课时分层评价1 计数原理及其简单应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价1　计数原理及其简单应用 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9题，每小题5分，共45分) 1.某商场东面和西面均有4个门，北面和南面均有3个门，若某人从其中的任意一个门进入商场，则进入商场的不同方式共有(　　) A.7种 B.12种 C.14种 D.24种 答案：C 解析：依题意，进入商场的不同方式共有4＋4＋3＋3＝14种.故选C. 2.某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节她需选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有(　　) A.9种 B.10种 C.15种 D.24种 答案：C 解析：依题意可知，有两类衣服可选，第一类：选择衬衣和裙子，共有3×4＝12种选择；第二类：选择连衣裙，共有3种选择，所以共有12＋3＝15种选择.故选C. 3.从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是(　　) A.37 B.73 C.21 D.210 答案：D 解析：根据分步乘法计数原理，不同的选法有7×6×5＝210种.故选D. 4.甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为(　　) A.6 B.12 C.18 D.24 答案：A 解析：甲、乙两人听同一个讲座，方法数有3种，丙丁两人听不同的讲座，方法数有2种，所以恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为3×2＝6种.故选A. 5.如图，只闭合两个开关将一条电路从A处到B处接通，可构成线路的条数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.8 答案：B 解析：依题意，一条电路从A处到B处接通，A处并联电路开关闭合一个，有2种方法；B处并联电路开关闭合一个，只能闭合下面两个中的一个，有2种方法，根据分步计数原理，共有2×2＝4种方法.故选B. 6.(多选)从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，下列说法错误的有(　　) A.其中虚数有36个 B.其中虚数有12个 C.其中纯虚数有6个 D.其中纯虚数有7个 答案：BD 解析：若a＋bi为虚数，则虚数虚部不能为0，第一步选虚部，有6种选择；第二步，选择实部，有6种选择.根据分步乘法计数原理可得，虚数有36个，故A正确，B错误.若a＋bi为纯虚数，则虚数虚部不能为0，且实部为0，根据分步乘法计数原理可得，纯虚数为6个，故C正确，D错误.故选BD. 7.一个口袋内装有4个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有小球的颜色互不相同.从两个袋子中任取一个球，则不同的取法种数为　　　　. 答案：10 解析：根据分类加法计数原理，不同的取法种数为4＋6＝10. 8.甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有　　　　种. 答案：192 解析：因甲不去北京，应该分步完成：第一步，甲在上海、西安、长沙三个城市中任选一个，有3种选法.第二步，乙、丙、丁从北京、上海、西安、长沙四个城市中分别任选一个，有4×4×4＝64种选法；由分步乘法计数原理，可得不同选法有3×64＝192种. 9.某校为加强学生的美感教育，开设了音乐、美术、舞蹈、戏曲四门选修课程.甲、乙两位同学各自准备从中选择两门进行学习，且甲不会选择舞蹈课程，则甲、乙两位同学选择的两门课程中仅有一门相同的情况共有　　　　种. 答案：12 解析：若乙选择舞蹈课程，则仅有一门相同的情况共有3×2＝6种；若乙没有选择舞蹈课程，则仅有一门相同的情况共有3×2＝6种.综上，共有12种情况. 10.(13分)将三个分别标有A，B，C的球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中.求： (1)1号盒中无球的不同放法种数； (2)1号盒中有球的不同放法种数. 解：(1)1号盒中无球即A，B，C三个球只能放入2，3，4号盒子中，有3×3×3＝27(种)放法. (2)1号盒中有球可分三类：一类是1号盒中有一个球，共有3×3×3＝27(种)放法， 一类是1号盒中有两个球，共有3×3＝9(种)放法， 一类是1号盒中有三个球，有1种放法. 所以共有27＋9＋1＝37(种)放法. (11—13题，每小题5分，共15分) 11.如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1＜a2且a3＜a2，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275)，当中间数为3或4时，那么所有凸数的个数为(　　) A.15 B.16 C.18 D.21 答案：C 解析：当中间数为3时，有2×3＝6(个)；当中间数为4时，有3×4＝12(个).所以共有6＋12＝18(个).故选C. 12.(多选)有4名同学报名参加三个不同的社团，则下列说法中正确的是(　　) A.每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有34种 B.每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有43种 C.每名同学限报其中一个社团，每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种 D.每名同学限报其中一个社团，每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有33种 答案：AC 解析：对于A，B，第1个同学有3种报法，第2个同学有3种报法，后面的2个同学也有3种报法，根据分步计数原理共有34种结果，故A正确，B错误；对于C，D，每名同学限报其中一个社团，每个社团限报一个人，则第1个社团有4种选择，第2个社团有3种选择，第3个社团有2种选择，根据分步计数原理共有4×3×2＝24种结果，故C正确，D错误.故选AC. 13.已知直线ax＋by＋c＝0中的a，b，c是取自集合{－2，－1，0，1，2}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是　　　　. 答案：11 解析：设倾斜角为θ，tan θ＝－＞0，则ab＜0，不妨设a＞0，则b＜0，若c＝0，a有2种取法，b有2种取法，排除1个重复(a＝2，b＝－2与a＝1，b＝－1)，故这样的直线有2×2－1＝3条；若c≠0，a有2种取法，b有2种取法，c有2种取法，且其中任意两条直线均不相同，故这样的直线有2×2×2＝8条.从而符合要求的直线有3＋8＝11条. 14.(17分)某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过12站的地铁票价如下表： 乘坐站数 0＜x≤3 3＜x≤7 7＜x≤12 票价(元) 2 4 6 现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过12站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的. (1)若甲、乙两人共付费6元，则甲、乙下地铁的方案共有多少种？ (2)若甲、乙两人共付费8元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？ 解：(1)由已知可得，甲、乙两人共付费6元，则甲、乙一人付费2元一人付费4元. 又付费2元的乘坐站数有1，2，3三种选择，付费4元的乘坐站数有4，5，6，7四种选择， 所以甲、乙下地铁的方案共有(3×4)×2＝24(种). (2)甲、乙两人共付费8元，则甲、乙一人付费2元一人付费6元或两人都付费4元. 当甲付费2元，乙付费6元时，甲乘坐站数有1，2，3三种选择，乙乘坐站数有8，9，10，11，12五种选择，此时共有3×5＝15(种)方案； 当两人都付费4元时，若甲在第4站下地铁，则乙可在第5，6，7站下地铁，有3种方案； 若甲在第5站下地铁，则乙可在第6，7站下地铁，有2种方案； 若甲在第6站下地铁，则乙可在第7站下地铁，有1种方案. 综上，甲比乙先下地铁的方案共有15＋3＋2＋1＝21(种). (15、16题，每小题5分，共10分) 15.(创新题)1 800的不同的正奇数因数有　　　　个.(　　) A.6 B.9 C.12 D.48 答案：B 解析：依题意，得1 800＝23×32×52，则1 800的正因数p＝2r×3s×5t(r，s，t∈N)，所以r＝0，s可取0，1，2；t可取0，1，2.根据分步乘法计数原理，可得不同的正奇数因数有1×3×3＝9个.故选B. 16.(新情境)已知集合A＝{－，－，，，2，3}，若a，b，c∈A且互不相等，则使得指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)，对数函数y＝logbx(b＞0且b≠1)，幂函数y＝xc中至少有两个函数在(0，＋∞)上是严格增函数的有序数对(a，b，c)的个数是　　　　. 答案：24 解析：依题意知，满足指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)，对数函数y＝logbx(b＞0且b≠1)的a，b取值只有4个，分别为，，2，3，而使它们在(0，＋∞)上是严格增函数的取值a，b都只有两个，分别是2，3，而满足幂函数y＝xc的c的取值有6个(全部)，使得幂函数y＝xc在(0，＋∞)上是严格增函数的取值有4个，即，，2，3.由于a，b，c∈A且互不相等，有三种情况：第一种：指数函数y＝ax，对数函数y＝logbx在(0，＋∞)上是严格增函数，而幂函数y＝xc不满足，共有2×1×2＝4个；第二种：指数函数y＝ax，幂函数y＝xc在(0，＋∞)上是严格增函数，而对数函数y＝logbx不满足，共有2×2×2＝8个；第三种：对数函数y＝logbx，幂函数y＝xc在(0，＋∞)上是严格增函数，而指数函数y＝ax不满足，共有2×2×2＝8个；第四种：三个函数在(0，＋∞)上都是严格增函数，共有2×1×2＝4个.利用分类加法计数原理可得共有4＋8＋8＋4＝24个有序数对. 学生用书⬇第5页 学科网（北京）股份有限公司 $