5.3.1 第2课时 函数单调性的综合问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦函数单调性的综合应用这一核心知识点，系统梳理导数与单调性的关系，从含参函数单调区间的求解，到已知单调性求参数范围，再到利用单调性比较大小和解不等式，构建递进式学习支架，衔接基础与综合应用。 该资料通过分类讨论、数形结合等方法，设计例题、变式探究及对点练习，助力学生提升数学运算和逻辑推理核心素养。例如任务一中含参函数单调性的分类讨论，培养严谨思维；任务四中结合函数图象解不等式，强化直观想象。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生回顾总结，弥补知识盲点。

第2课时　函数单调性的综合问题 学习目标 1.进一步理解函数的导数与其单调性的关系. 2.能求简单的含参的函数的单调区间，提升数学运算的核心素养. 3.能根据函数的单调性求参数的取值范围、比较大小、解不等式，提升数学抽象、数学运算和逻辑推理的核心素养. 任务一　求含参函数的单调性(单调区间) 已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x. (1)当a＝2时，求函数f(x)在x＝1处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性. 解：(1)当a＝2时，f(x)＝ln x＋2x2＋5x， 所以f'(x)＝＋4x＋5， 所以f'(1)＝10，f(1)＝7， 所以切线方程为y－7＝10(x－1)，即y＝10x－3. (2)f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x， 定义域为(0，＋∞)， f'(x)＝＋2ax＋2a＋1＝＝， 当a＝0时，f'(x)＝＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 当a＞0时，f'(x)＝＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 当a＜0时，令f'(x)＞0，得0＜x＜－；令f'(x)＜0，得x＞－. 即f(x)在(0，－)上单调递增，在(－，＋∞)上单调递减. 综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无单调递减区间； 当a＜0时，f(x)在(0，－)上单调递增，在(－，＋∞)上单调递减. [变式探究] 1.(变条件)讨论函数f(x)＝ax2＋x－(a＋1)·ln x(a≥0)的单调性. 解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f'(x)＝ax＋1－＝. ①当a＝0时，f'(x)＝， 由f'(x)＞0，得x＞1，由f'(x)＜0，得0＜x＜1. 所以f(x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增. ②当a＞0时，f'(x)＝， 因为a＞0，所以＞0. 由f'(x)＞0，得x＞1，由f'(x)＜0，得0＜x＜1. 所以f(x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增. 综上所述，当a≥0时，f(x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增. 学生用书⬇第101页 2.(变条件)当f'(x)＝(x＞0)时，试判断函数f(x)的单调性. 解：当a≤1时，因为ex＞1，所以ex－a＞0恒成立， 所以当x＞1时，函数f(x)单调递增，当0＜x＜1时，函数f(x)单调递减. 当a＞1时，由ex－a＝0，得x＝ln a. 当0＜ln a＜1，即1＜a＜e时，由f'(x)＞0，得x＞1，或0＜x＜ln a，所以函数f(x)单调递增； 由f'(x)＜0，得ln a＜x＜1，所以函数f(x)单调递减. 当ln a＝1，即a＝e时，f'(x)＝≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 当ln a＞1，即a＞e时，由f'(x)＞0，得x＞ln a，或0＜x＜1，所以函数f(x)单调递增； 由f'(x)＜0，得1＜x＜ln a，所以函数f(x)单调递减. 综上可知，当a≤1时，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减. 当1＜a＜e时，函数f(x)在(0，ln a)和(1，＋∞)上单调递增，在(ln a，1)上单调递减. 当a＝e时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 当a＞e时，函数f(x)在(0，1)和(ln a，＋∞)上单调递增，在(1，ln a)上单调递减. 1.利用导数研究含参函数f(x)的单调区间的一般步骤 第一步(求定义域)：确定函数f(x)的定义域； 第二步(求导)：求导数f'(x)； 第三步(讨论)：分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论； 第四步(定区间)：在不同的参数范围内，解不等式f'(x)＞0和f'(x)＜0，确定函数f(x)的单调区间. 2.导函数为二次型时单调性讨论的过程 对点练1.已知函数f(x)＝(ax2＋2ax＋1)ex－2(a≥0)，讨论f(x)的单调性. 解：因为f(x)＝(ax2＋2ax＋1)ex－2， 所以f'(x)＝(ax2＋4ax＋2a＋1)ex， 令u(x)＝ax2＋4ax＋2a＋1. ①当a＝0时，u(x)＝1＞0，f'(x)＞0， 所以f(x)在R上单调递增. ②当a＞0时，Δ＝(4a)2－4a(2a＋1)＝4a(2a－1). (ⅰ)当a＞时，Δ＞0，令u(x)＝0，得x1＝，x2＝，且x1＜x2， 所以当x∈(－∞，x1)或x∈(x2，＋∞)时，u(x)＞0，f'(x)＞0， 当x∈(x1，x2)时，u(x)＜0，f'(x)＜0， 所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减； (ⅱ)当0＜a≤时，Δ≤0，所以u(x)≥0，f'(x)≥0，所以f(x)在R上单调递增. 综上，当a＞时，f(x)在(－∞，)，(，＋∞)上单调递增， 在(，)上单调递减； 当0≤a≤时，f(x)在R上单调递增. 任务二　已知函数的单调性求参数的值或取值范围 已知函数f(x)＝x3－ax＋b. (1)若函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若函数f(x)的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求实数a的值. 解：f'(x)＝3x2－a. (1)若函数f(x)＝x3－ax＋b在(1，＋∞)上单调递增， 则f'(x)＝3x2－a≥0在x∈(1，＋∞)时恒成立， 即a≤3x2在x∈(1，＋∞)时恒成立， 则a≤(3x2)min. 因为x＞1，所以3x2＞3. 所以a≤3，即实数a的取值范围是(－∞，3]. (2)令f'(x)＞0，得x2＞. 若a≤0，则x2≥恒成立，即f'(x)≥0恒成立， 此时，函数f(x)＝x3－ax＋b在R上单调递增，与题意不符. 若a＞0，令f'(x)＞0，得x＞，或x＜－. 因为(1，＋∞)是函数f(x)的一个单调递增区间， 所以＝1，即a＝3. [变式探究] 1.(变条件)若函数f(x)＝x3－ax＋b的单调递减区间为(－1，1)，求实数a的取值范围. 解：由题意得f'(x)＝3x2－a，函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞). ①当a≤0时，f'(x)≥0， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，与已知矛盾，不符合题意. ②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±， 当－＜x＜时，f'(x)＜0. 所以f(x)在上为减函数， 所以f(x)的单调递减区间为， 又函数f(x)＝x3－ax＋b的单调递减区间为(－1，1)， 所以＝1，即a＝3. 学生用书⬇第102页 2.(变条件)若函数f(x)＝x3－ax＋b在(1，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围又如何？ 解：f'(x)＝3x2－a， 当a≤0时，f'(x)＝3x2－a≥0恒成立，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意； 当a＞0时，函数f(x)在(1，＋∞)上不单调， 即f'(x)＝3x2－a＝0在区间(1，＋∞)上有实根. 由3x2－a＝0，可得x＝，或x＝－(舍去).依题意，有＞1， 所以a＞3，所以实数a的取值范围是(3，＋∞). 利用函数的单调性求参数的值或范围，常用方法如下： 形式1 函数f(x)在区间D上单调递增⇒f'(x)≥0在区间D上恒成立 形式2 函数f(x)在区间D上单调递减⇒f'(x)≤0在区间D上恒成立 形式3 函数f(x)在区间D上不单调⇒f'(x)在区间D上存在异号零点 形式4 函数f(x)在区间D上存在单调递增区间⇒∃x0∈D，使得f'(x0)＞0成立 形式5 函数f(x)在区间D上存在单调递减区间⇒∃x0∈D，使得f'(x0)＜0成立 形式6 若已知f(x)在区间D上的单调性，区间D上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令D是其单调区间的非空子集，从而求出参数的取值范围 对点练2.(1)函数f(x)＝ex－ax＋1是R上的单调增函数，则实数a的取值范围是(　　) A.(0，＋∞) B.(－∞，0) C.[0，＋∞) D.(－∞，0] (2)若函数y＝a(x3－x)的单调递减区间为，则a的取值范围是　　　　　　　　. 答案：(1)D　(2)(0，＋∞) 解析：(1) 依题意f'(x)＝ex－a≥0，a≤ex，由于ex＞0，所以a≤0.故选D. (2)y'＝a(3x2－1)＝3a.当－＜x＜时，＜0，要使y＝a(x3－x)在上单调递减，只需y'＜0，即a＞0. 任务三　利用单调性比较大小 (1)已知函数f(x)＝3x＋2cos x，若a＝f()，b＝f(2)，c＝f(log27)，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a＜b＜c B.c＜b＜a C.b＜a＜c D.b＜c＜a (2)已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f()，f(1)，f(－)的大小关系为　　　　　　　　. 答案：(1)D　(2)f(－)＞f(1)＞f() 解析：(1)由题意，得f'(x)＝3－2sin x，因为－1≤sin x≤1，所以f'(x)＞0恒成立，所以函数f(x)是增函数.因为＞1，所以＞3，又log24＜log27＜log28，即2＜log27＜3，所以2＜log27＜，所以f(2)＜f(log27)＜f()，即b＜c＜a.故选D. (2)因为f(x)＝xsin x是偶函数，所以f(－)＝f().又x∈［0，］时，f'(x)＝sin x＋xcos x＞0，所以f(x)在［0，］上是增函数，所以f()＞f(1)＞f()，即f(－)＞f(1)＞f(). 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件判断已知函数或进行构造后的函数的单调性，利用其单调性比较大小. 2.比较函数值的大小时，若自变量不在同一单调区间内，则要利用函数的性质，将其转化到同一个单调区间内，再进行比较. 对点练3.(1)已知函数f(x)＝ln x－，设a＝f()，b＝f(2)，c＝f()，则(　　) A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b (2)(多选)下列命题为真命题的是(　　) A.＞ln 2 B.ln 2＜ln C.ln 2＜ D.＞5 答案：(1)C　(2)ABC 解析：(1)因为f(x)＝ln x－，所以f'(x)＝－＝＝，又x＞0，所以ex＞1，所以f'(x)＞0，即函数f(x)＝ln x－在(0，＋∞)上单调递增，所以f()＞f(2)＞f()，即c＞b＞a.故选C. (2)因为32＞23，y＝ln x在定义域上单调递增，所以ln 32＞ln 23，所以2ln 3＞3ln 2，所以＞ln 2，故A正确；构造函数f(x)＝，导函数f'(x)＝，当0＜x＜e时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，当x＞e时，f'(x)＜0，f(x)单调递减.又因为e＞＞2，所以f＞f(2)，所以＞，ln＞ln 2，故B正确；又因为f(2)＜f(e)，所以＜，即ln 2＜，故C正确；又因为e＞＞2，所以f()＞f(2)，所以＞，所以2ln＞ln 2，所以ln()2＞ln ，所以5＞，故D错误.故选ABC. 学生用书⬇第103页 任务四　利用单调性解不等式 (1)函数f(x)的图象如图所示，f'(x)为函数f(x)的导函数，不等式＜0的解集为(　　) A.(0，1) B.(－3，－1) C.(0，1)∪(1，2) D.(－3，－1)∪(0，1) (2)已知函数f(x)＝－1，且f(4x－1)＞f(3)，则实数x的取值范围是　　　　　　. 答案：(1)D　(2)(－∞，1) 解析：(1)由题图知，当x∈(－∞，－3)∪(－1，1)时，f'(x)＜0；当x∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f'(x)＞0，故不等式＜0的解集为(－3，－1)∪(0，1).故选D. (2)因为f(x)＝－1，所以f'(x)＝＜0，故函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，由f(4x－1)＞f(3)，可得4x－1＜3，解得x＜1.故实数x的取值范围是(－∞，1). 利用导数解不等式的解题思路 　　对于利用导数解不等式问题，需要利用导数判断出函数的单调性，再利用单调性解不等式.注意函数的定义域. 对点练4.(1)(2025·广东珠海高二期末)已知定义在(0，3]上的函数f(x)的图象如图，则不等式(x－1)·f'(x)＜0的解集为(　　) A.(0，2) B.(1，2) C.(2，3) D.(0，1)∪(1，2) (2)已知函数f(x)＝2 025x＋－，则不等式f(x＋1)＞f(2x)的解集为　　　　. 答案：(1)D　(2)(－，1) 解析：(1)由题图可知，在(0，1)上f(x)单调递增，则f'(x)＞0，x－1＜0，所以(x－1)·f'(x)＜0，符合题意；在(1，2)上f(x)单调递减，则f'(x)＜0，x－1＞0，所以(x－1)·f'(x)＜0，符合题意；在(2，3)上f(x)单调递增，则f'(x)＞0，x－1＞0，所以(x－1)·f'(x)＞0，不符合题意.综上， 不等式(x－1)·f'(x)＜0的解集为(0，1)∪(1，2).故选D. (2)由题意可知，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝2 025－x＋－＝＋2 025x－＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数， 当x≥0时，f'(x)＝2 025xln 2 025＋·ln＋＝(2 025x－2 025－x)·ln 2 025＋≥0，且f'(x)不恒为零，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，由f(x＋1)＞f(2x)，可得f(｜x＋1｜)＞f(｜2x｜)，则｜x＋1｜＞｜2x｜，可得(x＋1)2＞4x2，整理得(3x＋1)(x－1)＜0，解得－＜x＜1. 任务再现 1.求含参函数的单调区间.2.由函数的单调性求参数的值或取值范围.3.由函数的单调性比较大小、解不等式 方法提炼 分类讨论法、数形结合法、转化法、构造法 易错警示 求参数的取值范围时容易忽略对端点值的讨论 1.函数y＝xln x＋m的单调递增区间是(　　) A. B.(0，e) C. D. 答案：A 解析：定义域为{x｜x＞0}，由y'＝ln x＋1＞0，得x＞.故选A. 2.已知f(x)＝x2＋ln x＋mx－1在区间(1，2)上单调递增，则实数m的取值范围是(　　) A.m≥－4 B.m＞－4 C.m＞－3 D.m≥－3 答案：D 解析：f(x)＝x2＋ln x＋mx－1在区间(1，2)上单调递增，则f'(x)＝2x＋＋m≥0在区间(1，2)上恒成立，即m≥－在区间(1，2)上恒成立.设h(x)＝－，x∈(1，2)，h'(x)＝－2＋＝＝＜0，函数h(x)在(1，2)上是减函数，则h(x)＜h(1)＝－3，所以m≥－3.故选D. 3.若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＞c＞b B.b＞c＞a C.c＞b＞a D.a＞b＞c 答案：A　 解析：a＝＝，b＝＝，c＝，设f＝，f'＝，则x＞e时，f'＜0，故f上单调递减，则f＞f＞f，即＞＞，所以a＞c＞b.故选A. 4.已知定义在R上的函数f(x)的导函数f'(x)＞1，且f(2m)＜f(m＋1)，则实数m的取值范围为　　　　. 答案：(－∞，1) 解析：因为定义在R上的函数f(x)的导函数f'(x)＞1＞0，所以f(x)在R上单调递增，由f(2m)＜f(m＋1)，得2m＜m＋1，即m＜1.所以实数m的取值范围为(－∞，1). 学科网（北京）股份有限公司 $