D表示“迟到”，则P(A)＝0.3，P(D｜A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(D｜B)＝0.3，P(C)＝0.4，P(D｜C)＝0.4.因为D＝(D∩A)∪(D∩B)∪(D∩C)，所以由全概率公式，得P(D)＝P(A)P(D｜A)＋P(B)P(D｜B)＋P(C)P(D｜C)＝0.3×0.2＋0.3×0.3＋0.4×0.4＝0.31.故选B. 6.(多选)已知事件A，B，且P(A)＝，P(B｜A)＝，P()＝，则(　　) A.P( )＝ B.P(｜A)＝ C.P(A＋)＝ D.P(B)＝ 答案：ABC 解析：因为P(A)＝，则P()＝，所以P()＝P()·P()＝×＝，故A正确；因为P(｜A)＝1－P(B｜A)＝1－＝，故B正确；因为P()＝1－P(A)＝，P(B｜)＝1－P(｜)＝，所以P(B)＝P(A)P(B｜A)＋P()P(B｜)＝×＋×＝，故D错误；因为P()＝1－P(B)＝1－＝，P(A)＝P(A)·P(｜A)＝×＝，因为P(A＋)＝P(A)＋P()－P(A)＝＋－＝，故C正确.故选ABC. 7.某校男女生人数之比为11∶9，其中男生近视率为0.4，女生近视率为0.6，则该校学生的近视率为　　　　. 答案：0.49 解析：由全概率公式，得该校学生的近视率为×0.4＋×0.6＝0.49. 8.某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类(新能源车或者燃油车)的情况，其中新能源车占销售量的74％，男性占近期购车车主总数的60％，女性购车车主有80％购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率是　　　　. 答案：0.7 解析：设男性中有x％购买了新能源车，则x％×60％＋40％×80％＝74％，解得x＝70，所以男性购车时，选择购买新能源车的概率是0.7. 9.某校高一(1)班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个作学生代表.若已知选到的是共青团员，则他是第一组学生的概率为　　　　. 答案： 解析：设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”，依题意，得P(A)＝＝，P(B｜A)＝＝，P(B)＝＝，所以“已知选到的是共青团员，则他是第一组学生的概率”为＝＝. 10.(13分)玻璃杯成箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为0.8，0.1和0.1.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.求： (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率； (2)在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率. 解：(1)设事件B表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件Ai表示“箱中恰好有i(i＝0，1，2)只残次品”，依题意，可知P(A0)＝0.8，P(A1)＝0.1，P(A2)＝0.1， 且P(B)＝1，P(B｜A1)＝＝，P(B｜A2)＝＝， 所以P(B)＝P(A0)P(B)＋P(A1)P(B｜A1)＋P(A2)P(B｜A2)＝0.8×1＋0.1×＋0.1×＝. 即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为. (2)因为P(A0｜B)＝＝＝＝， 所以在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率是. (11—13题，每小题5分，共15分) 11.“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了.从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为0.1；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是0.5.最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是0.9.已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：设事件A表示“小孩诚实”，事件B表示“小孩说谎”，则P(B｜A)＝0.1，P(B｜)＝0.5，P(A)＝0.9，P()＝0.1，则P(AB)＝P(A)P(B｜A)＝0.9×0.1＝0.09，P(B)＝P()P(B｜)＝0.1×0.5＝0.05，故P(B)＝P(AB)＋P(B)＝0.14，故P(A｜B)＝＝＝.故选B. 12.(多选)甲、乙、丙三名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知甲加工的次品率为6％，乙、丙加工的次品率均为5％，加工出来的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25％，30％，45％，从中任取一个零件进行检查，下列选项正确的有(　　) A.该零件出自于甲加工的概率为0.25 B.该零件是次品的概率为0.052 5 C.若该零件是次品，则出自于乙加工的概率为 D.若该零件是次品，需要对三名钳工进行罚款，则甲、乙、丙的罚款额之比为2∶2∶3 答案：ABD 解析：对于A，因为甲加工的零件数占总数的25％，所以该零件出自于甲加工的概率为0.25，故A正确；对于B，该零件是次品的概率为0.06×25％＋0.05×30％＋0.05×45％＝0.052 5，故B正确；对于C，若零件是次品，则出自于乙加工的概率为＝，故C不正确；对于D，若该零件是次品，则出自于甲加工的概率为＝，出自于丙加工的概率为＝，所以甲乙丙的罚款额之比为2∶2∶3，故D正确.故选ABD. 13.若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有x个白球(x∈N)、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则x的最大值为　　　　. 答案：6 解析：设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为A1，A2，A3， 从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为B，则P(A1)＝P(A2)＝，P(A3)＝，P(B｜A1)＝，P(B｜A2)＝，P(B｜A3)＝，可得P(B)＝P(A1)P(B｜A1)＋P(A2)P(B｜A2)＋P(A3)P(B｜A3)＝·＋·＋·＝≥，解得x≤6，则x的最大值为6. 14.(15分)某公司对购买其产品的消费者进行了调研，已知这些消费者在一年内再次购买产品的概率为33％ ，且这些消费者可以分为A，B，C三类.其中A类消费者占30％，其在一年内再次购买产品的概率为60％；B类消费者占40％，其在一年内再次购买产品的概率为30％；C类消费者占比x％，其在一年内再次购买产品的概率为y％. (1)求x与y的值； (2)若一名消费者在一年内再次购买了产品，求其是B类消费者的概率. 解：(1)记一年内再次购买产品为事件D，消费者是A类消费者记为事件A， 消费者是B类消费者记为事件B，消费者是C类消费者记为事件C， 则P(A)＝30％，P(B)＝40％，P(C)＝x％，P(D｜A)＝60％，P(D｜B)＝30％，P(D｜C)＝y％， 所以P(A)＋P(B)＋P(C)＝30％＋40％＋x％＝1，解得x＝30， 则P(D)＝30％×60％＋40％×30％＋30％×y％＝33％，解得y＝10. (2)依题意，得P(B｜D)＝＝＝＝. 15.(5分)人工智能领域让贝叶斯公式：P(A｜B)＝站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001.某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有98％的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4％的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为 　　　　(用分数表示或者保留三位小数). 答案：0.024(或) 解析：记“视频是AI合成”为事件A，记“鉴定结果为AI”为事件B，则P(A)＝0.001，P()＝0.999，P(B｜A)＝0.98，P(B｜)＝0.04，由贝叶斯公式，得P(A｜B)＝＝≈0.024. 16.(17分)现有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有8个红球和2个白球，乙袋中有4个红球和6个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若经过多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为. (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整. ①求选到的袋子为甲袋的概率； ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 解：(1)设试验一次，“取到甲袋”为事件A1，“取到乙袋”为事件A2，“试验结果为红球”为事件B1，“试验结果为白球”为事件B2， 所以P(B1)＝P(A1)P(B1｜A1)＋P(A2)P(B1｜A2)＝×＋×＝， 所以首次试验结束的概率为. (2)①因为B1，B2是对立事件，P(B2)＝1－P(B1)＝， 所以P(A1｜B2)＝＝＝＝， 所以选到的袋子为甲袋的概率为. ②由①得，P(A2｜B2)＝1－P(A1｜B2)＝1－＝， 所以方案一中取到红球的概率为P1＝P(A1｜B2)·P(B1｜A1)＋P(A2｜B2)P(B1｜A2)＝×＋×＝， 方案二中取到红球的概率为P2＝P(A2｜B2)·P(B1｜A1)＋P(A1｜B2)P(B1｜A2) ＝×＋×＝， 因为＞， 所以选择方案二第二次试验结束的概率更大. 学科网（北京）股份有限公司 $