课时分层评价5 组合 组合数-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价5　组合　组合数 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9题，每小题5分，共45分) 1.下列四个问题属于组合问题的是(　　) A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B.从1，2，3，4这4个数字中选取3个不同的数字排成一个三位数 C.从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式 D.从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长 答案：C 解析：对于A，从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，将2人选出后，还要安排导游和翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题；对于B，从1，2，3，4这4个数字中选取3个不同的数字排成一个三位数，选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位，与顺序有关，这个问题为排列问题；对于C，从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出，与顺序无关，这个问题为组合问题；对于D，从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长，将2人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题.故选C. 2.“k＝2”是“＝”的　　　　条件.(　　) A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 答案：A 解析：因为＝，所以k＝2k－2或k＋2k－2＝7，解得k＝2或3，故“k＝2”是“＝”的充分不必要条件.故选A. 3.一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，从中取3个球，则不同的取法种数是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：依题意，一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，共7个球，从中取3个球，则有种取法.故选D. 4.甲、乙两所学校从6个研学基地中各自选择3个进行研学活动，则这两所学校选择的研学基地中恰好有2个相同的选法共有(　　) A.60种 B.90种 C.180种 D.240种 答案：C 解析：依题意，这两所学校选择的研学基地中恰好有2个相同的选法有＝180种.故选C. 5.某大桥的一侧依次安装有13盏路灯，因环保节能的需求，计划关掉其中的5盏.如果两端的路灯不能关，且相邻的路灯不能同时关，则不同关灯方式的种数是(　　) A.21 B.35 C.70 D.126 答案：A 解析：让两端的两盏灯亮着，再点亮中间11盏中的6盏，6盏灯有7个空格，从7个空格中随机的选5个空格，因为灯是没有顺序的，所以共有＝＝21种.故选A. 6.(多选)某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有(　　) A.种 B.种 C.种 D.种 答案：BC 解析：从A地前往B地，最短的路程是向右走4次，向下走3次，共走7次，要从7次中选择3次向下走，剩下的向右走或选择4次向右走，剩下的向下走，故最短的走法有种.故选BC. 7.若＝，则n＝　　　　. 答案：4 解析：由组合数的计算公式，可得＝＝＝，解得n＝4. 8.已知M＝{1，2，3，4}，且m∈M，n∈M，若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则这样的椭圆共有　　　　个. 答案：6 解析：从集合M＝{1，2，3，4}中任取两个元素，按小的赋给m，大的赋给n即可得焦点在y轴上的椭圆，所以不同椭圆个数是＝6. 9.某校开展劳动技能比赛，高三(1)班有3名男生，5名女生报名参赛，现从8名同学中选4名同学代表班级参加比赛，要求男女都有，则不同的选派方案共有　　　　种. 答案：65 解析：从8名同学中任选4名，有种方法，其中全是女生的选法有种，所以不同的选派方案共有－＝70－5＝65(种). 10.(13分)(1)计算：； (2) 若 x＋＝4，求正整数x； (3) 若 ＋＋＋…＋＝55，求正整数n. 解：(1)＝＝－5. (2)依题意，x＋＝4，则x2＋x(x－1)(x－2)＝，x≥3， 整理得x2－6x＋8＝0，而x≥3，所以x＝4. (3)＋＋＋…＋＝＋＋＋＋…＋－1＝＋＋＋…＋－1＝＋＋…＋－1＝－1＝55， 因此＝56＝，即n＋1＝8，所以n＝7. (11—13题，每小题5分，共15分) 11.将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列、记第i项为ai(i＝1，2，…，7)，若a1＜a2＜a3，a3＞a4＞a5，a5＜a6＜a7，则这样的数列共有(　　) A.70个 B.71个 C.80个 D.81个 答案：B 解析：若a5＝1，则这样的数列有＝45个；若a5＝2，则这样的数列有＝20个；若a5＝3，则这样的数列有＝6个，所以满足条件的数列共有45＋20＋6＝71个.故选B. 12.(多选)已知＝＋＋＋＋…＋，则n的值可能为(　　) A.2 B.4 C.7 D.9 答案：BC 解析：由于＋＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝，所以＝＝，＝，得n＝4或7.故选BC. 13.男、女学生共有8人，从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法，则其中女生有　　　　人. 答案：2或3 解析：设男生有x人，则女生有(8－x)人.因为从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法，所以×＝30，所以x(x－1)(8－x)＝30×2＝6×5×2或x(x－1)(8－x)＝5×4×3，所以x＝6，8－6＝2或x＝5，8－5＝3.所以女生有2或3人. 14.(17分)为了迎接到校访问的同学，需要分上午、下午和晚上三个组各安排5名本校学生作为志愿者负责接待，并要求下午组的志愿者不能与上午组、晚上组的重复.某班共有40名学生，其中22名女生和18名男生，现准备从中选择志愿者. (1)共有多少种选法？ (2)如果下午组中有一名男生请假，需要从班上的非志愿者中选一名男生替代，那么至少有多少种选法？ 解：(1)可以分三步完成：先选下午的志愿者，有种选法； 再选上午的志愿者，有种选法； 最后选晚上的志愿者，因为可以与上午的重复，所以有种选法， 因此，共有··种选法. (2)当志愿者全部是男生时，非志愿者中的男生人数最少，剩有3名， 则从班上的非志愿者中选一名男生替代，至少有＝3种选法. (15、16题，每小题5分，共10分) 15.从1～12这12个整数中随机抽取3个，则这3个数的和能被3整除的情况有(　　) A.12种 B.64种 C.76种 D.80种 答案：C 解析：在1～12中能被3整除的有3，6，9，12，除以3余数为1的有1，4，7，10，除以3余数为2的有2，5，8，11.抽取的3个数之和能被3整除的情况有：①抽到3个能被3整除的数，有＝4(种)；②抽到3个除以3余数为1的数，有＝4(种)；③抽到3个除以3余数为2的数，有＝4(种)；④抽到能被3整除、除以3余数为1、除以3余数为2的三种数各1个，有＝64(种).所以符合要求的情况有4＋4＋4＋64＝76(种).故选C. 16.(原创题)(双空题)产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在N件产品中有M件不合格品，从产品中随机抽n件做检查，请计算当N＝16，M＝8时，＋＋＋＝　　　　；若N＝2n，M＝n，请计算()2＋()2＋()2＋…＋()2＝　　　　.(用组合数表示) 答案：　 解析：＋＋＋可以理解为从16件产品中抽取3件，以不合格产品数为分类标准得到的结果，而从16件产品中抽取3件共有种方法，所以＋＋＋＝；同理，对于()2＋()2＋()2＋…＋()2＝＋＋＋…＋可以理解为从2n件产品中抽取n件，以不合格产品数为分类标准得到的结果，而从2n件产品中抽取n件共有种方法，因此能得到()2＋()2＋()2＋…＋()2＝. 学科网（北京）股份有限公司 $