课时分层评价2 计数原理的综合应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价2　计数原理的综合应用 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9题，每小题5分，共45分) 1.由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是(　　) A.12 B.16 C.20 D.25 答案：B 解析：依题意，可分为两步，先选十位上的数字，再选个位上的数字，且首位不能为0，故可组成无重复数字的两位数的个数是4×4＝16.故选B. 2.甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有(　　) A.4种 B.5种 C.6种 D.12种 答案：C 解析：若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有3＋3＝6(种)不同的传法.故选C. 3.已知乘积(a1＋a2)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋…＋cn)(n∈N＋)展开后共有60项，则n的值为(　　) A.7 B.10 C.12 D.15 答案：B 解析：根据多项式的乘法法则，展开后的项数为2×3×n＝60，所以n＝10.故选B. 4.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有(　　) A.6种 B.12种 C.24种 D.30种 答案：C 解析：依题意知，可分步完成此事：第一步，甲、乙选相同的1门共有4种方法；第二步，甲再选1门有3种方法；第三步，乙再选一门有2种选法，由分步乘法计数原理知，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有4×3×2＝24(种).故选C. 5.数学中“凸数”是一个位数不低于3的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为(　　) A.50 B.65 C.112 D.147 答案：B 解析：最高位是5的“凸数”，中间数分别为7，8，9，分别有6，7，8个，共有21个；最高位是6的“凸数”，中间数分别为7，8，9，分别有6，7，8个，共有21个；最高位是7的“凸数”，中间数分别为8，9，分别有7，8个，共有15个；最高位是8的“凸数”，中间数为9，有8个，所以没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为21＋21＋15＋8＝65.故选B. 6.(多选)现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是(　　) A.选1人为负责人的选法种数为30 B.每组选1名组长的选法种数为3 024 C.若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335 D.若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种 答案：ABC 解析：对于A，选1人为负责人的选法种数：6＋7＋8＋9＝30，故A正确；对于B，每组选1名组长的选法：6×7×8×9＝3 024，故B正确；对于C，2人需来自不同的小组的选法：6×7＋6×8＋6×9＋7×8＋7×9＋8×9＝335，故C正确；对于D，依题意，若不考虑限制，每个人有4种选择，共有43种选择，若第一组没有人选，每个人有3种选择，共有33种选择，所以不同的选法有43－33＝37，故D错误.故选ABC. 7.星期二下午的3节课排物理、化学和自习课各一节，要求第一节不排自习课，那么不同的排课方法种数为　　　　. 答案：4 解析：将安排分为3步，第一步先安排第一节有2种方法，第二步排第二节有2种方法，第三步排第三节只有1种方法，故不同的排课方法种数为2×2×1＝4. 8.将序号分别为1，2，3，4的4张参观券全部分给3人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是　　　　. 答案：18 解析：将序号分别为1，2，3，4的4张参观券分成三组，且2张参观券连号在一组，有12，3，4；23，1，4；34，1，2三种情况，每组分给3人，有3×2×1＝6种，所以不同的分法种数为3×6＝18. 9.《九章算术》《数书九章》《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有 　　　　种. 答案：24 解析：若三人选书没有要求，则有33＝27种，若三人选择的书完全相同，则有3种，所以三人选择的书不全相同，不同的选法有27－3＝24种. 10.(13分)用0，1，2，3，…，9十个数字可组成多少个不同的： (1)三位数； (2)无重复数字的三位数； (3)小于500且无重复数字的三位奇数. 解：(1)由于0不能在首位，所以首位数字有9种选法， 十位与个位上的数字均有10种选法， 所以不同的三位数共有9×10×10＝900(个). (2)百位数字有9种选法，十位数字有除百位数字以外的9种选法，个位数字应从剩余8个数字中选取， 所以共有9×9×8＝648(个)无重复数字的三位数. (3)若个位为1或3，则小于500的三位奇数有2×3×8＝48(个)； 若个位为5或7或9，则小于500的三位奇数有3×4×8＝96(个). 所以小于500的三位奇数有48＋96＝144(个). (11—13题，每小题5分，共15分) 11.某班举办新年联欢班会，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、鼓励奖共五种奖项.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同.甲说：“我不是鼓励奖”；乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖没有戊好但是比丁的强”.根据以上信息，这5人的奖项的所有可能的种数是(　　) A.12 B.13 C.24 D.26 答案：B 解析：若甲是特等奖，乙有4种情况，则丙、丁、戊有1种情况，所以有4×1＝4种；若甲不是特等奖，则甲有3种情况，乙有3种情况，而丙、丁、戊有1种情况，所以有3×3×1＝9种.所以5人的奖项的所有可能的种数是4＋9＝13.故选B. 12.(多选)数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，它是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是(　　) A.四位回文数有45个 B.四位回文数有90个 C.2n(n∈N*)位回文数有10n个 D.2n＋1(n∈N*)位回文数有9×10n个 答案：BD 解析：依题意，对于四位回文数，有1 001，1 111，1 221，…，1 991，2 002，2 112，2 222，…，2 992，…9 009，9 119，9 229，…，9 999，共90个，故A错误，B正确；对于2n位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法，…，第n和第n＋1位也有10种，则共有9×10×10×…×10＝9×10n－1种选法，故C错误；对于2n＋1位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法，…，第n＋1个数字，即最中间的数字有10种选法，则共有9×10×10×…×10＝9×10n种选法，即2n＋1(n∈N*)位回文数有9×10n个，故D正确.故选BD. 13.一杂技团有8名会表演魔术或口技的演员，其中有6人会表演口技，有5人会表演魔术，现从这8人中选出2人上台表演，1人表演口技，1人表演魔术，则不同的安排方法有　　　　种. 答案：27 解析：依题意，知有2人只会表演魔术，3人只会表演口技，3人既会表演魔术又会表演口技，针对只会表演魔术的人讨论，先从只会表演魔术的人选1人表演魔术有2种选择，再从其他的6人选1人表演口技有6种选择，故共有2×6＝12种选择；不选只会表演魔术的人，从既会表演魔术又会表演口技的3人中选1人表演魔术，有3种选择，再从只会表演口技的3人和既会表演魔术又会表演口技的剩余2人选1人表演口技，有5种选择，故共有3×5＝15种选择.所以不同的安排方法有12＋15＝27种. 14.(17分)现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内. (1)共有多少种不同的放法？ (2)每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有多少种？ (3)将4个不同的球换成无编号的相同的球，恰有一个空盒的放法有多少种？ 解：(1)依题意，4个编号为1，2，3，4的球和5个编号为1，2，3，4，5的盒子， 把球全部放入盒子内，共有5×5×5×5＝54种不同的放法. (2)每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，若1号球2号球分别放入1号盒2号盒，记为“12”，则2个盒子的编号与球的编号相同的情况有“12，13，14，23，24，34”6种情况，对于“12”情况，3号球可放入4号盒子或5号盒子，则4号球分别有2种放法或1种放法，所以完成这件事共有6×(2＋1)＝18种不同的方法. (3)将4个不同的球换成无编号的相同的球，恰有一个空盒，即有4个盒子每个盒子放1个球，可空下1号盒子，2号盒子，3号盒子，4号盒子，5号盒子，共有5种放法. (15、16题，每小题5分，共10分) 15.(创新题)如图，无人机光影秀中，有8架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出4种不同颜色的光，1至5号的无人机颜色必须相同，6，7号无人机颜色必须相同，8号无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有　　　　种灯光组合.(　　) A.48 B.12 C.18 D.36 答案：D 解析：依题意知，1至5号的无人机颜色有4种选择；当6、7号无人机颜色与1至5号的无人机颜色相同时，8号无人机颜色有3种选择；当6、7号无人机颜色与1至5号的无人机颜色不同时，6、7号无人机颜色有3种选择，8号无人机颜色有2种选择.再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有4×(1×3＋3×2)＝36种.故选D. 16.(双空题)如图，这是一面含A，B，C，D，E，F六块区域的墙，现有含甲的五种不同颜色的油漆，一位工人要对这面墙涂色，相邻的区域不同色，则共有　　　　种不同的涂色方法；若区域D不能涂甲油漆，则共有　　　　种不同的涂色方法. 答案：1 200　960 解析：第一空：若C，E的涂色相同，则共有5×4×3×2×3＝360种方法；若C，E的涂色不相同，则共有5×4×3×2×(1×3＋2×2)＝840种方法.故共有1 200种不同的涂色方法. 第二空：因为区域D不能涂甲油漆，所以区域D的涂色方法有4种.若C，E的涂色相同，则共有4×4×3×3×2＝288种方法；若C，E的涂色不相同，则共有4×4×3×2×(1×3＋2×2)＝672种方法.故共有960种不同的涂色方法. 学科网（北京）股份有限公司 $