第四章 重点突破2 数列求和（一）-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

学习目标 　　数列求和问题是学习的重点与难点，也是高考考查的热点，解答此类问题的基本原则是转化为等差数列或等比数列的前n项和问题.本节课在熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式的基础上，进一步掌握倒序相加法求和、分组转化法求和、并项法求和等方法. 技法一　公式法求和 已知数列{an}是等差数列，公差为d，Sn为数列{an}的前n项和，a1＋a7＝－2，S3＝15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{｜an｜}的前n项和Tn. 解：(1)法一：因为{an}是等差数列，公差为d，且a1＋a7＝－2，S3＝15，所以解得a1＝8，d＝－3， 所以an＝8＋(n－1)×(－3)＝－3n＋11， 所以数列{an}的通项公式为an＝－3n＋11. 法二：因为{an}是等差数列，所以2a4＝a1＋a7＝－2， 所以a4＝－1. 因为S3＝15，所以3a2＝15，所以a2＝5. 因为a4＝a2＋2d，即－1＝5＋2d，所以d＝－3， 所以an＝5＋(n－2)×(－3)＝－3n＋11. 所以数列{an}的通项公式为an＝－3n＋11. (2)令an≥0，则－3n＋11≥0，得n≤. 又n∈N*，所以当n≤3时，an＞0； 当n≥4时，an＜0. 因为a1＝8，an＝－3n＋11. 所以当n≤3时，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜＝a1＋a2＋…＋an＝＝； 当n≥4时，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜＝a1＋a2＋a3＋(－a4－…－an)＝2(a1＋a2＋a3)－(a1＋a2＋…＋an)＝2S3－Sn＝2×15－＝. 所以Tn＝ 公式法求和 　　公式法是数列求和最常用的方法之一，针对数列的结构特征确定数列的类型，符合等差或等比数列时，直接利用等差或等比数列相应的求和公式求解. 等差数列前n项和公式： Sn＝na1＋d＝； 等比数列前n项和公式： Sn＝ 对点练1.已知正项等比数列{an}满足a2a16＝16，且＝. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Tn＝a1a2…an，求Tn的最大值. 解：(1)设{an}的公比为q. 由a2a16＝＝16，得a9＝4. 由＝q3＝，得q＝， 所以an＝a9qn－9＝4×()n－9＝211－n. (2)由(1)得，Tn＝a1a2…an＝210＋9＋8＋…＋(11－n)＝. 因为二次函数y＝＝－x2＋x的图象的对称轴为直线x＝，且开口向下， 所以当n＝10或11时，取得最大值，即Tn取得最大值， 因为T10＝＝255，所以Tn的最大值为255. 学生用书⬇第53页 技法二　倒序相加法求和 已知函数f＝x2＋x，数列的前n项和为Sn，点均在函数f的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若函数g＝，令bn＝g(，求数列的前2 025项和T2 025. 解：(1)因为点均在函数f的图象上， 所以Sn＝n2＋n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n； 当n＝1时，a1＝S1＝1，适合上式，所以an＝n. (2)因为g＝，所以g＋g＝1. 又由(1)知an＝n，所以bn＝g. 所以T2 025＝b1＋b2＋…＋b2 025＝g＋g＋…＋g，① 又T2 025＝b2 025＋b2 024＋…＋b1＝g＋g＋…＋g，② ①＋②，2T2 025＝2 025＝2 025， 所以T2 025＝. 倒序相加法的应用 倒序相加法的应用 1.适用条件：与首末项等距离的两项之和等于首末两项之和的数列. 2.步骤：将数列的各项正序与倒序的两个和式相加，得到一个常数列的和，从而得到前n项和. 3.注意：(1)通过题意隐含条件挖掘其中蕴含的常数关系. (2)在教材拓展3 中对倒序相加法求和拓展了一些，此处对该法再进行深化研究，彻底掌握该思想方法. 对点练2.已知f(x)＝，若等比数列{an}满足a1a2 026＝1，则f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2 026)＝(　　) A.1 012 B.1 013 C.2 025 D.2 026 答案：D 解析：因为f(x)＝，所以f(x)＋f()＝＋＝＋＝2. 因为等比数列{an}满足a1a2 026＝1， 所以a1a2 026＝a2a2 025＝…＝a2 026a1＝1， 所以f(a1)＋f(a2 026)＝f(a2)＋f(a2 025)＝…＝f(a2 026)＋f(a1)＝2，即f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2 026)＝2 026.故选D. 技法三　分组转化法求和 (2025·河北衡水高二期中)已知递增的等比数列满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中项.数列是等差数列，且b1＝a1，b3＝a1＋a2＋a3. (1)求数列，的通项公式； (2)设cn＝an＋bn，求数列的前n项和Sn. 解：(1)设等比数列的首项为a1，公比为q. 由已知得2(a3＋2)＝a2＋a4，代入a2＋a3＋a4＝28，可得a3＝8.于是a2＋a4＝20. 故 又数列为递增数列，故所以an＝2n. 设等差数列的首项为b1＝a1＝2，公差为d. 所以b3＝2＋4＋8＝14＝2＋2d，所以d＝6， 所以bn＝2＋(n－1)×6＝6n－4， 所以bn＝6n－4. (2)由题得cn＝an＋bn＝2n＋6n－4. 所以数列的前n项和Sn＝＋(2＋6n－4)＝2n＋1＋3n2－n－2. 分组求和法的常见类型 对点练3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项都为正数，且满足a1＝b1＝2，a3＝b1＋b2，S3＝b3＋4. 学生用书⬇第54页 (1)求{an}，{bn}的通项公式； (2)记cn＝(k∈N*)，求数列{cn}的前2n项的和. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，正项等比数列{bn}的公比为q(q＞0)，依题意， 解得d＝q＝2， 所以数列{an}的通项公式为an＝2＋2(n－1)＝2n， 数列{bn}的通项公式为bn＝2×2n－1＝2n. (2)由(1)知，＝4k－2，数列{}是等差数列，首项为2，公差为4， ＝＝4k，数列{}是等比数列，首项为4，公比为4， 而cn＝(k∈N*)， 则数列{cn}的前2n项的和 T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(b2＋b4＋…＋) ＝n×2＋×4＋＝＋2n2－， 所以数列{cn}的前2n项的和为＋2n2－. 技法四　并项法求和 已知数列an＝(－1)nn，求数列{an}的前n项和Sn. 解：法一：若n是偶数，则Sn＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋[－(n－1)＋n]＝； 若n是奇数，则Sn＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋(－n)＝－n＝－. 综上所述，Sn＝n∈N*. 法二：可采用分组求和(略). [变式探究]　(变条件)若an＝(－1)nn2，求数列{an}的前n项和Sn. 解：若n是偶数，Sn＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋[－(n－1)2＋n2] ＝3＋7＋11＋…＋2n－1，共有项， 故Sn＝×3＋×4＝. 若n是奇数，Sn＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋(－n2) ＝3＋7＋11＋…＋(－n2)，其中有前项是等差数列， 故有Sn＝×3＋×4－n2＝ －. 综上所述，Sn＝n∈N*. 并项法求和的解题策略 1.常见题型：数列an满足an＝(－1)n－1f(n)型、an是周期数列、ak＋ak＋1为定值. 2.注意：在利用并项法求和时，一般需要对项数n进行分类讨论，最终的结果可以用分段形式来表示. 对点练4.已知数列{an}各项均为正数，且a1＝2，－2＝＋2an. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝(－1)nan，求b1＋b2＋b3＋…＋b20. 解：(1)由－2an＋1＝＋2an. 得(－an)·(＋an)＝2(＋an)，而n∈N*，an＞0， 因此－an＝2，即数列{an}是首项a1＝2，公差d＝2的等差数列， 所以数列{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n. (2)由(1)知，bn＝(－1)n·2n， 则有＋＝(－1×2(2n－1)＋(－1×2×2n＝2， 所以b1＋b2＋b3＋…＋b20＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b19＋b20)＝2×10＝20. 1.数列{an}满足an＋1＝2an(an≠0)，且a2与a4的等差中项是5，则a1＋a2＋…＋an＝(　　) A.2n B.2n－1 C.2n－1 D.2n－1－1 答案：B 解析：由an＋1＝2an(an≠0)，得{an}是公比为2的等比数列.又a2＋a4＝2a1＋23·a1＝10a1＝10，解得a1＝1，所以a1＋a2＋…＋an＝＝2n－1.故选B. 2.数列2，4，6，…的前n项和Sn为(　　) A.n2＋1＋ B.n2＋2－ C.n(n＋1)＋－ D.n(n＋1)＋ 答案：C 解析：Sn＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(＋＋…＋)＝n(2＋2n)＋＝n(n＋1)＋－. 故选C. 3.在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可以求得sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝　　　　. 答案：44.5 解析：令S＝sin21°＋sin22°＋…＋sin289°， 则S＝sin289°＋sin288°＋…＋sin21°，两式相加可得2S＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin289°＋sin21°)＝89，故S＝44.5，即sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝44.5. 4.已知数列－1，4，－7，10，…，(－1)n·(3n－2)，…，则其前n项和Sn＝　　　　　　　　. 答案：Sn＝ 解析：当n为偶数时，令n＝2k(k∈N*)，Sn＝S2k＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)n(3n－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－6k＋5)＋(6k－2)]＝3k＝n.当n为奇数时，令n＝2k＋1(k∈N*)，Sn＝S2k＋1＝S2k＋a2k＋1＝3k－(6k＋1)＝.所以Sn＝ 学科网（北京）股份有限公司 $