课时分层评价2 数列的递推公式与an和Sn的关系-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价2　数列的递推公式与an和Sn的关系 (时间：90分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a9的值为(　　) A.15 B.17 C.49 D.64 答案：B 解析：由已知，a9＝S9－S8＝92－82＝17.故选B. 2.(2025·山西太原高二期中)在数列中，a1＝，＝1－，则a2 026等于(　　) A. B.－1 C.2 D.3 答案：A 解析：当n＝1时，a2＝1－＝－1；当n＝2时，a3＝1－＝2；当n＝3时，a4＝1－＝＝a1；a5＝1－＝－1＝a2；a6＝2；…，所以数列{an}是一个周期为3的周期数列，故a2 026＝a3×675＋1＝a1＝.故选A. 3.数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝若an＝，则n的值等于(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案：C 解析：因为a1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝＝，a4＝1＋a2＝3，a5＝＝，a6＝1＋a3＝，a7＝＝，a8＝1＋a4＝4，a9＝＝，所以n＝9.故选C. 4.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则数列{an}的通项公式为an＝(　　) A.2＋ln n B.2＋(n－1)ln n C.2＋nln n D.1＋n＋ln n 答案：A 解析：a2＝a1＋ln(1＋)，a3＝a2＋ln(1＋)，…，an＝an－1＋ln(1＋)(n≥2)，则an＝a1＋ln(×××…×)＝2＋ln n(n≥2).又a1＝2＝2＋ln 1，所以an＝2＋ln n.故选A. 5.(多选)符合递推关系式an＝an－1的数列是(　　) A.1，2，3，4，… B.1，，2，2，… C.，2，2，4，… D.0，，2，2，… 答案：BC 解析：B与C中从第2项起，后一项是前一项的倍，符合递推公式an＝.在A中，后一项与前一项之差为1，递推公式为an－an－1＝1.在D中，无法推出递推公式.故选BC. 6.(多选)已知函数f(x)＝若数列{an}满足a1＝，＝f(an)，n∈N*，则下列说法正确的是(　　) A.该数列是周期数列且周期为3 B.该数列不是周期数列 C.a2 025＋a2 026＝ D.a2 025＋a2 026＝ 答案：BD 解析：a2＝f()＝－1＝；a3＝f()＝－1＝；a4＝f()＝＋＝；a5＝f()＝2×－1＝；a6＝f()＝2×－1＝；a7＝f()＝＋＝；…，所以从a3开始数列{an}是以3为周期的周期数列，但数列{an}并不是周期数列，故A错误，B正确.而a2 025＋a2 026＝a3＋a4＝＋＝，所以C错误，D正确.故选BD. 7.已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝＋2n－1，则a4＝　　　　. 答案：16 解析：当n≥2时，an－＝2n－1，所以a2－a1＝3，a3－a2＝5，a4－a3＝7，所以a4－a1＝15.又a1＝1，所以a4＝16. 8.在数列{an}中，a1＝，an＋1＝，则a98＝　　　　. 答案：－ 解析：因为a1＝，an＋1＝，所以a2＝＝－，a3＝＝，a4＝＝－，a5＝＝－，…，所以数列{an}是以2为周期的数列，则a98＝a2＝－. 9.(双空题)已知在数列{an}中，a1a2a3…an＝n2，则a3＋a5＝　　　　，an＝　　　　. 答案：　 解析：由题意n＝1时，a1＝1，所以由a1a2a3…an＝n2得，a1a2＝22，a1a2a3＝32，a1a2a3a4＝42，a1a2a3a4a5＝52，则a3＝＝，a5＝＝，故a3＋a5＝.a1a2a3…an＝n2，所以当n≥2时，a1a2a3…an－1＝(n－1)2，两式相除得an＝，故an＝ 10.(13分)已知数列{an}的前n项和Sn满足n＝log2(Sn－1)，求其通项公式an. 解：根据条件可得Sn＝2n＋1. 当n≥2时，an＝Sn－＝2n＋1－－1＝(2－1)＝， 当n＝1时，a1＝S1＝21＋1＝3≠21－1， 所以an＝ (11—13，每小题5分，共15分) 11.(新情境)(链教材P9T5)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如三角形数、正方形数、五边形数、六边形数等.如图所示，将所有六边形数按从小到大的顺序排列成数列，前3项依次为1，6，15，则此数列的递推公式可以是(　　) A.an＋1＝an＋4n－3 B.an＋1＝an＋4n－1 C.an＝an－1＋4n＋1(n≥2) D.an＝an－1＋4n－3(n≥2) 答案：D 解析：由题意，知a1＝1，a2＝a1＋5，a3＝a2＋9，a4＝a3＋13，…，以此类推，an＝an－1＋4(n－1)＋1＝an－1＋4n－3(n≥2).故选D. 12.(多选)若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＝(n≥3)，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列说法正确的是(　　) A.Tn有最大值 B.an无最大值 C.T2 025＝4 D.a2 025＝2 答案：ACD 解析：因为a1＝1，a2＝2，an＝(n≥3)，所以a3＝2，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，…，因此数列{an}是周期为6的周期数列，＝an，所以an有最大值2，a2 025＝a337×6＋3＝a3＝2，故B错误，D正确；又因为T1＝1，T2＝2，T3＝4，T4＝4，T5＝2，T6＝1，T7＝1，T8＝2，…，所以{Tn}是周期为6的周期数列，Tn＋6＝Tn，所以Tn有最大值4，T2 025＝T3＝4，故A，C正确.故选ACD. 13.(双空题)已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足＝ap＋aq，且a2＝－4，则a6＝　　　　，an＝　　　　. 答案：－12　－2n 解析：由条件知，a2＝a1＋a1＝－4，所以a1＝－2.a3＝a2＋a1＝－4－2＝－6，a4＝a3＋a1＝－8，a5＝a4＋a1＝－10，所以a6＝a5＋a1＝－12，依此类推可知an＝－2n. 14.(17分)已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记bn＝3n－λ，若数列{bn}为递增数列，求实数λ的取值范围. 解：(1)法一：因为2Sn＝(n＋1)an， 所以2Sn＋1＝(n＋2)an＋1， 所以2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an， 即nan＋1＝(n＋1)an，所以＝， 所以＝＝…＝＝1， 所以an＝n. 法二：因为2Sn＝(n＋1)an， 所以2Sn＋1＝(n＋2)an＋1， 所以2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an， 即nan＋1＝(n＋1)an，所以＝， 所以当n≥2时，an＝a1···…·＝1×××…×＝n. 又a1＝1也满足an＝n， 所以数列{an}的通项公式为an＝n. (2)由(1)知bn＝3n－λn2， 由bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2·3n－λ(2n＋1)， 因为数列{bn}为递增数列， 所以2·3n－λ(2n＋1)＞0，即λ＜. 令cn＝，则＝·＝＞1， 所以{cn}为递增数列，所以λ＜c1＝2， 即λ的取值范围为(－∞，2). (15、16，每小题5分，共10分) 15.公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，满足＝＋an(n≥1)，那么1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 026等于(　　) A.a2 024 B.a2 025 C.a2 026 D.a2 027 答案：D 解析：由于an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，则1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 026＝a1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 026＝a3＋a4＋a6＋…＋a2 026＝a5＋a6＋…＋a2 026＝a2 025＋a2 026＝a2 027.故选D. 16.(多选)(2024·江苏淮安高二期中)若数列{an}满足对任意正整数n，{an＋1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”.下面给出的通项公式中，可使{an}为“差递减数列”的有(　　) A.an＝3n B.an＝n2＋1 C.an＝ D.an＝ln 答案：CD 解析：对于A，若an＝3n，则an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，所以{an＋1－an}为常数列，故A错误；对于B，若an＝n2＋1，则an＋1－an＝(n＋1)2－n2＝2n＋1，所以{an＋1－an}为递增数列，故B错误；对于C，若an＝，则an＋1－an＝－＝，因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以{an＋1－an}为递减数列，故C正确；对于D，若an＝ln ，则an＋1－an＝ln －ln ＝ln(·)＝ln(1＋)，因为函数y＝ln(1＋)在(0，＋∞)上单调递减，所以{an＋1－an}为递减数列.故选CD. 学科网（北京）股份有限公司 $