课时分层评价7 二项式定理-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价7　二项式定理 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9题，每小题5分，共45分) 1.(x＋2)n的展开式共有11项，则n等于(　　) A.9 B.10 C.11 D.8 答案：B 解析：因为(x＋2)n的展开式共有n＋1项，结合题意，所以n＋1＝11，即n＝10.故选B. 2.(8－x)9展开式中系数为无理数的项共有(　　) A.2项 B.3项 C.4项 D.5项 答案：D 解析：因为(8－x)9展开式的通项为Tk＋1＝89－k(－)kxk，当k＝1，3，5，7，9时，展开式中系数为无理数的项，共5项.故选D. 3.(1－3x)6的展开式中含x4的项的二项式系数为(　　) A.15 B.20 C.－540 D.1215 答案：A 解析：(1－3x)6的展开式的通项为Tk＋1＝·16－k·(－3x)k＝(－3)kxk，令k＝4，则(1－3x)6的展开式中含x4的二项式系数为＝15.故选A. 4.若实数a＝2－，则a12－2a11＋22a10－…＋212等于(　　) A.－32 B.32 C.－64 D.64 答案：D 解析：依题意可得a12－2a11＋22a10－…＋212＝(a－2)12＝(2－－2)12＝64.故选D. 5.已知m为非零常数.若在的二项展开式中，x3的系数是的系数的8倍，则m＝(　　) A.－2 B.－1 C. D. 答案：C 解析：展开式中含x3的项为x5()2＝21m2x3，含x2()5＝21m5·，所以依题意可得21m2＝8×21m5，解得m＝.故选C. 6.(多选)若(x－)n(n为正整数)的展开式中存在常数项，则下列选项中n的取值可能是(　　) A.3 B.5 C.6 D.7 答案：AC 解析：(x－)n展开式的通项为Tk＋1＝xn－k(－)k＝(－2)kxn－3k，k＝0，1，…，n，因为存在常数项，所以n＝3k.经验证，k＝1时，n＝3；k＝2时，n＝6符合条件.故选AC. 7.若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a－b等于　　　　. 答案：5 解析：因为(1＋)4＝1＋4＋12＋8＋4＝17＋12＝a＋b，又a，b为有理数，所以a＝17，b＝12.所以a－b＝5. 8.若(x＋1)n＝xn＋…＋ax4＋bx3＋…＋1，且a＝502b，则n＝　　　　. 答案：2 011 解析：因为(x＋1)n＝(1＋x)n的展开通项为xk，所以＝a，＝b，则＝502，解得n＝2 011. 9.若3个班分别从2个景点中选择一处游览，共有n种不同的选法，则在(x－)n的展开式中，含x2项的系数为　　　　. 答案：70 解析：依题意，得n＝23＝8.在(x－)8的二项展开式中，通项为Tk＋1＝x8－k(－)k＝(－1)k.由8－k－k＝2，得k＝4，该项为(－1)4x2＝70x2，含x2项的系数为70. 10.(13分)已知在(＋)n(n∈N*)的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比值为2. (1)求n的值； (2)求展开式中含x4的项. 解：(1)依题意，知＝×＝＝2，解得n＝8. (2)Tk＋1＝)8－k(2)k＝22k－8，0≤k≤8，k∈N， 令8－k＝4，得k＝3，所以展开式中含有x4的项为T4＝22×3－8x4＝14x4. (11—13题，每小题5分，共15分) 11.已知x≠0，n∈N*，则“n＝8”是“(2x3＋)n的二项展开式中存在常数项”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案：A 解析：若n＝8，则(2x3＋)8的常数项为(2x3)2·()6＝112；若(2x3＋)n的二项展开式中存在常数项，设二项式的通项为Tk＋1＝(2x3)n－k·()k＝2n－k··x3n－4k，且存在常数项，则3n－4k＝0，k＝，k为整数，所以n能被4整除.所以“n＝8”是“(2x3＋)n的二项展开式中存在常数项”的充分不必要条件.故选A. 12.(多选)在(x＋)9的展开式中，下列结论正确的是(　　) A.第2项的二项式系数为36 B.x3的系数为126 C.常数项为84 D.有理项有2项 答案：BC 解析：(x＋)9的展开式中共有10项，第2项的二项式系数为＝9，故A错误；依题意得(x＋)9展开式的通项为Tk＋1＝x9－k()k＝，k＝0，1，2，…，9，令k＝4，得到x3的系数为＝126，故B正确；令9－k＝0，解得k＝6，所以常数项为＝＝84，故C正确；有理项中x的指数为整数，故k＝0，2，4，6，8，即有理项有5项，故D错误.故选BC. 13.已知多项式(x－2)5＋(x－1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5＋a6x6，则a1＝　　　　. 答案：74 解析：对于(x－2)5，其二项展开式的通项为Tk＋1＝x5－k(－2)k，令5－k＝1，得k＝4，故T5＝x(－2)4＝80x，对于(x－1)6，其二项展开式的通项为Tk＋1＝x6－k(－1)k，令6－k＝1，得k＝5，故T6＝x(－1)5＝－6x，所以a1＝80＋(－6)＝74. 14.(17分)在(2x＋)n(n≥3，n∈N*)的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列. (1)证明：展开式中不存在常数项； (2)求展开式中所有的有理项. 解：(1)证明：易知第2，3，4项的二项式系数依次为，，， 可得＋＝2，即n＋＝2×， 整理得(n－2)(n－7)＝0，解得n＝7或n＝2(舍)， 所以二项式为(2x＋)7.假设第k＋1项为常数项，其中k∈N， 即可得(2x)7－k()k＝27－k为常数项，所以7－k－k＝0， 解得k＝∉N，不合题意， 即假设不成立，所以展开式中不存在常数项. (2)由(1)可知，二项展开式的通项为(2x)7－k()k＝27－k. 其中的有理项需满足7－k－k∈Z，即7－k∈Z，且k≤7； 当k＝0，7－k＝7∈Z，此时有理项为27x7＝128x7； 当k＝2，7－k＝4∈Z，此时有理项为25x4＝672x4； 当k＝4，7－k＝1∈Z，此时有理项为23x＝280x； 当k＝6，7－k＝－2∈Z，此时有理项为21x－2＝. 综上可知，展开式中所有的有理项为128x7，672x4，280x，. (15、16题，每小题5分，共10分) 15.(创新题)设的小数部分为x，则x3＋6x2＋12x＝(　　) A. B.1 C. D.2 答案：B 解析：由3＞＞＝2，得的整数部分为2，则＝x＋2，所以(x＋2)3＝9，即x3＋2x2＋22x＋8＝x3＋6x2＋12x＋8＝9，所以x3＋6x2＋12x＝1.故选B. 16.已知x10＋1＝(x－1)2f(x)＋ax＋b(a，b∈R)，其中f(x)是关于x的多项式，则a＋b＝　　　　. 答案：2 解析：因为x10＋1＝[(x－1)＋1]10＋1＝(x－1)10＋(x－1)9＋…＋(x－1)2＋(x－1)＋＋1，所以[(x－1)8＋(x－1)7＋…＋]·(x－1)2＋10x－8＝(x－1)2f(x)＋ax＋b，所以a＝10，b＝－8，所以a＋b＝2. 学生用书⬇第24页 学科网（北京）股份有限公司 $