课时分层评价6 等差数列前n项和的性质及其应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价6　等差数列前n项和的性质及其应用

(时间：60分钟　满分：110分)

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)

(1—9，每小题5分，共45分)

1.已知等差数列的前n项和为Sn，若S4＝2，S8＝12，则S20＝(　　)

A.30 B.58 

C.60 D.90

答案：D

解析：由数列为等差数列，故S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16亦为等差数列，由S4＝2，S8＝12，则S8－S4＝10，故S12－S8＝18，S16－S12＝26，S20－S16＝34，即有S12＝18＋S8＝30，S16＝26＋S12＝56，S20＝34＋S16＝90.故选D.

2.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1等于(　　)

A.35 B.32 

C.23 D.38

答案：A

解析：由题意可知，九个儿子的年龄成公差d＝－3的等差数列，且九项之和为207，故S9＝9a1＋d＝9a1－108＝207，解得a1＝35.故选A.

3.等差数列的前n项和为Sn，且S2 025＞0，S2 026＜0，则Sn取得最大值时，n＝(　　)

A.1 010 B.1 011 

C.1 012 D.1 013

答案：D

解析：由S2 025＞0，可得S2 025＝＝2 025a1 013＞0，即a1 013＞0.由S2 026＜0，可得S2 026＝＝1 013(a1 013＋a1 014)＜0，即a1 013＋a1 014＜0，故a1 014＜0，则数列是前1 013项为正数，从第1 014项开始为负数的递减数列，故Sn取得最大值时n＝1 013.故选D.

4.(2025·河北石家庄高二月考)已知等差数列的前n项和为Sn且S7＝7，S15＝75，则的前n项和为(　　)

A.Tn＝＋ B.Tn＝－

C.Tn＝＋ D.Tn＝－

答案：B

解析：设等差数列的公差为d，因为S7＝7，S15＝75，所以所以an＝－2＋(n－1)＝n－3，Sn＝＝，设bn＝＝，所以当n≥2时，bn－bn－1＝－＝，所以数列是等差数列，首项为－2，公差为.则其前n项和Tn＝＝＝－.故选B.

5.(多选)记Sn为等差数列的前n项和，则(　　)

A.S6＝2S4－S2

B.S6＝3

C.S2n，S4n－S2n，S6n－S4n成等差数列

D.，，成等差数列

答案：BCD

解析：由已知得Sn＝na1＋，对于A，S6＝6a1＋15d，S4＝4a1＋6d，S2＝2a1＋d，所以2S4－S2＝6a1＋11d≠S6，故A错误；对于B，3＝6a1＋15d＝S6，故B正

确；对于C，根据片段和的性质即可得到，故C正确；对于D，根据成等差数列， 故D正确.故选BCD.

6.(多选)等差数列{an}是递增数列，满足a7＝3a5，前n项和为Sn，下列选项正确的是(　　)

A.d＞0

B.a1＜0

C.当n＝5时Sn最小

D.Sn＞0时n的最小值为8

答案：ABD

解析：由题意，设等差数列{an}的公差为d，因为a7＝3a5，可得a1＋6d＝3(a1＋4d)，解得a1＝－3d.又由等差数列{an}是递增数列，可知d＞0，则a1＜0，故A，B正确；因为Sn＝n2＋n＝n2－n，由n＝－＝可知，当n＝3或n＝4时Sn最小，故C错误；令Sn＝n2－n＞0，解得n＜0或n＞7(n∈N*)，即Sn＞0时n的最小值为8，故D正确.故选ABD.

7.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为　　　　.

答案：10

解析：由题意知钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个.所以钢管总数为1＋2＋3＋…＋n＝.当n＝19时，S19＝190，当n＝20时，S20＝210＞200，所以当n＝19时，剩余钢管根数最少，为200－190＝10(根).

8.在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，则公差d的取值范围是　　　　　　.

答案：(－1，－)