专题02 导数及其应用（期末复习课件）高二数学下学期人教A版

©学科网·上好课 人教A版 期末复习讲义 高二年级数学下学期 专题02导数及其应用 明•期末考情 记必备知识 破•重难题型 过分层验收 内容导航 题型05由函数单调性求参数 题型06由极值、极值，点、最值求参数 题型07恒成立问题 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 题型08能成立（有解）问题 题型09恒成立问题中的整数最值问题 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 题型10利用导数证明不等式 破·重难题型 题型11导数与函数的零点 题型分类突破，方法技巧精讲 题型12方程的根与图象交点 题型13隐零，点设而不求 题型01公切线问题 题型14导数中的极值，点偏移问题 题型02具体函数的单调性、极值最值 题型15数列、三角函数、概率与导数交汇问题 题型03利用导数求含参可分离函数的单调性 题型04利用导数求含参不可分离函数的单调性 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 第一部分 明•期末考情 明•期末考情 记必备知识 破·重难题型 过·分层验收 核心考点 复习目标 考情规律 导数的基本计算 能熟练运用基本初等函数导数公式和四则运算法基础必考点，常以选择题、填空题或解答题第一问 则，求简单函数的导数 出现，易错点在于复合函数求导漏乘内层导数 求切线方程 能根据函数解析式与切点坐标（或切线过某点） 高频考点，注意区分在点处“与过点处的切线， 正确求出切线方程 后者需设切点求解 由切线求参数 能利用切线方程与函数的关系（切点在曲线上、 常与导数计算结合，考查方程思想，易错点在于忽 斜率等于导数值)，建立方程（组）求参数 略切点同时在切线和曲线上 公切线问题 能解决两个函数存在公共切线的问题，通过设切难度中上，常作为小题或解答题中间步骤，关键点 点、联立方程求解参数或判断存在性 在于正确表达两条切线相同 能根据原函数图象判断导函数图象的正负区间、 导函数与原函数的图象关系 极值点，或由导函数图象还原原函数单调性与极 小题高频考点，易错点在于混淆极值点与导数为零 点的对应关系 值 具体函数的单调性、极值最值 能通过求导、解不等式确定具体函数（无参数） 基础综合考点，要求步骤规范，易错点在于忘记定 的单调区间、极值与闭区间最值 义域或导数分母不为零 利用导数求含参可分离函数的单调能对含参函数进行参变分离，转化为讨论不含参中档考点，考查转化思想，注意分离后参数与变量 性 函数的单调性问题 的范围限制 利用导数求含参不可分离函数的单能直接对含参函数求导，通过分类讨论参数范围，高频压轴考点，分类讨论是难点，易错点在于讨论 调性 确定导函数符号，从而得到单调区间 不完整或区间合并不当 二阶导 能正确计算二阶导数，并利用二阶导符号判断函常以小题或大题中间步骤出现，考查对导数深层意 数图象的凹凸性，辅助研究极值、拐点 义的理解 能根据函数在给定区间上单调（增、减或非单调 由函数单调性求参数 ,转化为导函数恒成立或存在零点问题，求参数 重要考点，常结合分离参数或分类讨论，易错点在 范围 于等号是否可取 由极值和极值点求参数 能利用极值点处导数为零，并结合极值定义或极中高频考点，易错点在于验证极值点两侧导数符号 值点位置，建立方程（组）或不等式求参数 变化 由最值求参数 能根据函数在闭区间上的最值条件（已知最值或常见于解答题第二问，需结合单调性讨论，注意区 最值位置)，建立关于参数的方程或不等式求解间端点与极值点比较 核心考点 复习目标 考情规律 恒成立问题 能将“X)≥Q或≤0)在区间上恒成立"转化为函数最值解答题核心考点，常与分类讨论、最值、构造新函数 问题，或通过分离参数求解参数范围 结合，易错点在于最值点是否在区间内 能成立（有解）问题 能将存在x使)≥0成立"转化为函数最大值非负或分离与恒成立对称考查，注意存在"与任意“的逻辑转换 参数后的值域问题 易混淆条件 利用导数证明不等式 能通过构造函数、求导判断单调性或最值，证明与函数压轴题常见题型，考查构造能力与代数变形，易错点 相关的不等式（常见如单变量、双变量 在于构造函数不恰当 参变分离 能在恒成立或有解问题中，将参数与变量分离，转化为重要解题技巧，简化分类讨论，注意分离后函数定义 求不含参函数的最值或值域 域及极限情况 洛必达法则 能使用洛必达法则求解分式型函数在端点处未定式 高端技巧，部分压轴题可用，需注意使用条件（可导 (0/0或0/0)的极限，用于确定参数范围 且分母导数不为零) 端点效应（假性端点）与必要性探路 能利用区间端点函数值或导数值满足的条件，先求出参压轴题优化策略，可快速锁定参数范围，易错点在于 数的必要范围，再验证充分性，简化讨论 忘记验证充分性 恒成立问题中的整数最值问题 能结合函数单调性与整数特性，求解使不等式恒成立的常与分离参数、估值结合，考查数感与逼近思想，易 参数整数最值（如最大整数、最小整数 错点在于整数端点取舍 导数与函数的零点（方程的根、图象交 能利用导数研究函数单调性、极值与最值，判断零点个压轴高频考点，常结合零点存在定理，易错点在于漏 点) 数或根据零点情况求参数范围 看定义域或单调区间不连续 能在导数零点无法显式表达时，设出隐零点，利用零点高端解题技巧，突破传统求根限制，考查代数整体代 隐零点设而不求 满足的方程进行化简、代换，解决极值或不等式问题 换能力 利用导数研究双变量 能处理两个独立变量的问题，通过构造新函数、统一变难度较大，常与不等式证明结合，易错点在于变量代 量或利用单调性转化为单变量问题 换后不等号方向 利用导数研究多变量问题 能通过消元、主元法或构造函数，将多个变量问题转化 为函数最值或单调性问题 综合压轴题型，考查变量控制思想，需灵活选择主元 导数中的极值点偏移问题 能识别极值点偏移特征（如fx1)=x2)且x1≠x2,极值点导数压轴经典题型，考查对数平均不等式或构造函数 不在中点)，通过构造对称函数或比值代换证明不等式对称性，难度大 数列、三角函数、概率与导数交汇问题 能综合运用数列求和、三角函数性质、概率分布与导数新高考趋势题型，考查知识迁移与综合应用能力，常 工具，解决跨章节综合问题 以创新情境出现 第二部分 记·必备知识 明•期末考情 记必备知识 破·重难题型 过·分层验收 记·必备知识 局知识点1平均变化率 对于函数y=f(x),设自变量x从xo变化到 档应地，r函数值y从f(xo)变为 这时，x的度猪量心x,y的变化量为△y=f(xo+△x)-f(xo). 我们把比值兴，即g= 叫做两数y=点器经平均变化率 记·必备知识 局知识点2瞬时变化率率 设函数y=f(x)在xo附近有定义，自变量在x=xo处的改变量为△x,当△x无限接近于0时，若 平均变化率：=0+f回无限接近于一个常数k,那么称常数k为函数f)在x=知处的瞬 时变化率. 记作：当△x→0时，fo+-f@→k. △x lim f(x0+△x)-fx0) =k 上述过程，通常也记作 △x→0 Ax 记·必备知识 局知识点3导数的定义 函数y=f(x)在x=xo处的导数定义式：f'(xo)=Iim f(xo+△x)-f(xo) △x0 △x 实质：函数y=f(x)在x=xo处的导数即函数y=f(x)在x=x处的 瞬时变化率· 记·必备知识 知识点4割线斜率与切线斜率 设函数y=f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(xo,f(xo)与点B(xo+△x,f(xO+△x)的一条割线， 此割线的斜率是y= fxo+△x)-fxo) y △x xo+△xxo 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD,直线AD叫做此曲线在点A 处的 切线 ·于是，当△→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k,即k= f'(re)=lim fxo+△x)-fxo】 △x→0 △x 记·必备知识 局知识点5导数的几何意义 f'(xo)就是曲线y=f(x)在点(xo,f(xo)(也称x=xo处)处的切线的斜率，从而根据直线的点 斜式方程可知，切线的方程是y-fxo)=f(xo)x-xo) 记·必备知识 知识点6常用基本初等函数的求导公式 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=0 f(x)=xa f'(x)=_ax-1 f(x)=sinx f'(x)=cosx f(x)=cosx f'(x)=-sinx 回回(x)=ax f'(x)=-an4-(a>0,且a≠1) f(x)=ex f'(x)=- 1 f(x)=logax fo=xtma(a>0,且a≠1) 1 f(x)=Inx f(x)=_ 记·必备知识 知识点7导数的运算法则 已知f(x),g(x)为可导函数，且g(x)≠0. (1)[f(x)±9(x)= f'(x)±g'x) (2)[f(x)g()'= f(x)g(x)+f(x)g'(x), 特别地，[Cf(x)]'=」 Cf"(x) (3) [g'-ra9ag'@, 特别地， g'① g2(x) 92(m) 记·必备知识 局知识点8复合函数的导数 (1)复合函数的概念 一般地，对于两个函数y=f()和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个 函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y= f(g(x)) (2)复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y=f(u和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x),它的导数与函数y=f(),u= g(x)的导数间的关系为yx= yuux 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 记·必备知识 知识点9导函数与原函数的关系 条件 恒有 结论 f'(x)>0 x)在(a,b)上单调递增 函数y三x)在区间(a,b上可导 f'(x)<0 x)在(a,b)上单调递减 f'(x)=0 x)在(a,b)上是常数函数 记·必备知识 知识点10利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域， 第2步，求出导函数f(x)的零点； 第3步，用f(x)的零点将x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f(x)在各区间上的正负，由此 得出函数y=x)在定义域内的单调性， [常用结论] 1.若函数fx)在(a,b)上单调递增，则x∈(a,b)时，f'(x)≥0恒成立；若函数fx)在(a,b)上单调递减， 则x∈(a,b)时，f'(x)≤0恒成立. 2.若函数x)在(a,b)上存在单调递增区间，则x∈(a,b)时，f'(x)>0有解；若函数x)在(a,b)上存 在单调递减区间，则x∈(a,b)时，f(x)<0有解 记·必备知识 知识点11极值的定义 极大值：函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大f'(b)=0,而且在 点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f(x)<0.我们把b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x) 的极大值 极小值：函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小f'(a)=0;而且 在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x) 的极小值 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f'(x); (2)求方程f'(x)=0的根 (3)列表 (4)利用f'(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值. 记·必备知识 知识点12极值与导数的关系 f(x)是极值点→f'(x)=0 记·必备知识 局知识点13函数的最值与导数 设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的 极值 2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(@)、f(b)比较，其中最大的一个为最 大值，最小的一个为最小值 记·必备知识 二阶导的定义 定义1：若函数f(x)的导函数f'(x)在点x=xo处可导，则称f(x)在点x=xo的导数为f(x) 在点x=xo的二阶导数，记作f"(xo),同时称f(x)在点x=xo为二阶可导， 定义2：若f(x)在区间M上每一点都二阶可导，则得到一个定义在M上的二阶可导函数，记 作f"(x),x∈M,x∈I. 记·必备知识 局知识点15恒成立问题常见类型 自变量x,范围为D,f(x)为函数；a为参数， (1)f(x)的值域为[m,M ①vxED,g(a)≤f(x),则只需要g(ad≤f(x)mim x∈D,g(a)<f(x),则只需要g(a)<f(x)mim ②Nx∈D,g(a)≥f(x),则只需要g(a)≥f(x)=max x∈D,g(a)>f(x),则只需要g(a>f(x)=max (2)若f(x)的值域为(m,M) ①x∈D,g(a)≤f(x),则只需要g(a)≤m Vx∈D,g(a<f(x),则只需要g(a)≤m(注意与(1)中对应情况进行对比) ②x∈D,g(a)≥f(x),则只需要g(a)≥M Vx∈D,g(a>f(x),则只需要g(a)≥M(注意与(1)中对应情况进行对比) 记·必备知识 局知识点16能成立（有解）问题常见类型 自变量x,范围为D,f(x)为函数：a为参数 (1)若f(x)的值域为[m,M ①]x∈D,g(a)≤f(x),则只需要g(a)≤f(x)max 3x∈D,g(a<f(x),则只需要g(a)<f(x)max ②]x∈D,g(a)≥f(x),则只需要g(a≥f(x)mim 3xeD,g(a)>f(x),则只需要g(a)>f(x)mim (2)若f(x)的值域为(m,M) ①3x∈D,g(a)≤f(x),则只需要g(a)<M(注意与(1)中对应情况进行对比) 3x∈D,g(a)<f(x),则只需要g(a<M ②3xED,g(a)≥f(x),则只需要g(a>m(注意与(1)中对应情况进行对比) 3x∈D,g(a)>f(x),则只需要g(a)>m 记·必备知识 知识点17端点效应的类型 1.如果函数f(x)在区间[a,b]上恒有f(x)≥0，则端点值满足f(a)≥0且f(b)≥0. 2.(左端点情形)如果函数f(x)在区间[a,b]上恒有f(x)≥0，且f(a)=0,且f(x)在x=a处可导 则f'(a)≥0. (右端点情形)如果函数f(x)在区间[a,b]上恒有f(x)≥0，且f(b)=0,且f(x)在x=b处可导，则 f'(b)≤0 3.(左端点情形)如果函数f(x)在区间[a,]上恒有f(x)≥0，且f(a)=0,f'(a)=0,且二阶可导，则 f"(a≥0 (右端点情形)如果函数f(x)在区间[a,b]上恒有f(x)≥0，且f(b)=0,f'(b)=0,且二阶可导，则 f"(b)≤0 记·必备知识 洛必达法则 法则1 若函数f(x)和g(x)满足下列条件： (1)limf(x)=0limg(x)=0; x-0 (2)在点a的去心邻域内，fx)与g(x)可导且g'(x)≠0： (3)lim'e=L,那么limf园-imfg=l.8型 x-→ag'(x) x-→agx)x-→ag'(x) 法则2 若函数fx)和g(x)满足下列条件： (1) limf(x)=colimg(x)=oo; X→Q (2)在点a的去心邻域内，fx)与g(x)可导且g’(x)≠0： 3)img=l那么lm周img=L 巴型 第三部分 破•重难题型 明•期末考情 记必备知识 破•重难题型 过·分层验收 巴题型一公切线问题 解|题技巧 :分别设两曲线的切点，由斜率相等得一个方程，再由同一直线（截距相等或两点共线）得另一个 方程，联立求解注意可能同一公共切点的情况 破·重难题型 【典例1】(24-25高二下.广东深圳期末)直线y=kx+b y=e-2y=e-1 k+b= 【详解】设直线y=xb y=er-2 图的切点为 (s,e-）ye- 当x+b y-e:2=e-2(x-) y=e-1 与。 (s,e5-1)y=e y=hx+b y-(e-1)e*(x-x)y=ex+(-)9-1 的方程可表不为 h=e* e-2 =e b=1-x2)e-1 -s)=0-)-1e4e x-2=x2 (-x2-1)e=1-x2)e5-1 e= x2=-n2 In2 2 b=(+n2):-1=1+n2-1=n2-=1+6=n2 2 2 破·重难题型 【变式1】(24-25高二上.江苏准安.阶段检测)直线y=kx+b e y=e*-2 e h=e-1 【详解】y=兰=e- y=h+b y=e+-1 (,)'=e =etml e 出=低+b h=e y=kx+b y=e*-2 (s)=e h2=e5-2 e1=e* x-1=x2 h=e5-1 与 的幻点为 2=c2+b 可 {2=e5-2 -y2=2 -乃2=(：-2)》 k=2 e=2 书2=n2 b=2-x2=e5-2-2=22-2ln2=-2n2 -2n2 破·重难题型 【变式2】2425高二下.湖南衡阳.期末)已知圆C:(2m-1)x2+mm2+2.x-m=0 y=alnx y下2化十L<0c克 4= 【详解】由圆C的方程，得2m-1=mm=1 (x+1}+2-2 C(-1,0) 到A .y=2x+L=x+2 d=n-1=v5u<) n=-1 y=x-1 y=alnx √2 (xo,alnx） 的面西 限服，象切成为 if(x)=alnx f)=是)：1 f(c)=lnx。=x-1 -4+alna=-1 为 ig(x)=-x+xInx g'(x)=Inx 0<x<1g(x)<0 x>1g(x)>0 g(x)(0,1) (1,+∞) g(e)an=g(1)=-1 4a=1 V2;1 在 黄新社 ☑题型二具体函数的单调性、极值最值 解|题|技|巧 先求定义域，求导后令导数为零，划分区间列表，判断导数符号得单调区间和极值 最值需比较极值与端点值 破·重难题型 【典例1】2425高二下北京石景山，期末已知函数f()=心-？上-6r+1 2 )求f() 2)求fe) 2,4n 【详解】（①x)=3x2-3x-6=3(x+1)(x-2)()=0 x=-1 x=2 x<-1“>2 f'(x>0 -1<x<2 '(x)<0 f(x)（-o,-1)(2+o)? 上线在 (-1,2) 上保用城坡函结的荣闲墙区同 （-2,-1)(2,+o)2 (-1,2) 2由0知函数的极大做为/)-” f2)=-9 7-2)=-1,f④=17(x) 24] 在区 17-9 破·重难题型 【典例2】24-25高二下甘肃张掖期末)已知函数f(x)=x2-xlnx+2a≠0 0当月 r(x) (2)若f(田 求实索心弹省道国 12 【详解】0当a-号”f()r-n+2eQ+o) /(r)=x-Inx-1 ‘m(x)=x-nx-1 m()=1-1--xeo,）.m)<0 .m(x)(@,). .r∈(，+oo)m()>0.m(r) ,+o∞) m(x)≥m1)=0 (x)20 x=1 f(x)(0,+∞) "I() (0,+oj 等号玻立所时 破·重难题型 (2)因为f(x)=2-xlnx+2a≠0 (0,+∞) (x)=2ax-Inx-1'f(x) 2 nxt.1-2a=0 Inx+1 12 mnx+1=2a 1 &()= y=24 x 有两个文意放 g(=h xe,)g'()>0g(x)0,1) x∈(1，+o)g'(x)<0 ln-+1 &(x) (1,+o) &(x)x=&(0)=ln1+1=1 eao）0日 e-=0 1 又为 ）。) 8()<0 g(x) y=24 0<2a<1 0<a< 的省象女直结 2 ( 破·重难题型 【变式1】2425高二下.江西上饶期末)已知函数f()=x2+2f(1)mx+1 (1)求曲线y=(x) (L,f（)）w (2)求fx) ,2 【详解】(1)因为fx)=x2+2f(1)nx+1 /y=2.x+2/ /0=2+2/ 01)=-2 x f(1)=12+2f(①)ln1+1=2 y=f(x) (L,/10) ,y-2=-2(x-1) x=0 y=4y=0 x=2 2×4x2=4 地所求为 2)由(1)可知f)=2+2f①)lnx+1=x2-4nx+1xe[1,2 r-2-÷.2-4） 1≤x<V2 (k05<x≤2.f)>0f(y[1,v2).(2,2] /0)=2,/K2)3-21n2,/2)=5-4n2 f(2)-/()=5-4ln2-2=3-4ln2= 12.73 In 1616 >n1=0 f()1,2 f2 =3-2n2 f(2)=5-4ln2 破·重难题型 【变式2】2425高二下.北京通州期末)已知函数f(x)=x2+x-2x (1①)求实数a的值； 2)求函数f( 【详解】()因为函数f(r)=x2+a-2nyx≠0 f(-x)=f(x),..(x)-ar-2In-x=x-ax-2In=x+axr-2In 2ax=0 a=0 2)由(1)知函数的解析式为f(x)=x2-2nx x≠0 x>0 f(x)=x-2Inx f(=2x-2_2c+x-） (x)>0x>1()<00<x<1 E(x) (1,+o) (0,) ()=0 x>0 x=1 x=1 f1)=1 上深 x<0 f(x)=x2-2n(←x) /6)=2x-2-2(+10x-）<0 (x)>00>x>-1 (x)<0 x<-1 f()（o,-1) (-1,0) x=-1 f()=1 ☑题型三利用导数求含参可分离函数的单调性 解|题|技巧 将参数分离到一边，转化为不含参的函数研究其单调性.常见于参数仅影响整体 乘除因子，或可通过恒等变形分离 破·重难题型 【典例1】24-25高二下.贵州毕节期末)已知函数f(x)=xg(x)=lnx (I)若(x)=f(x)-g(x) (x) (2)若p(x)=可(x)+g(r) 2(x) 【详解】①f()=r()=nrh()=/()-g()=x-nr>0h()=1-1=-1 (x)=0 1 0<x<1K(c)<0a i(x) 0,1) ax>1(x)>0. (x) 1,+o (x)n=h)=1 【详解】() 令 得 ,即当 时， ,所以函数 在区间 上单调递减，当 时， ,所以函数 在区间 上单调递增，所以 破·重难题型 【典例2】(2425高二下，山东淄博期末)已知函数f(x)=e“-r(a∈R) (1)当a=T f() ()=f()-e+x+ 1 (2)当a0 Ix-x 3 (3)若a= x∈(0,1) f(四)1+r+ 【详解】(1)由题意得，函数f(x) R a=1 f()=e*-x(x)=e-1f(x)=0 r=0 f()k0 x<0f(x)>0x>0f(x) （o,0) f() f(0)=1 的是小德为 破·重难题型 2由题意得()=+子r--七eRa<0 )m+--1=a(-42安 k(x)=0 1 x=1 <a<01<-1·()k0 >-+ 1x<1·()>01<x<-1=a h(r)（o,1) -9（-片 1(x)s0 a 上单调移减 (x) （0,+∞) <1 (x)<0 r<-0+1 x>1(x)>0 0 4+1<x<1 L,+o) a 1 a<-号4()（m-+丹+) 破·重难题型 3)当au1 1*+皆-re6a）。r<i+号-mrea刘 m()er1-号+rteo）.m6回-rtsr g(x)=m(x)=-e-*-x+cosr g'(x)=e*-1-sin.r xe(0,1) 。Jer-1<0sr<0g-e1-r。w同 01) m()<m(@)=-e-0+cos0=0”m()(@,1) m(x)<m(0)=e-1+sin0=0 e“<1+艺-sinr） 破·重难题型 【变式1425高=下江西期末已知函数/()-(er-2mr-ar2+2ra∈R )已知曲线f(x) (ef(e)力 -2 2)讨论f( 【详解10求导得：（冈）=ar-2)n+-2x-ax+2=2(ax-1)1nr (e)=2(ae-1)=-2 =0 2)f (0,+o) a≤0 “()>00<x<1 f() (0,1) )<0 x>1 r() (L,+© a>0 f(x)=0 0<1<1 a>1 (x)>0 0<x< x>1(x)<0 x<1·() ,+o) a=1 f(x)20(0,+o) f(x)(0,+o) 0<a<1 (x)>0 0<x<1 、1 (x)<0 1 r> 1<x< ( a≤0 f(x) (0,1) (1,+∞) 0<a<1f()0,1) 4=1 f() (0,+o) aa>1 f() 票纳球 上 破·重难题型 【变式2】425高二下广东揭阳期末已知函数/()=e()=-2-(eR) )求/(3) (2)若(x)=f(x)+g(x),x∈R ①讨论h() 的当0<a< 4(x)m a(a) 【详解】①/()e R()=1+x)e(x)=0x=-i f()>0x>-1(x)<0x<-1f(x) mwf(1)=-e1=-1 破·重难题型 20()=e-r-a(aeR) RN()=+xe-a(x+)=+x)(e*-) a≤0e*-a>0 K(x)>0x>-1 K(x)<0x<-1 (x)(-1,+0) (-∞，-1) a>0 N(x)=0 x=-1naa= na=-1(x)≥0 h()R 、1 a>二 Ina>-1 e K(x)>0x<-1x>na(x)<0-1<x<na h(r)（-l,lna) (o,-1)ma,+∞) 0<a< Ina<-1 ()>0 x<Ina x>-1 (x)<0 Ina<x<-1 (x) (na,-1) e ◆ (o,lna）(-L,+o) 1 a≤0·(x)(-i,+∞) (∞，-1)· = e (R (x) （-l,lna (-o∞，-1)(n,to） 0<a< h(x) a,-1) （-o,n分)(-l,tao) 破·重难题型 面油O可得当0<a之h() (ina,-1)"m (-o,lna).（-1,+o) x=Ina h(x)a ao)-aa）=-a或ga)-少-号2nar片mj-lna 0<a<1 Ina<-1 '(a)>0(n)+ia -2<lna<-1e2<a<e o'(a)<0na<-20<a<e2 (a)ae.). ae(e2,e')》 ao)2()-2x(2或=-3 破·重难题型 【变式3】C425高二下广东佛山期末已知函数/(=c+x-） 2 x>0 qER (1)当ae x/(r)ze (2)讨论f() 3)当x21 f()2e 【详解】(1)当a=& 7=/)-e=rx-ce-）-e=-(-）-e=e-er x2 '(x)=c*-e x>1t(x)>0,r(x) a 0<x<1t()<0,(x) (x)n=()=e-=0()=x2f()-e=e*-er20 x/(r)2e 破·重难题型 2)函数f()=+a(- (0,+∞) 2 /-+小-2+a-）《c-2yc-2.-X-2） a≤1e*>1≥ae*-a>0,x3>0x>2f'(x)>0,f(x) 0<x<2f'(x)<0,f(x) 1<a<e22>0(e*-a)(x-2)=0 Ing,2=2 x>2f(x)>0,f(x) Ina<x<2 f(x)<0,f(x) 0≤x<lnaf(x)>0,f(x) a>e2r3>0 (e')(x-2)=0 51=na,七2=2 x>Ina (x)>0,fx) 2<x<Ina(x)<0,f(x), 0<x<2(x)>0,f(x) a=e2x3>0 (e-e2)(x-2)=0 出=七2=2 x>0 f(x)≥0，f(x) a≤1 r(x)(0,2) (2,+0) 1<a<e2f(x)“0,ina）(2,+o) 0na,2) a=e2 f(x)(0,+o) a>e2 f(x).(0,2)Ina,+o) 上限调瑞说在 (2,lna） 上单通洛， 破·重难题型 3)当x兰1 a∈Rft)=e x≥1 f()2e eta(c-2e a≥e-e x-1 000光. e*-ex>0 (x-1 c-1 ex-e<0(x-1}>0x>2()<0,h() 1<x<2 (x)>0,h(x) h()=h0)=e-c=4e-e 2-1 42 xe-er x-1 a2"e2 [4e-e,+o）) ☑题型四利用导数求含参不可分离函数的单调性 解题技|巧 对导数中的参数进行分类讨论.分类依据：二次型讨论开口、判别式、根的大小；分式 型讨论分母符号：指数/对数型讨论参数与1的关系等 破·重难题型 【典例1】2425高=下河南郑州期末设函数/()-'(o>0)） (1)讨论f) (2)若x1x2 f(x (s/(s" 【详解】()函数f(x) f()= R 2-a2-1_02-2a+1(a>0） g(x)=a2-2+1 e △=4d-4n=4a(a-1) a>1△>0 (e)>0 -*y号0.t-.1日-1+同 (-月 u=1g()=x2-2x+1=(x-1)20(x)s0 (x) 0<a<1 △=4a(a-1)<0 g(x)>0()<0f()1 -+同 （-月（树） 0<≤1 (x) 上途米在 破·重难题型 2)由1)知，当a>上f(x) 高+52=2，x1X2=二 ))1.++1臣） 一X e e+ X1≠七2 >052>0 21 f(s)/() 破·重难题型 【变式1】2425高二下，重庆期末已知函数f(x)=(m2+m+1)e ()讨论函数f() 2)当m=0f(x)+f(s2e 【详解】()油f(r)=(2+m+1)e了(x)=（mx2+2mx-m-1)xeR 8(x)=-me2+2mx-m-1=-m(x-1}-1 m≥0 &(x)<0f(x)<0 f() 在上举 <0 -mr2+2mr-m-1=0△=4m2-4m(m+1=-4m>0 5=1+Vm 5-1Vm 与树) g(x)>0f()>0 m≥0 (r) -n 破·重难题型 2)当m=0 f(x)=e*f(-x)=e /(x)+/(-x)s2ew' eFe-x ar2≥ln 2 2 e*+ex In x=0 a∈R x≠0 a≥ 2 阳上试网 s8当 In e*tex e*+er In p(2 p(-x)=g(r)g(x) a22 x>0 2 e*-e-* er-e-r 2-t= -te-r-t 0器：e101s:ao m(x)(0,+o) m(x)<m(O)=0(x)<0 e*+ex In (x) (0,+0) 4)=-<=0h<0 2 1 a 2 Bj 破·重难题型 【变式2】(2425高二下，福建莆田期末)已知函数f(x)=nx+x2-x(a>0) (1)讨论f( (2)若f xx'f(x)+f()<2In2-3 【详解】1油/)=nx+a2-xx>0,a>0·7=+2ar-1=2-+ p(x)=2ax2-x+1(x>0,a>0) 2ax2-x+1=0 △=1-82 △≤0()20f'(x)≥0. fx)(0,+o) 上荣通 0<a< △>0 '(x)=0 5-1-v-8a .1+V1-8a 8 X x2 2= Aa Aa x∈(0，x)U(x2,+o)"f'(x)>0t∈(，x2)f'(x)<0 .f(x)(0,x1)(x2,+o) (x,x2) sa( 1-V1-8a1+V1-8a Aa Aa 上单端线在 a≥ f(x)"(0,+oo) 8 破·重难题型 (2)由(1)知当且仅当a∈ f 最方程的再个正根 +5=2a =2 /)+)=n+a-+i血+a-=l()(+)+a[G+s)-2x] =heo)名l=-(a++h2+ 8(a)=Ina+-+In2+1 Aa g@=1-1=a-1<0 4a242 s(a) g(a)> 3-2ln2fy)+f()<2ln2-3 ☑题型五由函数单调性求参数 解|题|技|巧 已知f(x)在区间I上单调递增（减），转化为f(x)≥0（≤0）在I 上恒成立，且不在任何子区间恒为零常用分离参数或求最值法解出参数范围 破·重难题型 【典例1】425高二下.山东淄博期末)若函数()=P-ar+ 2 a A.（-o,1) (-0,1] √(-∞，2] (-0,2) 【详解】由题意f'(x)=2x-a+ ≥0x>0 1 立 m≤2x+ 2x 2x x>0 2x+1≥2 t=l a≤2 2x 破·重难题型 【典例2】(24-25高二下北京期末)若函数f(x)=√nx+V y(+ 【详剧暖得/0若品特 -+a>0(0,+∞) iy_Inx.1 -=g(x) (0,to∞） 2 Inx 1 g()=E+2W证_nx-2_1nx-4 4.x 4xVx 2xvx 4xx e())<oxEe,+) g(x)>0 g() 0,e') (e',+o) )2()嘉+是-月 0 所 上单调线所型 破·重难题型 【变式1】(2425高二下河南信阳期末)已知函数f(x)=a心*-lnx” 1,2) 1 e e 2e2 e 【详解】由题意了（付）=e-1s0,2) （1,2) )证e2)()装<0 g(x)(1,2) 是单调通城 xet2)s>gQ个)=2是 1 2e2 破·重难题型 【变式2】2425高二下.天津西青期末)已知函数f(y)=(-)2 [-1,2] 上单润透笔丽的取催院图州) A.(←o,0] √人® 【详解】(x)=e产x2+2x-2a) f(x)20 2r+2x-2a20→a≤(e+x)xel,2]a ，a≤(e+’xe1,2] )=*-(+（周 g(以m=-}a≤-} ☑题型六由极值、极值点、最值求参数 解|题|技巧 极值点处f(x)=0,且两侧导数变号.结合给定极值数值（如f(xo)=c )列方程求解，最后验证变号条件 常用方法：口分离参数转化为a≥g(x)或a≤g(x)恒成立，求g(x)的最值；口 直接构造函数h(心)=f(x)-4,.求其最小值≥0 破·重难题型 【典例1】2425高三上湖北武汉.阶段检测已知函数f()=x2+6nr+-1 (1,2) A.[-8,-43] √(8-45) [-7,-43) (-8,-7) 【详解】解：因为f(x)=2f6lnr+x-1 /2x+ga f(x)=x2+6lnx+cr-1■(1,2) r()=2x+6+a=0 (12) -a=2x+6 (1,2) )=2r+g)=29 g'(x)=0x=V5x=-V5 1<x<5g'()<0g(x) V5<x<2g'(x)>0g(x) ◆ =3 &(x) 43 8(1)=88(2)=7 &(x)e[4W3,8) ae(-8,-4V5] a=-4V5 /=2+9-45.2-j30 0 （8,-45) 模表生南日安 破·重难题型 【典例2】2425高二下，福建厦门.期末)已知函数/(x)=-x+3x (a,b) 上存在大小值国 ber a A.0,2) √24] [-1,3] @,4 【详解】/(x)=-3r+6.x=3.x(2-)了(x)=0“x=0 水=2 f() (（6o,0)ma (0,2) 上银调地线在区网 (2,+∞) r(x) f(0)=-03+3×02=0 f(2)=-23+3×22=4 b-a>2-0=2 f(x)=-x3+3.x2=4 (x-2)2(x+1)=0 x=-1x=2 f(x)=-x3+3x2=0 -x2(x-3)=0 x=0x=3 -1≤a<02<b≤3 2-0<b-a≤3-(-1) 2.≤b-i≤4 破·重难题型 【变式1】(24-25高二下福建期末)若函数f(x)=2x+nx+二 （2-1,2m） 内有植久现实意 a G)·√别 详1由/)=2+片-2+12-X0） r r2 2 )r0 e传m）r 0s2m-1<<2m 破·重难题型 【变式2】2425高二下.安徽宿州.期末)已知函数f(x)=nr-em <2 ()()z 雨是信 m 一2 (0,e) (e,+o) 【详解】 因为s)】7(s)<1 /)x]/上]s0 8(x)=f(x)-x=tnr-x-emr 戈一 一 g(x)(0,+2)… g'(x)=lnr-me≤0(0，+o) Int≤e rlnr≤emr=erInemx h(x)=nr 中数 4)=nr+1.(g4 h() ( 很树 xe(0,1] h(x)<0xe(1,+o) h(x)>0 >0 er >1 x∈(0,1] t<emr x∈(1，+o) lnr≤emIne xe(1,+o)x≤e，xe(0,+oo)ax≤er m2 一p(g () xE(0,e)'(r)xE(e,+ao)'(x)<0 p(x).(0,e) .(e,+∞) p(r) p(:.=pQ)=} m≥1 ☑题型七恒成立问题 解|题|技|巧 常用方法：口分离参数转化为a≥g(x)或a≤g(x)恒成立，求g(x)的最值： :口真接构造函数h(x).=f(心)-a,求其最小值>0 破·重难题型 【典例1】(2425高二下黑龙江哈尔滨期末)已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+dnr (山若函数() (2)若a兰-1 f(x)2mx n 的取金花国 【详解】④/()=2x-2a+1)+,了)=1-a=3 =-2f(x)=2+3x-2nx,f(=4 4,4) P-4=3(x-1)3.x-少+1=0 2r+-mr2≥mr>m(*1) g6)=+1-nea+o）g()=-1+ h0=r-1+mre0+回）A()-2>0(a+回） mh)=0,xe(0,1)h(x<0 8(x)<0,g(x)(0,1) re4,+o)h()>0g(x)>0g(x)(+) g(x)=g)=2m2 破·重难题型 【典例2】2425高二下辽宁鞍山期末已知函数f(:)=1+4nxa>0 ()证明：f(的(0，+o）”“ are[很+o）≥r+i 【详粥1国/()+女- y=42x-1 f(x)(0,+o) a=-女nr22ar+ g1)s0 4克i。g x>1 4回=4因-9-i+P1s0)uir+Pi ()1-2i+ 2x.x+1 (x) =0-r(a-F可）pa -r)1+5xe+1-x 0+KP+1+v2x） x>1 2xV2+1-x>0 ()so u(x) 1,+o) u(x)su()=0(a)so 破·重难题型 ()当x兰1 4oi-2 (a)s0 1sxs1 么o)=-[（n2a++P+打 √x “ 2(-lnx)+1 8Cn>0→() x→1y(x)→+0 上年在一年植量样在为 x ()9 么(a)s0 @道e）4以v-ri-2(国 h(a)ax≤0台 +1-2x(-lnx)≤0 +L+4In≤0 w()=x+4 w()=+4r-10 =迈 w().=w() 2Into 4 →m()=1-75 √7ln7≥4 In 7>In2e=1+In2>1+ 2_5 33 7in7≥5x5 32 >4 (a) 破·重难题型 【变式1】2425高二下辽宁鞍山.期末)已知函数f(x)=(a+1)-x (1)当a±2 y=f() ,f(1) (2)当a>0 xe(0,)f(x)<1i 【详解】()/()=3-2.xf(1)=3-2=1f(x)=3*n3-2f)=3n3-2 y-1=(3ln3-2)(x-1) →(3n3-2)x-y-3n3+3=0 (2)x∈(0T),f(x)-1<0 (a+1)ヅ-x-i0 &(x)=(a+1--1”g(x)=(a+1)*ln(a+1)上a 「g0)=0 1&)=0 {62e-(-ya2n6- ）n(a+1)>0 a>0 a>0 g()8'(0)<08'()>0 x∈(0，)8'()=0 &((0,)“ （七) 8(0)=8()=0 8(x)<0“0,1) a(0,+∞) 破·重难题型 【变式2】(24-25高二下，河南驻马店.期末)已知函数f(x)=e“+ax+n e≈2.713.… e (1)当兰W f(x)°x=1 是的方 (2)讨论函数/(“ (3)若f()0 【详解】(1)当a=0 f(x)=x+In*=x+Inx-1 /(1)=0 /(x)=1+ e f0)=2 () y=2(x-1) y=2x-2 2)由f(x)=e“+ax+n=e“+a+lnx-1 x>0 厂6)=e+ae=+a+1_(+)(e“+1) e em+1>0,x>0 a之0.'(x)>0mn f(x)(0,+o) a<0 (x)>0 0<,x<- f() a≥0 f() a<0 f() a 无小上运 酰国有 无根很成：指 小提这有1个单大国内 破·重难题型 3)由(2)知，当a≥0“ f(x)(0,+o) x→十∞ f(x→too /()<0 as.0 (-（) =(月太i*(n(-: o)=n(}2<0go)六>0 s(a) (-∞，0) (月-。0 a<- ( 巴题型八能成立（有解）问题 解|题技|巧 存在x使f(x)≥0有解知f(x)max≥0.分离参数后，a≥gx)有解口a≥gx)min a.≤q(x)有解qg.≤q(x)ma 破·重难题型 【奥例】Q425高二下江苏南京期未已知曲线=/()--a心++1( ,f0) 女的些销有平为人且当 七云3 r() (①)求函数的极值； (2)若存在x∈[0,3] f(x)-m≤ n 【详解】（四了(）=2+b f'(0)=b=3 73)=9-6m+3=0 a=2 f()=写r-2+3+1f()=2-4r+3=0 x=1x=3f'(x)>0x<1x>3(x)K01<x<3 f() （0,)(3,+∞) 1,3) f() 0-=3 f3)=1 2)由可知，f(x) [,] ,3] f(0)=1=f3) “f(x) [,3] 在 /0=3/0=6)=1 xe[0,3] f(r)-m≤0am≥[f(] m21 破·重难题型 【典例2】2425高二下.北京延庆期末)已知函数f(x)=x+n(←x+") a>0 (1)当a2 (x) 2)若函数/（的 x∈(o,0]f(x)2r(k<0 的大 3)若过原点至少存在1条直线与曲线y=f(x) 【详解】()当a=2f(x)=x+(x+2) （0,2) 了()=1-1 -x+2x-2 P(x)>0x<1 f （-0,1) (2)由题意，函数f(x) (m,）r()=1-1=-(a-) x<a-1f(x)>0f(x) -x+a x-a a-1<x<a f(x)<0f(x) x=a-1 f(x) f(a-1)=a-1-n1=0 0=1 x∈(（o,0]f(x)2r x∈（o,0]x2-ln(x+1)x≤0 g(x)=kx2-ln(x+1)xx∈（oo,0] 0因=+120.-月 -x+1 -x+1 1 <k<0 2 六1<0 2*1<x<0g()<08() 2k+18'()>08() 时 1 = +1 2k 8(x) s 1 +1≥0x<0g'(x>0g(x) 2k x≤0g(x)sg(0)=0 破·重难题型 3)当a兰1 f(0)=0 =f(x) a左l y=f(x)m (飞()6*0 r0-i。40(so -。+a-1_七+ln(x+a) 正十☑ y=f(x) -x+a-1_七。+ln(-x。+a） -x。+a -n(x+a）=0 。-a a(。-a(+o）r<a ww2y*+ x<0 m'(x)>0m(x) 0<x<am'(x)<0m(x) x=0 m(x) m(0)=-In a m()。a(x+o0-0 -na>0 0<a<1 华，当 m0)-na>0m(←e+）-t-1=-<0m()=0(e+a0) ae(0,] 破·重难题型 【变式1】(24-25高二下.河南郑州.期末)已知函数f()=a2-(a+2)x+n(a∈R)g(x)=x- 2 (1)求函数f(的 (2)若x,∈(0，+o)3x,∈-2，-1 f()sg(,) 前取装体装 【详解】()函数fx)=2-(件2)x+lnx(a∈R) 0+o)f=2m-(u+2)t1_22-(a+2)x+1_2x-10ar-) u≤0 f(<0 +1 f田>0.0<x (x) 0<1<} 4>2 42 八(>00<x<1 2 f八x) gG。 11 a=2 x>0f(9≥0 f'() f八x) (0,+0) 42 破·重难题型 ④当1 0<a<2 <0·}<x< f(x)>0 0<< r>. 2 G a≤0 (x) 0<a<2 f() 后问( =2 f(x) 装通腰 的单建网为 (0,+0) a>2 f(x) (月G树( (2)若Vx∈(0，+53y2∈-2，-1 f(x)sg(s2)f(ms≤gms 8=1+子>0 g()[-2,-1川 上a x=-1g(x) an5（maxg=1 )知当 a≤0 1-2s1 .a≥-8-4ln2 -8-4ln2≤a≤0 a>0 f(x) -8-4ln2,0] 无大不上所实 架家值范围为 破·重难题型 【变式2】2425高二上浙江杭州，期末)已知函数f()=alnx+ (1)若a-1 f(x)·(L,+oo) (2)当a=4 f(x)'[1,e] 上的最大与小及的 (3)若存在x∈，e f()≤(a半2)咒" 【详解】()由题设/)=-血x+2了)=-1+2x 2x2-1 (1,+∞)f'(x)>0 f(x) (山，+2） 4·2(x2-2) (2)由题设f(x)=4nx+x2'()=2x-二= 1≤x<V2f(x)<02<xsef'()>0 fylv②)a (W2, f(1)=1<f(e)=e2-4 x=V2f(N2)=2-2n2 x=e f(e)=e2-4 大 破·重难题型 3)由题设alnx+2≤(a+2)xx∈L,c t2-2x≤a(x-lnx) y=x-Inx x∈L,e y=1-1≥ y=x-Inx [1,el 左1y=1 [1,© x-lnx≥1 a≥-2x x∈l,el x-Inx 上 恒原卫所纹 上整限立 8y=-2.x 2(x-10(x-ln9-1-X-2.9 xE[1,el g'(x)= (x-1)(x+2-2nx) x-Inx (x-n)2 (x-n)2 y=x-2Inx+ 2x∈l,ey=1-2 1≤x<2y'<0y=x-2nx+2 [1,2) 2<xSe '>0 y=x-2Inx+2 (2,eh x=2y=4-2ln2>0 [1,ex-2lnx+2>0 [L,dg(x)≥0。 &().L,e 8)min=g(1)=-1 a≥-1 ☑题型九恒成立问题中的整数最值问题 解|题|技|巧 先利用必要性（如代入特殊值）估计整数范围，再分离参数并分析函数值所在区间，结合 整数特性逐步验证.常用“临界值”两侧整数试探 破·重难题型 的导 【典例1】(2425高二下福建漳州期末)设函数f(x)=mx-e'+2,(m∈R)'(x)f(x) )讨论函数f( (2)若a m=f .xe(0,+ao) (r-a)f(x)<+ 的单大性 【详解】(1)由题意可得f(c) R·()=m-e m≤0(x)<0 (x) R 上 f() m>0 ()=0 me*=0 x=Inmn xe(inm,+oo)(x)<0f(x) xe(-oo,Inm)(x)>0r(x) 单科线 f() x=Inm f(in m)=m.In m-e"+2=mln m-m+2 n≤0 m>0 f(x) “inInm-m+2 破·重难题型 (2)当m=1 f()1-e(r-)/()之x+1(a-x)e-1)kx+1 x>0 e*-1>0 a-x<t+l e-1 e-+x(>0) g:回14u水+-1-g (e-ヅy e*-1 (e*-1) g--》-n-1_“-2-m--） e-ヅ e-1 g'()=eex-2) (e-1 (e*-1)2 m=1f(r)=-e*+x+2(0,+o) h(倒)=e'-r-20,+∞) h@=e-1-2=e-3<0h2)=e2-2-2=e2-4>0 h(x)(0,+o) g()(0,+∞) 0 x∈(0，)g()<0g(c) 上果清远健 xe(x,+o∞)g(r)>0g(d) (0,+o）g(c)nn=g() s6c)+点 )56时 七+1 且n:a弘量 ∈1,2) 8(x)=x+1e(3) a<g(x）a a 破·重难题型 【典例2】(2425高二下江苏盐城期末)已知函数f(x)=a2-nx ()当a1 () (2)当a>0 /()21-1 ③)若关于x的不等式f(x)≥sinx“ 【详解】(1)当a=1f(c)=x21nx (0,+∞) /(c)=2.x-1-22-1 f()<0( 破·重难题型 2)设g)=f(x)+ 1-1=ad2-lnx+ 12a2-1 (0,+∞) 4a 8'(x)=2ax- a>0g'()<0 ：g>0 M=lnx+1-1,(x>0) H(x)>0 x>1()<0 0<x<1 h() (0,1) (1,+0) (x)mn=h1)=0 *a>0 na+,-1≥0g92e 2a /)≥1-1 4a f(x)≥sinx ax2-lnx≥sinx a×12-ln1≥sin1 a2 sin1>0 0 a21 a=1 u(x)=x-Inx-x,(x>0) =2x-1-1=20-x=1_x-12x+ d()>0 x>1 s正于 h()<0 0<x<1 u(x(0,1) (1,+oo) 4(mm=4)=0 x2-lnx2xx∈(0+o) x∈(0，+o) r>sint =x-sinx =1-c0sx20 y=x-sinx (0,+∞) x-sinx>0 x>sin a=1 x2-Inxx>sinx xE(0,+00) 2-In xz sinx 破·重难题型 【变式1】2425高=下河南期末已知通数/)-r-eR)g()-2血+1 (①求（田） (2)若f( 鲶原健装海： 3)若F(x)=了(3-2.nr e 的大值 【详解】（①）函数&()=2x+1 (0,+0) g()=2气nx+x=20仙x+）2n+)=01nx=-13=c=君 g'() g()j g() (. (信+w） s() 8=2(01=2()1=-名+1 破·重难题型 2)函数f(x)=e* 2- 2 7j x=0 x=4 6)e-x 公)=e- 1 e*=→k=-ln2 B(x) (x)(o,-ln2) (-ln2,+o) 2 h() （-o,-ln2) （-ln2,+o) 42=4(n2)c--n2）-h2-+n2) h(0)=1x→-h(x)→+o x→+0h()+0 (x)=a a=1 x=0 (-o,-ln2) a21(+I2) a≠1 (-o,-ln2) (←ln2,+o) +2 a=-(1+ln2) =-In2 2 f() x=0 a=1x=0 (-o,-ln2) a>(+n2) a≠1 (-o,-ln2) (←ln2,0)元0，+) x=0 2 a=-(1+ln2) 要Y2*=0 a<0+a2) x=0 f八x) >+n2) a≠1 破·重难题型 6)函数F()=/()-2xlnx=m- Ix-ar-2xlx 0,+o) F(x)=e(+x)-x-a-2(nx+1) F(x)=(1+x)e*-x-a-2Inx-2 F(x) 支又银上表成现 F'(x) t这之上等干 x+oF'(x)→+o∞ F(x) F(=1+xe-a-2nx-2≥0xe(0,+ as(i+x)e:-x-2Ix-2 p(x)=(+x)e*-x-2Inx-2 asp(x)m p因-+]1-子e+1-=(*e-e- a(r) (0,+oo) }-=6-2<00=e-n0 2 ‘%传时6)=0 p'(x)(0x) (,too） p(x)(0,) (,+∞) p-()0*--2m5:0-102✉= to=-In xo p=+片6-()2=+1G asp(x)n aez a≤1 破·重难题型 【变式2】(2425高二下，福建莆田.期中)已知函数f(x)=ar+inx(aeR) (1)当a1 f() 2)求函数g(x)=f(x)-(x-1)lnx 3)当a=Σ k(x-1)<f(x)x∈(，+o) 的最大 【详解】(I)当a=1“f(x)=x+nx (0,+∞)f'x)=1+lnx+1=lnx+2 x)=01 nx+2=0 =e2 xe0,e)()<0 f()0e) x∈(2，+o)f()>0/()(,+o) r=e-2 f() f(e2)e2+ene2=e2-2e2=-e2 a=1"f(x) sacxre-2 r=e-2 破·重难题型 2)由题意得，g(x)=f(x)(x-Tnr=ax+xlnx-(x-1)nx=ax+nx (0,+o) 岁'a+} 020g()=w41>0 g(x)(0,+∞) gCx) 不有在经 a<0 +上n=-日r日0)（-月 ）g)<。)（2+ x=-1 g() (n(n- a≥0 g(x) 上所运 a<0 s() (1=- 破·重难题型 (3)由题意知，当4=2 k(r-1)<f(x)xe(（1,+∞) h(x-)<2x+xlnx k<2x+xlnx x∈(L,+o) 2x+xIn.x 上短 x-1 (x)= x-1 (=6+lnv(x-)-2x+n)_-3-lns (x-1)月 (x-1) (=3-nr)1- re(4+o）t()=1-1>0 1(x)(,+∞) 1(4)=1-ln4<0t(⑤)=2-ln5>0 i∈(4,5)()=0(x)=0 x∈()()0()K0x∈(，+ao)()>0()>0 h()(,) (,+∞) x=xo h(x) () r《)-n-3=0n=-34(s)25t5a龙=+5-)5= 七%-1 k<h()=x∈4,5) k∈Z ☑题型十利用导数证明不等式 解题技巧 构造辅助函数F(x)=f(x)一g(x),求导分析单调性与最值，证明F(x)≥0或≤0 若一阶导不够，可多次求导或使用放缩 破·重难题型 【典例1】(2425高二下河北邢台期末)已知函数f(d)=dna-nr-e ①讨论f( (2)证明：f(x)s0 【详解】（山由题意得f(x) (0,+0) >0了()=a-lnx-1=ln是 xe(.2 r()>or() 日网)fa(g*oj 上单调装上可烈 f() 0, +j 2)由易得f(x) e a(.)(a)>0.(a) a∈(e,+o)g(a)<0,g(a) go)se)-e=0f日s0)(日 f()s0 破·重难题型 【典例2】(2425高二上.江苏南京期末)已知a "r(x)=(x-a)e" 讨论r (2)当x20 f(x)+r+a≥0 6证明：1+2+…+ 2 t+3n+2 3 n+1 2 【详解】()由(r)=(c+1-a)e r)<0x∈o,a-1)r)>0x∈(a-i,+oo) /(x) (o,u-1) (a-1,+oo 2)设g(x)=f(x)+x+u=(x-a)e+x+ag(0)=0& (x)=(x+1-a)e*+1g(0)=2-ah(x)=g3(x) 2-a20 a≤2. K(x)=(x+2-)e*20g(x)( 0,+∞ ·g(x)≥g(0)=2-a20“g(c) (0击照) g(x)2g(0)=0 2-a<0a>2.xe(0,a=2)(x)<0 () g()<g(0)0g() g(x)<g(0=0 a≤2 (3)由(2)，当4=2 g(x)=(x-2*+x+2≥0 x=0 =子，keN) <h2(eN) k+1 三子2n2=h+h2 。3.4 5 n 1+ n 2+3n+2 <In 12 3 n+1 2 破·重难题型 【变式1】24-25高二下，广东广州期末)已知函数f(x)=e2r+(a-2)e-x (山)讨论f(⊙) (2)当a>0 /()22-2 【详解】（四(x)=2e2+(a-2)e*-1=(ae*-12e*+1)。2e*+1>0 ≤0(x)0,f(x)R a>0 (x)=0 x=-Ina x>-Ina f()>0,/()（a,+o) 5Ina f()<0,f(x)(-o,n) a≤0f()R a>0f(x)（-o,-lna) (-Hlna,to∞) 2可得当>0f(以.=/月e+6-2-n1-+ -2-月 }a-120&@)-hu-1g回)-7+->1go)a回）+o以 0<a<1g(a)0,g(a)0,1) ∴s(@)=g0)=01+ina-120÷/()22-2 破·重难题型 【变式2】2425高二下陕西渭南期未)已知函数9=nx+6∈R) (1)若x∈(0,8，f八x)≥1 a证明：1t1,++<n2(aeN') n+1n+2 2n 【详解】(1)若x∈(0，∞)，f(x)≥1 h2x-xInx=g(x)Vxe(0,+o0) g'(x)=1-(1+lnx)=-Inx(kER) x∈(0,1)g'(6)>0 x∈（在，+oo)&(x)<0 s(g)0,1) (,+o) g(x)as=g()=1.k21 [1,+oo) a证明：由可得nx+21xe@, x=1nx+∠=1 t)-hu>X) nn+1 1+1 n+1n+ +++)-Wr+I(+2)-I(+t)+.+h@)-I(n-1)-m@)-mw-m2@eN) ☑题型十一导数与函数的零点 解|题|技|巧 求导分析单调区间与极值，结合区间端点函数值符号，利用零点存在定理判断零点个数或 :位置.注意极值点处函数值为零时可能为重根 破·重难题型 【典例1】2425高二下.广东广州期末已知函数f(:)=e+(u-2)x+-1 (①当a1 y=f() 0,f(o) w (2)若f的 【详解】0a=1/(e--号了()=e-1了0)=-1 00--0含月 p=f(x)（ 0f0) =0 2 (2).(x)=e*+(a-2)f(x) a-2<0a<2 /(x上0x=n(2-a） r(a) (o,n2-a)f(r)<0f(x) n(2-a),+o)(x)>0f(r) f() 的包小领即小为 e-2-a+(a-2he-小+g-1=e-沿-he- x→-0 f(c)→+o x→toof(x)→+o f() /() 位-e-Gne-)小s0于ne=水0 a<2- 的最小性 a co,2-ve 破·重难题型 【典例2】2425高二下.内蒙古.期末)已知函数f(x)=x+(nr)sinr (①)求曲线y=(x) ,/) (2)证明： f() ③)判断f()(,+ommn 【详解】)因为了()=1+血+ay)osr()=1+sin f()1 y-1=(（1+sin1)(x-1）y=(1+sinl)x-sinl 破·重难题型 e/6-1+g+0 (r)w1--ma<0プe）-1t92+0a2大wa2x-i+m2a>0 入 ()-i++tar任<<到） r)1++s(任） 七o 和有在正 n xe(-m,x)()<0 xe(,+m)()>0 f(x)x=。· (任) ③)fx)(,+) x>1 lnr>0,sinr2-1“4f()=x+nr小sinx≥x-lnx 3()=-ln(>))=-re4+w)s()>0s() g()=1>0 g(x)>0f(x)>0。f(x)(L+o) 破·重难题型 【变式1】(24-25高二下福建泉州期末)已知函数f(x)=e+sinx-ax-1 (1)当a±t y=f() @,f0) 2)若f(田) (0,+oj 的取填装图 (3)当1≤7<2 f() 【详解】(1)当a=1”f(c)=e+sinx-x-1f(0)=e°+sin0-0-1=0 (x)=e*+cosx-1f(o=e+cos-1=1 y=x y=x 2)因为广()=e+cosx-a 上单场端 f() (0,+o) "(x)=e*+cosx-az0 a≤e'+coSx∈(0，) h(x)=e'+cosx∈(0，+o)K(x)=e'-sinx x>0e'>1.(x)=e*-sinx>0 h(x)(0,+o) ()>@)=2 a≤2 （,2]