5.1.2 第2课时 导数的几何意义-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦导数的几何意义这一核心知识点，通过割线到切线的动态转化揭示导数即切线斜率，衔接函数单调性与导数关系的分析，进而构建导函数概念，形成从具体到抽象的学习支架。 资料以直观图像呈现割线趋近切线过程培养直观想象，通过求曲线切线方程（如y=x³在点(1,1)处切线）提升数学运算，区分“在点”与“过点”切线培养逻辑推理。课中辅助教师引导理解，课后通过对点练和习题帮助学生查漏补缺。

第2课时　导数的几何意义 学习目标 1.通过函数图象直观理解导数的几何意义，培养直观想象的核心素养. 2.会根据导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程，提升数学运算的核心素养. 3.理解导函数的概念，会求简单函数的导函数. 任务一　导数的几何意义 (阅读教材P66－68，完成探究问题1) 问题1.导数f'(x0)的几何意义是什么？ 提示：我们知道导数f'(x0)表示函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，反映了函数y＝f(x)在x＝x0附近的变化情况，如下图. 容易发现，平均变化率＝表示的是割线P0P的斜率，当P点沿着曲线无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线，因此函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝＝f'(x0)，这就是导数的几何意义. 1.导数的几何意义 如图所示，割线P0P的斜率k＝.记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0 学生用书⬇第79页 处的导数.因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0， 即k0＝＝f'(x0). 2.切线方程 曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f'(x0)(x－x0). 已知曲线C：y＝x3. (1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程； (2)求曲线C过点(1，1)的切线方程. 解：(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，所以切点P(1，1). y'｜x＝1＝＝＝ [3＋3Δx＋]＝3. 所以k＝y'｜x＝1＝3.所以曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0. (2)设切点为Q(x0，)， 则y'＝ ＝＝[3＋3x0·Δx＋(Δx)2]＝3， 所以y－＝3(x－x0).又切线过点(1，1)，则1－＝3(1－x0)，即(x0－1)(2－x0－1)＝0，解得x0＝1，或x0＝－. ①当x0＝1时，切点坐标为(1，1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0. ②当x0＝－时，切点坐标为，k1＝y'＝，相应的切线方程为y＋＝(x＋)，即3x－4y＋1＝0. [变式探究](变设问)本例(1)中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？ 解：由 从而求得公共点为(1，1)或(－2，－8)， 即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一个公共点(－2，－8). 利用导数的几何意义求切线方程的方法 1.若已知点(x0，y0)在曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f'(x0)(x－x0). 2.若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程. [注意]　对于“过点P(x0，y0)的切线”，无论点P在不在曲线上，都要设切点坐标. 对点练1.已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　) A.f'(1)＜f'(2)＜a B.f'(1)＜a＜f'(2) C.f'(2)＜f'(1)＜a D.a＜f'(1)＜f'(2) 答案：B 解析：由图象可知，函数在[0，＋∞)上的增长越来越快，故函数图象在点(x0，f(x0))(x0∈(0，＋∞))的切线的斜率越来越大，因为＝a，所以f'(1)＜a＜f'(2).故选B. 对点练2.已知曲线y＝x3＋. (1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2，4)的切线方程. 解：(1)因为P(2，4)在曲线y＝x3＋上， 所以曲线在点P(2，4)处切线的斜率为 k＝＝ ＝4. 所以曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. (2)设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A， 则切线的斜率为k＝＝， 所以切线方程为y－＝(x－x0)， 即y＝·x－＋. 因为点P(2，4)在切线上， 所以4＝2－＋，即－3＋4＝0， 所以＋－4＋4＝0， 所以(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， 所以(x0＋1)(x0－2)2＝0， 解得x0＝－1，或x0＝2. 故所求的切线方程为x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0. 学生用书⬇第80页 任务二　函数的单调性与导数的关系 (阅读教材P68－69，完成探究问题2) 问题2.函数的单调性和导数有什么关系？ 提示：如图所示， 当t＝t0时，函数的图象在t＝t0处的切线平行于t轴，即h'(t0)＝0，这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降. 当t＝t1时，函数的图象在t＝t1处的切线l1的斜率h'(t1)＜0，这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数在t＝t1附近单调递减. 当t＝t2时，函数的图象在t＝t2处的切线l2的斜率h'(t2)＜0，这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数在t＝t2附近单调递减. 通过研究t＝t1和t＝t2发现直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明函数在t＝t1附近比在t＝t2附近下降得缓慢. 若f'(x0)＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝0； 若f'(x0)＞0，则函数在x＝x0处切线斜率k＞0，且f'(x0)越大，说明函数f(x)图象变化的越快，即函数f(x)在x＝x0附近单调递增； 若f'(x0)＜0，则函数在x＝x0处切线斜率k＜0，且｜f'(x0)｜越大，说明函数f(x)图象变化的越快，即函数f(x)在x＝x0附近单调递减. (1)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是(　　) A.f'(xA)＞f'(xB) B.f'(xA)＜f'(xB) C.f'(xA)＝f'(xB) D.不能确定 (2)已知函数f(x)满足f'(x1)＞0，f'(x2)＜0，则在x＝x1和x＝x2附近的f(x)的图象大致是(　　) 答案：(1)B　(2)D 解析：(1)由导数的几何意义，f'(xA)，f'(xB)分别是在点A，B处切线的斜率，由图象可知，f'(xA)＜f'(xB).故选B. (2)由f'(x1)＞0，f'(x2)＜0可知，f(x)的图象在x＝x1处切线的斜率为正，在x＝x2处切线的斜率为负.故选D. 1.导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决. (1)曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画.f'(x0)＞0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f'(x0)＜0说明在x0附近曲线是下降的. (2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢. 2.导数几何意义中的两个关键点 关键点一：y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率为k，则k＞0⇔f'(x0)＞0；k＜0⇔f'(x0)＜0；k＝0⇔f'(x0)＝0. 关键点二：｜f'(x0)｜越大⇔在x0处瞬时变化越快；｜f'(x0)｜越小⇔在x0处瞬时变化越慢. 对点练3.已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是(　　) A.＜f'＜f' B.f'＜＜f' C.f'＜f'＜ D.f'＜＜f 答案：B 解析：根据导数的几何意义， 如图，f'，f'分别表示在点A，B处切线的斜率，又kAB＝＝，由图可知f'＜＜f'，故选B. 学生用书⬇第81页 任务三　导函数(导数) (阅读教材P69，完成探究问题3) 问题3.我们知道，求函数某一点的导数，可以发现函数在该点附近的变化，能否通过求导研究函数的整体变化？ 提示：能.这涉及到函数在任意一点的导数问题，通过f'(x0)＝可知 f'(x)＝，这就是函数在任意一点的导数，即导函数，它不再是一个确定的数，而是一个函数. 导函数的定义：从求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f'(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y＝f'(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数).y＝f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)＝y'＝ . [微思考]　f'(x)与f'(x0)有何关系？ 提示：f'(x)是f(x)的导函数，f'(x0)是函数f(x)在x＝x0处的导数值，是f'(x)在x＝x0时的函数值. (1)求函数y＝f(x)＝(x－1)2的导数； (2)求函数y＝x－在x＝2处的导数. 解：(1)y'＝ ＝ ＝＝2x－2. (2)法一(导数定义法)： Δy＝(2＋Δx)－－(2－)＝Δx＋， ＝＝1＋， 所以＝(1＋)＝2， 所以y'｜x＝2＝2. 法二(导函数的函数值法)： Δy＝(x＋Δx)－－(x－) ＝Δx＋， ＝＝1＋， 所以y'＝＝＝1＋， 所以y'｜x＝2＝2. 利用定义求函数y＝f(x)的导函数的一般步骤 第一步：确定函数y＝f(x)在其对应区间上每一点是否都有导数； 第二步：计算Δy＝f(x＋Δx)－f(x)； 第三步：当Δx趋于0时，得到导函数f'(x)＝. [注意]　求函数f(x)在x＝x0处的导数可以利用导数定义法，也可以利用导函数的函数值法：即先求导函数f'(x)，再把x＝x0代入f'(x)得f'(x0). 对点练4.(1)求函数y＝(x＞－1)的导函数； (2)已知函数f(x)＝x2－x，求f'(x)，f'(1). 解：(1)令f(x)＝，则f'(x)＝ ＝ ＝ ＝＝. (2)因为Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(Δx)2＋2x·Δx－Δx， 所以＝2x＋Δx－. 所以f'(x)＝＝2x－，f'(1)＝2×1－＝. 任务 再现 1.导数的几何意义.2.函数的单调性与导数的关系.3.导函数的概念 方法 提炼 方程思想、数形结合法 易错 警示 对导数的几何意义理解不到位；切线过某点，这点不一定是切点 学生用书⬇第82页 1.已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f'(1)等于(　　) A.4 B.－4 C.2 D.－2 答案：C 解析：由导数的几何意义知f'(1)＝2.故选C. 2.已知曲线f(x)＝x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 答案：D 解析：因为Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－x2－x＝x·Δx＋(Δx)2＋Δx，所以＝x＋Δx＋1，所以f'(x)＝＝x＋1.设切点坐标为(x0，y0)，则f'(x0)＝x0＋1＝3，所以x0＝2.故选D. 3.某司机看见前方50 m处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车的过程中，汽车的速度v是关于刹车时间t的函数，其图象可能是(　　) 答案：A 解析：根据题意，刹车过程中，汽车速度呈下降趋势，排除选项C，D；由于是紧急刹车，则汽车速度下降非常快，则图象较陡，排除选项B.故选A. 4.函数y＝(2x－1)2的导数是　　　　　　　 　. 答案：y'＝4(2x－1) 解析：y'＝ ＝ ＝ ＝8x－4＝4. 学科网（北京）股份有限公司 $