5.1.1 变化率问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦变化率问题这一核心知识点，通过跳水运动员速度、自由落体运动等实例，系统梳理平均速度、瞬时速度及抛物线切线斜率的概念，构建从平均变化率过渡到瞬时变化率的学习支架，为导数概念的形成奠定基础。 该资料以任务驱动学习，通过“平均速度计算—瞬时速度探究—切线斜率分析”的递进设计，渗透极限思想，培养数学抽象和直观想象素养。课中助力教师引导学生经历“具体实例到抽象概念”的思维过程，课后通过对点练和变式题帮助学生巩固知识，查漏补缺。

单元学习五　导数的概念及其意义 　　[单元整体设计]　导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本工具，因而在解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题中有着广泛应用.本章通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限思想.通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义.本章共分三个单元整体设计：导数的概念及其意义、导数运算、导数在研究函数中的应用，学习计划16课时(含重点突破、章末综合提升).通过本章的学习，学生的数学抽象、数学运算、直观想象和逻辑推理素养将得到进一步提升. 　　本单元内容是本章的基础.通过丰富的实际背景，即两个典型实例(跳水运动员的速度、抛物线的切线的斜率)研究，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，抽象概括出导数的概念，体会导数的内涵与思想，掌握导数的几何意义，学习计划3课时. 　　本单元内容重点是导数的概念、导数的几何意义，难点是导数的概念、曲线的切线概念.在学习的过程中，不断体会极限的思想和方法，提升数学抽象、直观想象和数学运算的核心素养. 5.1.1　变化率问题 学习目标 1.通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，体会平均变化率与瞬时变化率的物理意义，培养数学抽象、数学运算的核心素养. 2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系，培养直观想象的核心素养. 3.体会极限思想. 任务一　平均速度 (阅读教材P59－60，完成探究问题1) 问题1.(1)在一次跳水运动中，某运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.为了描述该运动员的运动状态，你能求该运动员在0≤t≤0.5，1≤t≤2，0≤t≤内的平均速度吗？ (2)你认为用平均速度描述该运动员的运动状态有什么问题吗？ 提示：(1)在0≤t≤0.5这段时间里，＝ ＝4.05(m/s)；在1≤t≤2这段时间里，＝＝－8.2(m/s)；在0≤t≤这段时间里，＝＝0(m/s). (2)由(1)知，在0≤t≤这段时间里，虽然运动员的平均速度是0 m/s，但实际情况是，该运动员仍在运动，可以说明平均速度不能精确描述运动员的运动状态. 学生用书⬇第71页 1.平均速度：设物体运动的时间与位移的函数关系式是s＝s(t)，则物体从t1到t2时间段内平均速度＝. 2.物体在某一时间内的平均速度的大小反映了物体运动的快慢. 已知某质点按规律s＝2t2＋2t做直线运动(路程s的单位为m)，求： (1)该质点在前3 s内运动的平均速度； (2)该质点在2 s到3 s这段时间内运动的平均速度. 解： (1)因为s(3)－s(0)＝2×32＋2×3－0＝24， 所以＝＝＝8(m/s). (2)因为s(3)－s(2)＝2×32＋2×3－(2×22＋2×2)＝24－12＝12， 所以＝＝＝12(m/s). 求物体运动的平均速度的步骤 第一步：求时间的改变量t2－t1； 第二步：求位移的改变量s(t2)－s(t1)； 第三步：求平均速度＝. 对点练1.某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝sin t，t∈. (1)分别求s(t)在区间和上的平均速度； (2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义. 解：(1)物体在区间＝＝＝＝. 物体在区间上的平均速度为 ＝＝＝. (2)由(1)知－＝＞0，所以＜，作出函数s(t)＝sin t在上的图象，如图所示，可以发现，s(t)＝sin t在上随着t的增大，函数值s(t)变化得越来越慢. 任务二　瞬时速度 (阅读教材P60－61，完成探究问题2) 问题2.物体做自由落体运动的方程是h(t)＝gt2，其中g为重力加速度，如何求该物体在[3，3＋Δt]这段时间内的平均速度？当Δt趋近于0时，平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？ 提示：因为Δh＝g(3＋Δt)2－×9g＝g(Δt)2＋3gΔt，所以该物体在[3，3＋Δt]这段时间内的平均速度＝＝gΔt＋3g＝g(Δt＋3).当Δt趋近于0时，趋近于3g，这时的平均速度即为当t＝3时的瞬时速度. 瞬时速度 定义 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 瞬时速度 的计算 设物体运动的时间与位移的函数关系式是s＝s(t)，则物体在t0时刻的瞬时速度为 瞬时速度 与平均速 度的关系 从物理的角度看，当时间间隔｜Δt｜无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度 注意点 Δt是时间的改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0 学生用书⬇第72页 [微思考]　平均速度和瞬时速度有什么区别和联系？ 提示：区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关. 联系：瞬时速度是平均速度在变化时间趋近于0时的极限值. 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度. 解：因为＝ ＝＝3＋Δt， 所以＝(3＋Δt)＝3. 所以物体在t＝1处的瞬时变化率为3. 即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. [变式探究] 1.(变设问)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度. 解：求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度. 因为＝ ＝＝1＋Δt， 所以(1＋Δt)＝1. 所以物体的初速度为1 m/s. 2.(变设问)若本例条件不变，试求该物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解：设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又＝2t0＋1＋Δt， (2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1，则2t0＋1＝9， 所以t0＝4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s. 求物体运动的瞬时速度的步骤 第一步：求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； 第二步：求平均速度＝； 第三步：当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝. 对点练2.物体在自由落体运动中，根据h＝gt2，估算物体在t＝2 s时的瞬时速度. 解：因为h＝h＝gt2， 所以Δy＝h－h＝g－g×22＝gΔt， 则＝g， 所以物体在t＝2 s时的瞬时速度为 ＝g＝2g. 学生用书⬇第73页 任务三　抛物线的切线的斜率 (阅读教材P62－64，完成探究问题3) 问题3.前面我们从物理学的角度研究了瞬时速度的问题，它反映到我们几何上是什么意思？ 提示：从＝形式上来看，它表示的是图象上两点割线的斜率，而曲线上两点的平均变化率与直线l的斜率k＝不同，曲线上两点的平均变化率表示的是曲线的陡峭程度，而直线的斜率表示的是直线的倾斜程度.从＝＝来看，当曲线上两点无限接近时，此时的割线的斜率无限接近曲线在t＝t1这一点的切线的斜率. 抛物线的切线的斜率 切线 设P0是曲线上一定点，P是曲线上的动点，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的切线 切线的 斜率 设P0(x0，y0)是曲线y＝f(x)上一点，则曲线y＝f(x)在点P0(x0，y0)处的切线的斜率为k0＝ 切线的斜 率与割线 的斜率的 关系 从几何图形上看，当横坐标间隔｜Δx｜无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T.这时，割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0 [微提醒]　(1)若割线有极限位置，则在此点有切线，且切线是唯一的；若割线不存在极限位置，则曲线在此点处无切线. (2)曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个交点. 角度1　求曲线在某点处的割线、切线的斜率 (1)过抛物线f(x)＝x2上两点A(2，4)和B(2＋Δx，4＋Δy)作割线，当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为　　　　　； (2)曲线f(x)＝x2＋1在点P(1，2)处的切线的斜率为　　　　　. 答案：(1)4.1　(2)2 解析：(1)kAB＝＝＝＝Δx＋4，所以当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为4.1. (2)依题意点P(1，2)在曲线上，所以切线的斜率为 k＝ ＝＝ ＝＝2. 角度2　求曲线在某点处的切线方程 求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1，2)处的切线方程. 解：由＝ ＝Δx， 可得切线的斜率为k＝Δx＝0. 所以切线的方程为y－2＝0×(x－1)，即y＝2. [变式探究]　(变设问)本例条件不变，求与2x－y＋4＝0平行的该曲线的切线方程. 解： 设切点(x0，－2x0＋3)， 故 ＝ ＝2x0－2＋Δx， 所以k＝(2x0－2＋Δx)＝2x0－2， 故有2x0－2＝2，解得x0＝2，所以切点为(2，3)， 所求切线方程为2x－y－1＝0. 学生用书⬇第74页 1.求曲线上某点(x0，f(x0))处的割线或切线斜率的步骤 可得在点(x0，f(x0))处的切线的斜率为 . 可以简记为一差、二比、三极限. 2.求曲线在某点处的切线方程的步骤 [注意]　求曲线过某点的切线方程需注意，该点不一定是切点，需另设切点坐标. 对点练3.(1)抛物线y＝x2＋4在点(1，5)处的切线的斜率为　　　　； (2)若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝　　　　； (3)已知曲线y＝x2－2x＋2，则该曲线在点(2，2)处的切线方程为　　　　　　　. 答案：(1)2　(2)1　(3)2x－y－2＝0 解析：(1)k＝＝(Δx＋2)＝2. (2)k＝＝(4Δx＋8x0)＝8x0＝8，解得x0＝1. (3)因为Δy＝(2＋Δx)2－2(2＋Δx)＋2－(22－2×2＋2)＝2Δx＋(Δx)2，所以＝2＋Δx，k＝＝2.即曲线在点(2，2)处的切线斜率为2.所以切线方程为y－2＝2(x－2)，即2x－y－2＝0. 任务 再现 1.平均速度.2.瞬时速度.3.抛物线的切线的斜率 方法 提炼 定义法、极限思想、数形结合思想 易错 警示 不会用极限思想理解瞬时速度；对割线的斜率与切线的斜率之间的关系理解不到位 1.已知某质点的运动方程为s＝2＋，当t由1变到2时，则其路程的增量Δs为(　　) A. B.－ C.1 D.－1 答案：B 解析：Δs＝(2＋)－(2＋1)＝－.故选B. 2.若质点A按照规律s＝2t＋1运动，则该质点在t＝3时的瞬时速度为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解析：由题意可得Δs＝[2(3＋Δt)＋1]－(2×3＋1)＝2Δt，＝＝2，所以＝2.故选B. 3.(多选)一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为h＝2t2＋2t，则下列说法正确的是(　　) A.前3 s内球滚下的垂直距离的增量Δh＝20 m B.在时间段内球滚下的垂直距离的增量Δh＝12 m C.前3 s内球在垂直方向上的平均速度为8 m/s D.在时间段内球在垂直方向上的平均速度为12 m/s 答案：BCD 解析：前3 s内，Δt＝3 s，Δh＝h－h＝24 m，此时球在垂直方向上的平均速度为＝＝8 m/s，故A错误，C正确；在时间段内，Δt＝1 s，Δh＝h－h＝12 m，此时球在垂直方向上的平均速度为＝＝12 m/s，故B、D正确.故选BCD. 4.已知函数f(x)＝x2＋3，则f(x)在处的切线方程为　　　　　　. 答案：4x－y－1＝0 解析：由f(x)＝x2＋3，则f＝7， Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝4Δx＋(Δx)2，故＝4＋Δx，则k＝＝4，又切线过，所以f(x)在处的切线方程为y－7＝4，即4x－y－1＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $