课时分层评价4 等差数列的性质及其实际应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价4　等差数列的性质及其实际应用 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(　　) A.5 B.6 C.8 D.10 答案：A 解析：由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，又因为a1＋a9＝10，即2a5＝10，所以a5＝5.故选A. 2.已知数列{an}满足2an＝＋(n≥2，n∈N*)，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(　　) A.5 B.6 C.16 D.32 答案：B 解析：因为2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)，所以{an}为等差数列，故数列a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，…，a6＋a7＋a8构成一个新的等差数列，其首项为1，公差为1，所以a6＋a7＋a8＝1＋(6－1)×1＝6.故选B. 3.已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且a1＋b1＝1，a2＋b2＝3，则a2 025＋b2 025＝(　　) A.4 045 B.4 047 C.4 049 D.4 051 答案：C 解析：由于{an}，{bn}均为等差数列，故数列{an＋bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a2 025＋b2 025＝1＋2 024×2＝4 049.故选C. 4.在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值为(　　) A.14 B.15 C.16 D.17 答案：C 解析：设公差为d，因为a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，所以5a8＝120，a8＝24，所以a9－a11＝(a8＋d)－(a8＋3d)＝a8＝16.故选C. 5.(多选)已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(　　) A.a1＋a101＞0 B.a2＋a100＜0 C.a3＋a99＝0 D.a51＝0 答案：CD 解析：由题意得a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以101a51＝0，所以a51＝0，所以a1＋a101＝a2＋a100＝2a51＝0，a3＋a99＝2a51＝0.故选CD. 6.(多选)已知各项均为正数的等差数列{an}单调递增，且a5＝2，则(　　) A.公差d的取值范围是(－∞，) B.a1＋a9 ＝4 C.2a7＝2＋a9 D.a5＋a6＜a4＋a8 答案：BCD 解析：由题意得d＞0，a1＞0，由a5＝2得a1＋4d＝2，即a1＝2－4d＞0，解得d＜，所以d∈(0，)，故A错误；由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5＝4，故B正确；2a7－a9＝(a5＋a9)－a9＝a5＝2，故C正确；a5＋a6－(a4＋a8)＝a5－a4－(a8－a6 )＝d－2d＝－d＜0，所以a5＋a6＜a4＋a8，故D正确.故选BCD. 7.在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a45＝　　　　. 答案：132 解析：在等差数列{an}中，a15，a25，a35，a45成等差数列，公差是a25－a15＝33.所以a45＝33＋3×33＝132. 8.(数学文化) 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中，乙所得为　　　　钱. 答案： 解析：由题意，设这五人所得钱分别为a＋2d，a＋d，a，a－d，a－2d，则a＋2d＋a＋d＝a＋a－d＋a－2d，且5a＝5，所以a＝1，d＝，所以乙所得为a＋d＝(钱). 9.(链教材P16例4)在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若数列{an}中每相邻两项之间都插入一个数，使之成为新的等差数列，那么新的等差数列的公差是　　　　　　　. 答案：－ 解析：设新的等差数列的公差为d，由a1＝8，a5＝2，得a3＝＝＝5，a2＝＝＝，所以d＝＝＝－. 10.(13分)(2025·陕西西安高二月考)四个数成递减等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40.求这四个数. 解：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意，得 解得 又因为四个数成递减等差数列， 所以d＜0，所以d＝－， 故所求的四个数为11，8，5，2. (11—13，每小题5分，共15分) 11.(新情境)1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 025这2 025个数中，能被3除余1，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则a10等于(　　) A.190 B.211 C.232 D.253 答案：A 解析：由题意可得an能被3除余1，且被7除余1，则an－1是21的倍数，即an－1＝21，即an＝21n－20，所以a10＝21×10－20＝190.故选A. 12.(多选)若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是(　　) A.{｜an｜} B.{－an} C.{pan＋q}(p，q为常数) D.{2an＋n} 答案：BCD 解析：数列－1，1，3是等差数列，取绝对值后：1，1，3不是等差数列，故A不成立；若{an}是等差数列，利用等差数列的定义知，{－an}为常数列，故是等差数列，故B成立；若{an}的公差为d，则(p＋q)－(pan＋q)＝p(－an)＝pd为常数，故{pan＋q}是等差数列，故C成立；(2＋n＋1)－(2an＋n)＝2(－an)＋1＝2d＋1为常数，故{2an＋n}是等差数列，故D成立.故选BCD. 13.等差数列{an}，{bn}满足对任意n∈N*都有＝，则＋＝　　　　. 答案：1 解析：由等差数列的性质可得b3＋b9＝b4＋b8＝2b6，a7＋a5＝2a6，所以＋＝＝＝＝1. 14.(15分)已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若从数列{an}中，依次取出第2项、第4项、第6项……第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式. 解：(1)因为a1＋a2＋a3＝12，即3a2＝12， 所以a2＝4. 设公差为d，则a8＝a2＋(8－2)d，所以16＝4＋6d， 所以d＝2，所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n. (2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，＝2×2n＝4n. 当n＞1时，－＝4n－4(n－1)＝4. 所以{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列， 所以bn＝4＋4(n－1)＝4n. 15.(5分)(双空题)若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则公差d＝　　　　，｜m－n｜＝　　　　. 答案：　 解析：设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列，则a1＋a4＝a2＋a3＝2.再设此等差数列的公差为d，则2a1＋3d＝2，因为a1＝，所以d＝.所以a2＝＋＝，a3＝＋1＝，a4＝＋＝.所以｜m－n｜＝｜a1a4－a2a3｜＝×－×＝. 16.(17分)(新角度)已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d(d≠0)的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列. (1)若a20＝40，求d； (2)试写出a30关于d的关系式，并求出a30的取值范围； (3)续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列，依此类推，把已知数列推广为无穷数列，请对这个数列作简单概述. 解：(1)依题意得，a10＝10，a20＝10＋10d＝40，所以d＝3. (2)a30＝a20＋10d2＝10(1＋d＋d2)(d≠0)， 故a30＝10， 当d∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a30∈. (3)所给数列可推广为无穷数列{an}，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，a10n，a10n＋1，…，a10(n＋1)是公差为dn的等差数列. 学科网（北京）股份有限公司 $