课时分层评价6 等差数列前n项和的性质及其应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价6　等差数列前n项和的性质及其应用 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.已知等差数列的前n项和为Sn，若S4＝2，S8＝12，则S20＝(　　) A.30 B.58 C.60 D.90 答案：D 解析：由数列为等差数列，故S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16亦为等差数列，由S4＝2，S8＝12，则S8－S4＝10，故S12－S8＝18，S16－S12＝26，S20－S16＝34，即有S12＝18＋S8＝30，S16＝26＋S12＝56，S20＝34＋S16＝90.故选D. 2.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1等于(　　) A.35 B.32 C.23 D.38 答案：A 解析：由题意可知，九个儿子的年龄成公差d＝－3的等差数列，且九项之和为207，故S9＝9a1＋d＝9a1－108＝207，解得a1＝35.故选A. 3.等差数列的前n项和为Sn，且S2 025＞0，S2 026＜0，则Sn取得最大值时，n＝(　　) A.1 010 B.1 011 C.1 012 D.1 013 答案：D 解析：由S2 025＞0，可得S2 025＝＝2 025a1 013＞0，即a1 013＞0.由S2 026＜0，可得S2 026＝＝1 013(a1 013＋a1 014)＜0，即a1 013＋a1 014＜0，故a1 014＜0，则数列是前1 013项为正数，从第1 014项开始为负数的递减数列，故Sn取得最大值时n＝1 013.故选D. 4.(2025·河北石家庄高二月考)已知等差数列的前n项和为Sn且S7＝7，S15＝75，则的前n项和为(　　) A.Tn＝＋ B.Tn＝－ C.Tn＝＋ D.Tn＝－ 答案：B 解析：设等差数列的公差为d，因为S7＝7，S15＝75，所以所以an＝－2＋(n－1)＝n－3，Sn＝＝，设bn＝＝，所以当n≥2时，bn－bn－1＝－＝，所以数列是等差数列，首项为－2，公差为.则其前n项和Tn＝＝＝－.故选B. 5.(多选)记Sn为等差数列的前n项和，则(　　) A.S6＝2S4－S2 B.S6＝3 C.S2n，S4n－S2n，S6n－S4n成等差数列 D.，，成等差数列 答案：BCD 解析：由已知得Sn＝na1＋，对于A，S6＝6a1＋15d，S4＝4a1＋6d，S2＝2a1＋d，所以2S4－S2＝6a1＋11d≠S6，故A错误；对于B，3＝6a1＋15d＝S6，故B正确；对于C，根据片段和的性质即可得到，故C正确；对于D，根据成等差数列， 故D正确.故选BCD. 6.(多选)等差数列{an}是递增数列，满足a7＝3a5，前n项和为Sn，下列选项正确的是(　　) A.d＞0 B.a1＜0 C.当n＝5时Sn最小 D.Sn＞0时n的最小值为8 答案：ABD 解析：由题意，设等差数列{an}的公差为d，因为a7＝3a5，可得a1＋6d＝3(a1＋4d)，解得a1＝－3d.又由等差数列{an}是递增数列，可知d＞0，则a1＜0，故A，B正确；因为Sn＝n2＋n＝n2－n，由n＝－＝可知，当n＝3或n＝4时Sn最小，故C错误；令Sn＝n2－n＞0，解得n＜0或n＞7(n∈N*)，即Sn＞0时n的最小值为8，故D正确.故选ABD. 7.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为　　　　. 答案：10 解析：由题意知钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个.所以钢管总数为1＋2＋3＋…＋n＝.当n＝19时，S19＝190，当n＝20时，S20＝210＞200，所以当n＝19时，剩余钢管根数最少，为200－190＝10(根). 8.在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，则公差d的取值范围是　　　　　　. 答案：(－1，－) 解析：由题意，当且仅当n＝8时，Sn有最大值，可知解得－1＜d＜－. 9.已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝，则＋＝　　　　. 答案： 解析：因为b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，所以＋＝＝＝＝＝＝. 10.(13分)已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和，a8＝4，　　　　. (1)判断2 025是不是数列{an}中的项，并说明理由； (2)求Sn的最小值. 从①S11＝－22，②S5＝S6中任选一个，补充在上面的问题中并作答. 解：若选①， (1)设数列{an}的公差为d， 则 解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝－17＋(n－1)×3＝3n－20. 令3n－20＝2 025，得n＝681∉N*， 所以2 025不是数列{an}中的项. (2)令an＝3n－20＞0，解得n＞， 所以当n≤6时，an＜0. 故当n＝6时，Sn取到最小值， 为S6＝6a1＋15d＝－57. 若选②， (1)设数列{an}的公差为d， 则 解得 所以an＝－10＋(n－1)×2＝2n－12. 令2n－12＝2 025，解得n＝1 018.5∉N*， 所以2 025不是数列{an}中的项. (2)令2n－12＞0，得n＞6， 所以当n≤6时，an≤0. 故当n＝6，或n＝5时，Sn取到最小值， 为S5＝S6＝6×(－10)＋×2＝－30. (11—13，每小题5分，共15分) 11.(2023·新课标Ⅰ卷)设Sn为数列的前n项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列.则(　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案：C 解析：法一：甲：为等差数列，设其首项为a1，公差为d，则Sn＝na1＋d， ＝a1＋d＝n＋a1－，－＝，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即－＝＝为常数，设为t，即＝t，则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，两式相减得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选C. 法二：甲：为等差数列，设数列的首项a1，公差为d，即Sn＝na1＋d， 则＝a1＋d＝n＋a1－，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即－＝D，＝S1＋(n－1)D，即Sn＝nS1＋n(n－1)D，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，当n≥2时，上两式相减得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，当n＝1时，上式成立，于是an＝a1＋2(n－1)D，又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D为常数，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选C. 12.(多选)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n可以是(　　) A.1 B.2 C.3 D.6 答案：ABC 解析：＝＝＝＝＝＝＝7＋.当n＝1，2，3，5，11时，为整数，即当n＝1，2，3，5，11时，为整数.故选ABC. 13.(多选)(2025·山西吕梁高二检测)已知等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，若S10＜S8＜S9，则下列说法正确的是(　　) A.当n＝8，Sn最大 B.使得Sn＜0成立的最小自然数n＝18 C.＞ D.中最小项为 答案：BD 解析：根据题意，因为两式相加，解得，当n＝9时，Sn最大，故A错误；由S10＜S8，可得到a9＋a10＜0＜a9，所以a8＋a11＜0，a10＋a11＋a8＋a9＜0，所以＜，故C错误；由以上可得a1＞a2＞a3＞…＞a9＞0＞a10＞a11＞…，S17＝＝17a9＞0，而S18＝＝9＜0，当n≤17时，Sn＞0；当n≥18时，Sn＜0；所以使得Sn＜0成立的最小自然数n＝18，故B正确；当n≤9，或n≥18时，＞0；当9＜n＜18时，＜0；由0＞a10＞a11＞…＞a17，S10＞S11＞S12＞…＞S17＞0，所以，故D正确.故选BD. 14.(15分)(2025·江苏南京高二期中)设等差数列的前n项和为Sn.已知a2＋a6＝2，S9＝－18. (1)求an； (2)当n为何值时，最小？并求此最小值. 解：(1)设等差数列的公差为d， 又a2＋a6＝2，S9＝－18， 所以2a1＋6d＝2，9a1＋36d＝－18， 解得a1＝10，d＝－3， 所以an＝a1＋d＝13－3n. (2)由(1)得＝｜n(23－3n)｜＝ 记｜Sn｜＝Tn，当n≤7时， Tn＝n＝－＋， 当1≤n≤3，n∈N时，Tn递增，当4≤n≤7，n∈N时，Tn递减，又T1＝10，T7＝7， 所以Tn的最小值为7； 当n≥8时，Tn＝n＝－，Tn在[8，＋∞)上递增，又T8＝4， 所以Tn的最小值为4， 综上，的最小值为4. 15.(5分)风雨桥(如图①所示)是侗族最具特色的民间建筑之一.风雨桥由桥、塔、亭组成.其中亭、塔的俯视图通常是正方形、正六边形或正八边形.图②是某风雨桥亭的大致俯视图，其中正六边形的边长的计算方法如下：A1B1＝A0B0－B0B1，A2B2＝A1B1－B1B2，…，AnBn＝An－1Bn－1－Bn－1Bn，其中B3B4＝B2B3＝B1B2＝B0B1，n∈N*.已知该风雨桥亭共5层，若A0B0＝8 m，B0B1＝0.5 m，则图②中的五个正六边形的周长总和为(　　) A.120 m B.210 m C.130 m D.310 m 答案：B 解析：由已知得AnBn＝An－1Bn－1－Bn－1Bn (n≤4且n∈N*)，B3B4＝B2B3＝B1B2＝B0B1＝0.5 m，易知图②中五个正六边形的边长(单位：m)构成以a1＝8为首项，d＝－0.5为公差的等差数列.设数列的前5项和为S5，则S5＝5a1＋×5×4×d＝5×8－×5×4×0.5＝35，所以图②中的五个正六边形的周长总和为6S5＝6×35＝210 m.故选B. 16.(17分)在数列{an}中，＋an＝2n－44(n∈N*)，a1＝－23. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值. 解：(1)由＋an＝2n－44(n∈N*)， 得＋＝2(n＋1)－44， 所以－an＝2. 又a2＋a1＝2－44＝－42，所以a2＝－19. 同理可得a3＝－21，a4＝－17. 由－an＝2可得a1，a3，a5，…是以a1为首项，2为公差的等差数列，a2，a4，a6，…是以a2为首项，2为公差的等差数列， 所以an＝ (2)当n为偶数时， Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(＋an) ＝(2×1－44)＋(2×3－44)＋…＋[2×(n－1)－44] ＝2[1＋3＋…＋(n－1)]－×44 ＝－22n＝(n－22)2－242， 故当n＝22时，Sn取得最小值－242. 当n为奇数时， Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(＋an) ＝a1＋(2×2－44)＋…＋[2×(n－1)－44] ＝a1＋2[2＋4＋…＋(n－1)]＋×(－44) ＝－23＋－22(n－1) ＝－22n－＝(n－22)2－， 故当n＝21，或n＝23时，Sn取得最小值－243. 综上，当n为偶数时，Sn取得最小值－242；当n为奇数时，Sn取得最小值－243. 学科网（北京）股份有限公司 $