课时分层评价9 二项式定理的综合应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价9　二项式定理的综合应用 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9题，每小题5分，共45分) 1.(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为(　　) A.20 B.－20 C.28 D.－28 答案：B 解析：依题意，x2y7的系数为1×－＝－＝－＝8－28＝－20.故选B. 2.(x＋y＋z)4的展开式共(　　) A.10项 B.15项 C.20项 D.21项 答案：B 解析：因为(x＋y＋z)4＝＝(x＋y)4＋(x＋y)3z＋(x＋y)2z2＋(x＋y)z3＋z4，由二项式定理可知，(x＋y)n展开式中共有n＋1项，所以(x＋y＋z)4的展开式共有5＋4＋3＋2＋1＝15项.故选B. 3.在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)的展开式中，x的系数为(　　) A.－50 B.－35 C.－24 D.－10 答案：A 解析：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)的展开式中，含x的项是4个因式中任取1个因式选择x，另外3个因式中选择常数项相乘积的和，则(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)的展开式中，含x的项为(－1)×(－2)×(－3)x＋(－1)×(－2)×(－4)x＋(－1)×(－3)×(－4)x＋(－2)×(－3)×(－4)x＝－50x，所以x的系数为－50.故选A. 4.某银行大额存款的年利率为3％，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为(单位：万元，结果保留一位小数)(　　) A.12.6 B.12.7 C.12.8 D.12.9 答案：B 解析：存入大额存款10万元，按照复利计算，每年末本利和是以10为首项，1＋3％为公比的等比数列，所以本利和S＝10(1＋3％)8＝10[＋×0.031＋×0.032＋…＋×0.037＋×0.038]≈12.7(万元).故选B. 5.若(x＋)(x－)5的展开式中常数项是20，则m＝(　　) A.－2 B.－3 C.2 D.3 答案：D 解析：(x＋)(x－)5＝x(x－)5＋(x－)5，(x－)5的展开式的通项为Tk＋1＝x5－k(－)k＝(－1)kx5－2k，令5－2k＝－1，解得k＝3，则x(x－)5的展开式的常数项为－＝－10；令5－2k＝1，解得k＝2，则(x－)5的展开式的常数项为m＝10m.因为(x＋)(x－)5的展开式中常数项是20，所以10m－10＝20，解得m＝3.故选D. 6.(多选)已知(x＋1)(x－2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(　　) A.a1＝－16 B.a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2 C.a1＋a3＋a5＝1 D.｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋｜a4｜＋｜a5｜＝64 答案：ACD 解析：因为(x＋1)(x－2)4＝x(x－2)4＋(x－2)4，又(x－2)4展开式的通项为Tk＋1＝x4－k(－2)k(0≤k≤4且k∈N)，所以a1＝(－2)4＋(－2)3＝－16，a2＝(－2)3＋(－2)2＝－8，a3＝(－2)2＋(－2)1＝16，a4＝(－2)1＋(－2)0＝－7，a5＝(－2)0＝1，a0＝(－2)4＝16，故A正确；所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－14，故B错误；所以a1＋a3＋a5＝－16＋16＋1＝1，故C正确；所以｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋｜a4｜＋｜a5｜＝64，故D正确.故选ACD. 7.(x2＋2x＋3)(2x＋1)6的展开式中，x2的系数是　　　　. 答案：205 解析：(x2＋2x＋3)(2x＋1)6＝(x2＋2x＋3)(1＋2x)6＝(x2＋2x＋3)·2k·xk，所以x2的系数为20＋2××21＋3××22＝205. 8.若m≠0，且(x2－x＋m)6＝a1＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a12x12，则m的值为　　　　. 答案：－6 解析：依题意，得(x2－x＋m)6的展开式中的常数项与一次项系数相等，则m6＝(－1)m5，解得m＝－6或0(舍去). 9.10210除以1 000的余数是　　　　. 答案：24 解析：10210＝(100＋2)10＝10010＋2×1009＋22×1008＋…＋29×100＋210＝(10010＋×2×1009＋×22×1008＋…＋29×1 000)＋1 024＝(10010＋×2×1009＋×22×1008＋…＋29×1 000＋1 000)＋24，所以10210除以1 000的余数是24. 10.(13分)已知(m＋x)x5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a6(x－1)6，其中m∈R，且a1＋a3＋a5＝64， (1)求m的值； (2)求a4的值. 解：(1)当x＝0时，0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6，① 当x＝2时，(m＋2)·25＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，② ②－①得(m＋2)·25＝2(a1＋a3＋a5)， 因为a1＋a3＋a5＝64，所以(m＋2)·25＝2(a1＋a3＋a5)＝128，解得m＝2. (2)(2＋x)x5＝[3＋(x－1)][(x－1)＋1]5， [(x－1)＋1]5展开式的通项为Tk＋1＝(x－1)5－k， 令5－k＝4，则k＝1，令5－k＝3，则k＝2， 所以a4＝3＋＝25. (11—13题，每小题5分，共15分) 11.设a＞0，已知(x2＋)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，且展开式中所有项的系数和为256，则(x2＋2＋)2a中x2的系数为(　　) A.0 B.2 C.4 D.8 答案：C 解析：因为(x2＋)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以展开式一共有9项，即n＝8，令x＝1，得展开式中所有项的系数和为(1＋a)8＝256，所以a＝1，(x2＋2＋)2中x2项的取法为1个x2和1个2，所以x2系数为×2＝4.故选C. 12.(多选)对于式子(x2＋)n(＋x)2n(n∈N*)，以下判断正确的有(　　) A.存在n∈N*，使得展开式中没有常数项 B.对任意n∈N*，展开式中有常数项 C.存在n∈N*，使得展开式中有x的一次项 D.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项 答案：BD 解析：(x2＋)n(＋x)2n的展开式通项为(x2)n－k()k·)2n－rxr＝3k·x2n－2k·x－2k·x－2n＋r·xr＝3k·x2(r－2k)，其中k＝0，1，2，…，n，r＝0，1，2，…，2n，对于A、B，当r＝2k时，存在常数项，故A错误，B正确；对于C、D，2(r－2k)为偶数，不存在一次项，故C错误，D正确.故选BD. 13.(双空题)已知二项式(x＋0.01)n的二项式系数的和为1 024，则n＝　　　　.试估算x＝1时，(x＋0.01)n的值为　　　　.(精确到0.001) 答案：10　1.105 解析：二项式(x＋0.01)n的二项式系数的和为2n＝1 024，解得n＝10，当x＝1时，(1＋0.01)10＝1＋·0.01＋·0.000 1＋…＋·0.0110≈1＋·0.01＋·0.000 1＝1＋0.1＋0.004 5＝1.104 5≈1.105. 14.(17分)已知f(x)＝(1＋x)m，g(x)＝(1＋2x)n(m，n∈N*). (1)若m＝3，n＝4，求f(x)g(x)的展开式中含x2的项； (2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，如果h(x)的展开式中含x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x2的项的系数取得最小值？ 解：(1)当m＝3，n＝4时，f(x)＝(1＋x)3，g(x)＝(1＋2x)4， 所以f(x)g(x)＝(1＋x)3(1＋2x)4， 其中(1＋x)3展开式的通项为Tr＋1＝xr，r∈{0，1，2，3}； (1＋2x)4展开式的通项为Tk＋1＝(2x)k，k∈{0，1，2，3，4}， 所以f(x)g(x)的展开式中含x2的项为1×(2x)2＋x·(2x)＋x2×1＝51x2. (2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n， 因为h(x)的展开式中含x的项的系数为12， 所以x＋2x＝12x，即m＋2n＝12， 此时x2的系数为＋4＝＋2n(n－1)＝＋2n(n－1) ＝4n2－25n＋66＝4(n－)2－＋66，n∈N*， 所以当n＝3，m＝6时，x2的项的系数取得最小值. (15、16题，每小题5分，共10分) 15.(数学文化)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m(m＞0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(modm).若a＝＋×3＋×32＋…＋×320，a≡b(mod5)，则b的值可以是(　　) A.2 023 B.2 024 C.2 025 D.2 026 答案：D 解析：a＝＋×3＋×32＋…＋×320＝(1＋3)20＝420＝(5－1)20＝×520＋×519×(－1)＋×518×(－1)2＋…＋×5×(－1)19＋×(－1)20，a被5除得的余数为1，选项中的数被5除得的余数为1的只有2 026.故选D. 16.数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.由等式(1＋x)n(1＋x)n＝(1＋x)2n利用算两次原理可得＋＋＋…＋＝　　　　.(用组合数表示即可) 答案： 解析：依题意，得(1＋x)n(1＋x)n＝(＋x＋x2＋…＋xn)(＋x＋x2＋…＋xn)，故＋＋＋…＋是展开式中xn的系数，而(1＋x)2n展开式中xn的系数为，所以＋＋＋…＋＝. 学生用书⬇第29页 学科网（北京）股份有限公司 $