课时分层评价14 数列与函数、不等式及其新定义问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价14　数列与函数、不等式及其新定义问题

(时间：60分钟　满分：70分)

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)

(1—5，每小题5分，共25分)

1.已知数列{an}满足an＝且{an}是递增数列，实数t的取值范围是(　　)

A. B.

C.(5，＋∞) D.(1，4]

答案：A

解析：由题意可得＜t＜.故选A.

2.定义：在数列中，若对任意的n∈N＋都满足－＝d(d为常数)，则称数列为等差比数列.已知等差比数列中，a1＝a2＝1，a3＝3，则＝(　　)

A.4×2 0242－1 B.4×2 0232－1

C.4×2 0222－1 D.4×2 0222

答案：B

解析：因为为等差比数列，＝1，＝3，－＝2，所以是以1为首项，2为公差的等差数列，所以＝1＋×2＝2n－1，所以＝×＝×＝4×2 0232－1.故选B.

3.数列的最大项为第k项，则k＝(　　)

A.4或5 B.5 

C.5或6 D.6

答案：C

解析：令an＝(n＋3)，则an＋1－an＝(n＋4)－(n＋3)＝·，则a5＝a6.故当n≤5时，数列单调递增；当n≥6时，数列单调递减，所以第5或第6项是数列的最大项，故选C.

4.已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝，若Sn＋an＞(－1)na对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B.(－1，2)

C.

D.(－∞，－1)∪

答案：C

解析：由数列{an}的前n项和为Sn且an＝，得Sn＝＋＋＋…＋，于是Sn＝＋＋＋…＋＋，两式相减得Sn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－，因此Sn＝2－，则Sn＋an＝2－＋＝2－，显然数列{Sn＋an}是递增数列.当n为奇数时，(Sn＋an)min＝S1＋a1＝1，由Sn＋an＞(－1)na恒成立，得1＞－a，则a＞－1；

当n为偶数时，(Sn＋an)min＝S2＋a2＝，由Sn＋an＞(－1)na恒成立，得＞a，则a＜.所以实数a的取值范围是.故选C.

5.若数列，对于∀k∈N*， n∈N*，都有an＋k－an＞kt(t为常数)成立，则称数列具有性质P(t).已知数列的通项公式为an＝2n＋1－λn2＋4n，且具有性质P(4)，则实数λ的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

答案：C

解析：依题意，得an＋k－an＞4k，故只需考虑k＝1时，an＋1－an＞4，n∈N*.因为an＝2n＋1－λn2＋4n，只需要[2n＋2－λ(n＋1)2＋4(n＋1)]－[ 2n＋1－λn2＋4n)＞4，即2n＋2－λ(n＋1)2＞ 2n＋1－λn2，整理得＞λ.令bn＝，则bn＋1－bn＝ －＝＞0，所以对任意的n∈N*恒成立，所以数列为递增数列，则bn≥b1＝，所以λ＜，即实数λ的取值范围为.故选C.

6.(13分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝3，S5＝25.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列的前n项和为Tn，是否存在k∈N*，使得2－2Tk＝成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

解：(1)设数列{an}的公差为d.

由题意，得

所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.

(2)由(1)得＝＝，所以数列的前n项和Tn＝(1－＋－＋－＋…＋－)＝＝.

因为2－2Tk＝2－＝1＋，而数列为递减数列，

所以1＜2－2Tk＝1＋≤.

又∈，所以不存在k∈N*，使得2－2Tk＝成立.