课时分层评价8 等比数列的性质及其实际应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价8　等比数列的性质及其实际应用 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　) A.a1，a3，a9成等比数列 B.a2，a3，a6成等比数列 C.a2，a4，a8成等比数列 D.a3，a6，a9成等比数列 答案：D 解析：设等比数列{an}的公比为q，则＝＝q3＝＝，即a3，a6，a9成等比数列.同理可知A，B，C错误.故选D. 2.标准对数视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的“边长”都是下方一行“E”的“边长”的倍，若视力4.2的视标“边长”为a1，则视力5.1的视标“边长”为(　　) A.1a1 B.1a1 C.1a1 D.1a1 答案：A 解析：由题意可得，以视力4.2的视标“边长”为首项a1，则公比q＝1，视力5.1的视标“边长”为a10，故a10＝a1q9，即a10＝a1×1＝1a1.故选A. 3.已知等比数列{an}满足a2＋a4＋a6＋a8＝20，a2·a8＝2，则＋＋＋的值为(　　) A.8 B.10 C.12 D.16 答案：B 解析：因为{an}是等比数列，所以a2·a8＝a4·a6＝2，＋＋＋＝＋＝＝＝10.故选B. 4.已知数列{an}为等比数列，若数列{an＋λ}(λ≠0)仍为等比数列，且a3＝3，则a2 025的值为(　　) A.1 B.3 C.32 024 D.32 025 答案：B 解析：因为{an}为等比数列，所以＝an·an＋2.又{an＋λ}(λ≠0)为等比数列，所以(an＋1＋λ)2＝(an＋λ)·(an＋2＋λ)，即an＋an＋2＝2an＋1，设{an}的公比为q，则an＋anq2＝2anq，即q2－2q＋1＝0，解得q＝1.又a3＝3，所以a2 025＝3.故选B. 5.(多选)(2025·河南南阳高二期中)已知递增数列{an}满足a2·a8＝18，a3＋a7＝9，则下列说法正确的有(　　) A.若数列{an}为等差数列，则a14＝9 B.若数列{an}为等差数列，则a11＝9 C.若数列{an}为等比数列，则a11＝12 D.若数列{an}为等比数列，则a14＝9 答案：AC 解析：若数列{an}为等差数列 ，则a3＋a7＝a2＋a8＝9 ，又a2·a8＝18，所以a2＝3，a8＝6，或a2＝6，a8＝3(舍)，所以d＝＝，所以a14＝a8＋6d＝9，a11＝a8＋3d＝，故A正确，B错误；若数列{an}为等比数列 ，则a3·a7＝a2·a8＝18 ，又a3＋a7＝9，所以a3＝3，a7＝6，或a3＝6，a7＝3(舍)，所以q4＝＝2，所以a11＝a7q4＝12，a14＝a7q7＝6×2×＝12×，故C正确，D错误.故选AC. 6.(多选)(2025·福建福州联考)设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件0＜a1＜1，a8a9＞1，a8a9＋1＜a8＋a9，则下列结论正确的是(　　) A.q＞1 B.a8a10＜1 C.T17＞1 D.Tn的最小值为T9 答案：AC 解析：由a8a9＞1，得等比数列{an}的公比q＞0，又a8a9＋1＜a8＋a9，所以a8a9＋1－a8－a9＜0，即(a8－1)(a9－1)＜0，又q＞0且0＜a1＜1，所以a8＜1＜a9，故q＝＞1，故A正确；a8a10＝＞1，故B错误；T17＝a1a2a3…a16a17＝(a1a17)(a2a16)…(a8a10)·a9＝(a9)17＞1，故C正确；因为q＞1且0＜a1＜1，所以等比数列{an}是递增数列，又a8＜1＜a9，所以Tn的最小值为T8，故D错误.故选AC. 7.(开放题)各项均为正数的等比数列{an}，其公比q≠1，且a3·a7＝4，请写出一个符合条件的通项公式an＝　　　　. 答案：2n－4(答案不唯一) 解析：因为数列{an}是正项等比数列，所以a3·a7＝＝4，所以a5＝2，又公比q≠1，不妨令q＝2，则an＝a5qn－5＝2×2n－5＝2n－4(答案不唯一). 8.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为　　　　. 答案： 解析：设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得，28，28q石，所以＋28＋28q＝98，所以q＝2，或.又0＜q＜1，所以q＝. 9.在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an＝324(n≥2)，则n＝　　　　. 答案：14 解析：设数列{an}的公比为q.因为a1a2a3＝4＝q3，a4a5a6＝12＝q12，所以q9＝3.又因为an＝qn－2＋(n－1)＋n＝q3n－3＝324，所以q3n－6＝81＝34＝q36，所以3n－6＝36，解得n＝14. 10.(13分)已知{an}是等比数列. (1)若a1＝，a3a5＝4(a4－1)，求a2的值； (2)若{an}为递增数列，且a1＞0，2(a4＋a6)＝5a5，求q； (3)(2025·江苏南通高二检测)若{an}为递减数列，且＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，求an. 解：(1)设数列{an}的公比为q，由a3a5＝4(a4－1)，得＝4(a4－1)，解得a4＝2， 所以q3＝＝8，所以q＝2，所以a2＝a1q＝. (2)由2(a4＋a6)＝5a5，得2(a4＋a4q2)＝5a4q，易知a4≠0， 所以2＋2q2＝5q，即(2q－1)(q－2)＝0，解得q＝2或q＝. 因为数列{an}为递增数列，且a1＞0， 所以q＞1，所以q＝2. (3)设数列{an}的首项为a1，公比为q，显然an≠0， 由＝a10，得q8＝a1q9，解得a1＝q. 由2(an＋an＋2)＝5an＋1，得2(an＋anq2)＝5anq，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2，或q＝. 因为数列{an}为递减数列，所以q＝， 则a1＝，所以an＝()n. (11—13，每小题5分，共15分) 11.(一题多解)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为(　　) A.2 B. C.3 D. 答案：D 解析：法一：依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，设其公比为q(q≠0)，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，可知解得a1q＝，q3＝，所以第5节的容积为a1q4＝a1q·q3＝·＝.故选D. 法二：依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，可知a1a2a3＝3，a7a8a9＝9，由等比数列的性质可知a1a2a3a7a8a9＝(a1a9)·(a2a8)·(a3a7)＝＝27.所以a5＝.故选D. 12.在等比数列{an}中，a4a5a6＝64，则a2a4＋a6a8的最小值为(　　) A.48 B.32 C.24 D.8 答案：B 解析：因为a4a5a6＝64，所以＝64，解得a5＝4.所以a2a4＋a6a8＝＋≥2a3a7＝2＝2×42＝32，当且仅当a3＝a7＝4时取等号.故选B. 13.(新角度)已知在等比数列{an}中，an＞0，＋＝900－2a1a5，a5＝9a3，则a2 026的个位数字是　　　　. 答案：3 解析：由等比数列的性质可得a1a5＝a2a4，因为＋＝900－2a1a5＝900－2a2a4，所以＋＋2a2a4＝(a2＋a4)2＝900，又因为an＞0，所以a2＋a4＝30，所以a1(q＋q3)＝30，又由a5＝9a3，a3q2＝9a3，且q＞0，解得a1＝1，q＝3，所以＝a1q2 025＝32 025＝(34)506×3，所以a2 026的个位数字是3. 14.(15分)我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70％是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16％改造为绿洲，同时原有绿洲的4％被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为an万平方公里. (1)求第n年绿洲面积an与上一年绿洲面积(n≥2)的关系； (2)判断是否是等比数列，并说明理由； (3)至少经过几年，绿洲面积可超过60％？(参考数据：lg 2≈0.301 0) 解：(1)由题意得an＝(1－4％)＋(1－)×16％＝0.96＋0.16－0.16＝0.8＋0.16＝＋， 所以an＝＋(n≥2). (2)由(1)得an＝＋， 所以an－＝，且a1－＝－＝－≠0， 所以的等比数列. (3)由(2)有an－＝， a1－＝－， 所以an－＝－， 即an＝－＋. an＝－＋＞，即＜，两边取常用对数得(n－1)lg＜lg， 所以n－1＞＝＝＝＝＝≈4.1， 所以n＞5.1，所以至少经过6年，绿洲面积可超过60％. 15.(5分)(新定义)若数列{an}满足＝3an＋2，则称{an}为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且b1＝2，则b4＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：若为“梦想数列”，则有－1＝3＋2，即－1＝－1，即＝，且b1＝2，所以数列{bn}为以2为首项，以为公比的等比数列.则b4＝2×＝.故选B. 16.(17分)已知{an}是等差数列，满足a1＝2，a4＝14，数列{bn}满足b1＝1，b4＝6，且{an－bn}是等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)若任意n∈N*，都有bn≤bk成立，求正整数k的值. 解：(1)设{an}的公差为d， 则d＝＝＝4， 所以an＝2＋(n－1)×4＝4n－2， 故{an}的通项公式为an＝4n－2(n∈N*). 设cn＝an－bn，则{cn}为等比数列. c1＝a1－b1＝2－1＝1， c4＝a4－b4＝14－6＝8， 设{cn}的公比为q，则q3＝＝8，故q＝2. 则cn＝2n－1，即an－bn＝2n－1. 所以bn＝4n－2－2n－1(n∈N*). 故{bn}的通项公式为bn＝4n－2－2n－1(n∈N*). (2)由题意得，bk应为数列{bn}的最大项. 由－bn＝4(n＋1)－2－2n－4n＋2＋2n－1＝4－2n－1(n∈N*). 当n＜3时，－bn＞0，bn＜， 即b1＜b2＜b3； 当n＝3时，－bn＝0，即b3＝b4； 当n＞3时，－bn＜0，bn＞，即b4＞b5＞b6＞…，所以k＝3或k＝4. 学科网（北京）股份有限公司 $