5.2.1 基本初等函数的导数-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦基本初等函数的导数这一核心知识点，前承导数概念与意义，后启导数四则运算及复合函数求导，通过从定义推导常函数、幂函数等导数公式，构建“定义推导—公式归纳—应用实践”的学习支架，系统梳理基本初等函数导数公式及应用方法。 资料以问题驱动设计任务链，通过切线方程求解、房价上涨速度计算等实例，融合数学运算、逻辑推理与数学建模核心素养。采用变式探究深化切线问题理解，课中助力教师分层教学，课后通过对点练与易错警示帮助学生查漏补缺，提升知识应用能力。

单元学习六　导数的运算 　　[单元整体设计]　本单元是在学习导数的概念及其意义的基础上进一步体会极限思想，包括几个常用函数的导数，基本初等函数的导数公式，函数的和、差、积、商的导数运算法则以及简单函数的导数运算法则，学习计划4课时. 　　本单元内容重点是求简单函数的导数，难点是求简单复合函数的导数.在学习的过程中，进一步体会极限思想，提升数学运算的核心素养. 5.2.1　基本初等函数的导数 学习目标 1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3， y＝，y＝的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数，提升数学运算的核心素养. 3.会使用导数公式表，能利用导数公式解决简单的切线问题和实际问题，培养数学运算、逻辑推理和数学建模的核心素养. 任务一　基本初等函数的求导公式 (阅读教材P72－74，完成探究问题1、2) 问题1.回顾之前所学，你学过哪些基本初等函数？ 提示：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数. 问题2.如何求常函数f(x)＝c的导数？ 提示：因为＝＝＝0， 所以f'(x)＝＝0＝0，即(c)'＝0. 我们通过同样的方法容易得到几个常见的幂函数的导数： f(x)＝x⇒f'(x)＝1＝1x1－1； f(x)＝x2⇒f'(x)＝2x＝2x2－1； f(x)＝x3⇒f'(x)＝3x2＝3x3－1； f(x)＝＝x－1⇒f'(x)＝－x－2＝－x－1－1； f(x)＝＝⇒f'(x)＝＝.通过观察上面几个式子，我们发现了这几个幂函数的导数的规律，即(xα)'＝α. 1.几个常用函数的导数 原函数 导数 f(x)＝c(c为常数) f'(x)＝0 f(x)＝x f'(x)＝1 f(x)＝x2 f'(x)＝2x f(x)＝x3 f'(x)＝3x2 f(x)＝ f'(x)＝－ f(x)＝ f'(x)＝ 学生用书⬇第83页 [微提醒]　这6个函数都是幂函数(f(x)＝xα)，对它们的求导要熟练记住公式，就没必要再利用定义求导了. 2.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f'(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f'(x)＝α f(x)＝sin x f'(x)＝cos x f(x)＝cos x f'(x)＝－sin x f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f'(x)＝axln a f(x)＝ex f'(x)＝ex f(x)＝logax (a＞0，且a≠1) f'(x)＝ f(x)＝ln x f'(x)＝ [微提醒]　三角函数的求导过程中，一要注意名称的改变，二要注意符号的变换. [微思考]　函数f(x)＝ln x与g(x)＝logax的求导有什么内在联系？ 提示：f(x)＝ln x，则f'(x)＝，g(x)＝logax＝，所以g'(x)＝'＝×(ln x)'＝. (链教材P75例1)求下列函数的导数： (1)y＝cos ；(2)y＝；(3)y＝； (4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cos . 解：(1)因为y＝cos ＝，所以y'＝0. (2)因为y＝＝x－5，所以y'＝－5x－6. (3)因为y＝＝＝，所以y'＝. (4)因为y＝lg x，所以y'＝. (5)因为y＝5x，所以y'＝5x ln 5. (6)因为y＝cos ＝sin x，所以y'＝cos x. 求函数导数的方法 1.用导数的定义求导，但运算比较烦琐. 2.用导数公式求导，可以简化运算过程，降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.即若所给的函数是基本初等函数，则直接利用公式求导；若给出的函数不是基本初等函数，则通过恒等变换进行化简或变形后求导. [注意]　“y＝与y＝ln x”，“y＝ax与y＝logax”，“y＝sin x与y＝cos x”的导数区别. 对点练1.(1)(多选)下列结论正确的是(　　) A.若y＝2 025，则y'＝0 B.若y＝，则y'＝－ C.若y＝，则y'＝ D.若y＝，则y'＝ (2)函数y＝2sincos的导函数为　　　　. 答案：(1)ACD　(2)y'＝cos x 解析：(1)对于A，常数的导数为0，故A正确；对于B，y'＝()'＝－＝－，故B错误；对于C，y'＝()'＝＝，故C正确；对于D，因为y＝＝，所以y'＝()'＝＝，故D正确.故选ACD. (2)因为y＝2sincos＝sin x，所以y'＝cos x. 学生用书⬇第84页 任务二　利用导数公式研究曲线的切线方程 已知函数f(x)＝x2，l是曲线y＝f(x)的切线，且l经过点(2，3). (1)判断(2，3)是不是曲线y＝f(x)上的点； (2)求l的方程. 解：(1)因为 f(2)＝22＝4≠3，所以点(2，3)不是曲线y＝f(x)上的点. (2)设切点为(x0，f(x0)).因为f'(x)＝2x， 所以切线的斜率为f'(x0)＝2x0， 又因为f(x0)＝，所以直线l的方程为y－＝2x0(x－x0)， 将(2，3)代入上式并整理，可得－4x0＋3＝0， 由此可解得x0＝1或x0＝3. 因此，切点为(1，1)或(3，9)，切线方程为y－1＝2(x－1)，或y－9＝6(x－3). 即l的方程为y＝2x－1，或y＝6x－9. [变式探究] 1.(变条件，变设问)将本例变为“已知曲线f(x)＝x－2，求曲线在(a，a－2)(a＞0)处的切线方程”. 解：由题意f'(x)＝－2x－3，所以曲线f(x)＝x－2在点(a，a－2)处的切线方程为y－a－2＝－2a－3(x－a)，即y＝－2a－3x＋3a－2. 2.(变条件，变设问)将本例变为“已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线”，试求k的值. 解：设切点坐标为(x0，y0)，由题意得y'＝＝k，又y0＝kx0，而且y0＝ln x0，从而可得x0＝e，y0＝1，则k＝. 1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； (2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解. 2.求过点P与曲线相切的直线方程的一般步骤 对点练2.(1)求曲线y＝在点P(1，1)处的切线方程； (2)求曲线y＝在点Q(3，3)处的切线方程； (3)求曲线y＝ln x的切线斜率等于4时的切线方程. 解：(1)设所求切线的斜率为k. 因为y'＝()'＝，所以k＝， 所以曲线y＝在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0. (2)设所求切线的斜率为k. 因为y'＝－，所以k＝－1， 所以曲线y＝在点Q(3，3)处的切线方程为y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0. (3)设切点坐标为(x0，y0). 因为y'＝，曲线y＝ln x在点(x0，y0)处的切线的斜率等于4， 所以＝4，得x0＝，所以y0＝－ln 4，所以切点为， 所以所求切线方程为y＋ln 4＝4，即4x－y－1－ln 4＝0. 学生用书⬇第85页 任务三　导数公式的实际应用 (链教材P75例2)某城市近10年间房价年均上涨率为10％，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10％)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确到0.01万元/年)？(参考数据：1.15≈1.611，ln 1.1≈0.095) 解：由题意得p'(t)＝1.1tln 1.1， 所以p'(5)＝1.15ln 1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年)， 所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年. 　　解决导数公式的实际应用问题时，需根据题意理解函数导数在该问题中的实际意义，特别是导数的物理意义. 对点练3.从时刻t＝0开始的t s内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cos t表示.求第5秒和第10秒时的电流(单位：安). 解：由q＝cos t得q'＝－sin t， 所以q'(5)＝－sin 5，q'(10)＝－sin 10， 即第5秒、第10秒时的电流分别是－sin 5安、－sin 10安. 任务 再现 1.几个常用函数的导数.2.基本初等函数的导数公式.3.利用导数公式研究曲线的切线方程.4.导数公式的实际应用 方法 提炼 公式法、待定系数法、方程思想、转化思想 易错 警示 不化简成基本初等函数或者公式变形不够彻底导致求导错误 1.已知f(x)＝x2，则f'(2)＋f(2)等于(　　) A.0 B.2x＋x2 C.8 D.16 答案：C 解析：因为f(x)＝x2，所以f'(x)＝2x，所以f'(2)＋f(2)＝8.故选C. 2.一质点的运动方程为s＝cos t，则t＝2时质点的瞬时速度为(　　) A.2cos 2 B.－sin 2 C.sin 2 D.2sin 2 答案：B 解析：s'＝－sin t，当t＝2时，s'＝－sin 2，所以当t＝2时质点的瞬时速度为－sin 2.故选B. 3.(多选)下列选项正确的是(　　) A.y＝ln 2 025，则y'＝ B.f＝，则f'＝－ C.y＝2x，则y'＝2xln 2 D.y＝log2x，则y'＝ 答案：BCD 解析：对于A，y'＝(ln 2 025)'＝0，故A错误；对于B，f'(x)＝－，则f'(3)＝－，故B正确；对于C，y'＝(2x)'＝2xln 2，故C正确；对于D，y'＝(log2x)'＝，故D正确.故选BCD. 4.曲线f(x)＝x3在点(1，f(1))处的切线的斜率为　　　　. 答案：3 解析：因为f(x)＝x3，所以f'(x)＝3x2，所以在点(1，f(1))处的切线的斜率为f'(1)＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $