4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质及其应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

第2课时　等比数列前n项和的性质及其应用 学习目标 1.理解并能应用等比数列前n项和的性质解题，培养逻辑推理、数学运算的核心素养. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题，提升数学建模、数学运算的核心素养. 任务一　等比数列前n项和公式的性质 (阅读教材P37例9，完成探究问题1、2、3) 问题1.类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，－Sn，－…(n为偶数且q＝－1除外)的关系吗？ 提示：Sn，－Sn，－…仍成等比数列，证明如下： 思路一：当q＝1时，结论显然成立； 当q≠1时，Sn＝，S2n＝，S3n＝. S2n－Sn＝－＝， S3n－S2n＝－ ＝， 而＝， Sn(S3n－S2n)＝×， 故有＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列. 思路二：由性质＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn， S3n＝S2n＋q2n，故有S3n－S2n＝q2n，故有＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列. 问题2.类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？ 提示：若等比数列{an}的项数有2n项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n， 其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有＝q. 若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶. 问题3.你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示？ 提示：　思路一：＝a1＋a2＋…＋am＋＋＋…＋＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn. 思路二：＝a1＋a2＋…＋an＋＋＋…＋＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn＝Sn＋qnSm. 1.片段和的性质：数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，－Sn，仍构成等比数列，公比是qn. 2.S偶与S奇的关系性质：若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： 当n为偶数时，＝q；当n为奇数时，＝q. 3.和比公式：当q＝1时，＝；当q≠1时，＝. 4.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sm＋qmSn＝Sn＋qnSm(n，m∈N*). [微提醒]　等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0. (1)等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4的值为(　　) A.28 B.32 C.21 D.28或－21 (2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 (3)记Sn为等比数列的前n项和.若8S6＝7S3，则的公比为　　　　. 答案：(1)A　(2)D　(3)－ 解析：(1)因为{an}为等比数列，所以S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7，91－S4成等比数列，所以(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28，或S4＝－21.因为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)＞S2，所以S4＝28.故选A. (2)由题意，得 解得 所以q＝＝＝2.故选D. (3)法一：若q＝1，则由8S6＝7S3得8·6a1＝7·3a1，则a1＝0，不合题意.所以q≠1.因为8S6＝7S3，所以8·＝7·，即8·(1－q6)＝7·(1－q3)，即8·(1＋q3)(1－q3)＝7·(1－q3)，即8·(1＋q3)＝7，解得q＝－. 法二：由法一知q≠1，因为8S6＝7S3，所以＝，所以由性质＝，得＝＝，所以8·(1－q6)＝7·(1－q3)，即8·(1＋q3)(1－q3)＝7·，即8·(1＋q3)＝7，解得q＝－. 学生用书⬇第46页 [变式探究] 1.(变条件)将本例题(1)中的条件“S2＝7，S6＝91”改为“正项等比数列中Sn＝2，＝14”，求的值. 解：法一：设＝x，＝y，则2，x－2，14－x，y－14成等比数列， 所以 所以(舍去)，所以＝30. 法二：因为Sn＝2，＝14.所以q≠1. 所以Sn＝，S3n＝＝， 所以＝1＋qn＋＝＝7， 因为an＞0，所以qn＝2， 又＝，所以＝(1＋)(1＋qn). 所以＝Sn(1＋)(1＋qn)＝2×(1＋4)(1＋2)＝30. 2.(变条件，变设问)将本例题(1)中条件“S2＝7，S6＝91”改为“公比q＝2，S99＝56”，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值. 解：法一：因为S99＝＝56，q＝2， 所以a3＋a6＋a9＋…＋a99 ＝a3(1＋q3＋q6＋…＋q96)＝a1q2·＝×＝56×＝32. 法二：设b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a97， b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a98， b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a99， 则b1q＝b2，b2q＝b3，且b1＋b2＋b3＝56， 所以b1(1＋q＋q2)＝56， 所以b1＝＝8， 所以b3＝b1q2＝8×22＝32. 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 1.若等比数列{an}共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝这一隐含特点.要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. 2.灵活运用等比数列前n项和的有关性质. 对点练1.(1)(2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A.120 B.85 C.－85 D.－120 (2) 已知项数为奇数的等比数列{an}的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为(　　) A.5 B.7 C.9 D.11 答案：(1)C　(2)A 解析：(1)法一：设等比数列{an}的公比为q，首项为a1，若q＝1，则S6＝6a1＝3×2a1＝3S2，与题意不符，所以q≠1.由S4＝－5，S6＝21S2可得，＝－5，＝21×①，由①可得，1＋q2＋q4＝21，解得q2＝4，所以S8＝＝×(1＋q4)＝－5×(1＋16)＝－85.故选C. 法二：设等比数列的公比为q，因为S4＝－5，S6＝21S2，所以q≠－1，否则S4＝0，从而S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列，所以有＝S2，解得S2＝－1，或S2＝，当S2＝－1时，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，即为－1，－4，－16，S8＋21，易知，S8＋21＝－64，即S8＝－85；当S2＝时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2＞0，与S4＝－5矛盾，舍去.故选C. (2)设等比数列{an}的公比为q，则an＝a1·qn－1＝qn－1，又数列{an}的项数为奇数，且其奇数项之和为21，偶数项之和为10，则q＝＝2，故Sn＝21＋10＝⇒2n－1＝31⇒n＝5.故选A. 任务二　等比数列前n项和的实际应用 (链教材P38例10)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游业.根据规划，本年度投入1 000万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加. (1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式； (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 5≈0.699 0. 解：(1)由本年度投入1 000万元，以后每年投入将比上年减少，可知年投入为等比数列，且首项为1 000，公比为1－＝，则第n年的投入为1 000(1－)n－1万元， 故n年内的总投入为an＝＝5 000－5 000()n. 由本年度当地旅游业收入估计为500万元，今后旅游业收入每年会比上年增加，知旅游业年收入也为等比数列，且首项为500，公比为1＋＝，则第n年的收入为500(1＋)n－1万元， 故n年内的旅游业总收入为bn＝＝2 000()n－2 000. (2)由题意可知bn－an＞0， 即2 000()n－2 000－5 000＋5 000()n＞0， 化简得2()n＋5()n－7＞0. 设()n＝x，代入上式并整理得5x2－7x＋2＞0， 解得x＜，或x＞1(舍去)，即()n＜， 不等式两边同时取常用对数得nlg ＜lg ， 所以n＞＝＝＝≈4.1， 由此得n≥5，n∈N*. 故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入. 学生用书⬇第47页 应用等比数列前n项和公式解决实际应用问题的步骤 第一步：构建数列模型； 第二步：由题意确定数列为等比数列，并由题干提取的条件得基本量； 第三步：利用等比数列的前n项和公式进行计算. [注意]　(1)数列项数的确定，特别是涉及年份的问题，要能正确确认起始年份.(2)正确判断问题是求数列的第n项，还是求数列的前n项和. 对点练2.(1)明代数学家吴敬所著的《九章算法比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”(“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增)，根据此诗，可以得出塔的顶层有(　　) A.3盏灯 B.192盏灯 C.195盏灯 D.200盏灯 (2)一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80％. 这个热气球上升的高度能超过125 m吗？　　　　(填“能”或“不能”) 答案：(1)A　(2)不能 解析：(1)设每层灯的盏数为等比数列{an}，首项a1为顶层灯的盏数，公比q＝2，所以S7＝＝a1(27－1)＝381，解得a1＝3，即顶层有3盏灯.故选A. (2)用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得＝an，因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列.热气球在前n分钟内上升的总高度为Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×＜125.故这个热气球上升的高度不能超过125 m. 任务三　等差、等比数列的综合运算 设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*).已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6. (1)求Sn和Tn； (2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值. 解：(1)设等比数列{bn}的公比为q(q＞0). 由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0. 因为q＞0，可得q＝2，故bn＝2n－1. 所以Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1. 设等差数列{an}的公差为d. 由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.① 由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，② 联立①②得a1＝1，d＝1，故an＝1＋(n－1)×1＝n. 所以Sn＝1＋2＋…＋n＝. (2)由(1)，有 T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2. 由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn可得 ＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1， 整理得n2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍去)，或n＝4. 所以n的值为4. 等差、等比数列有关综合问题的关注点 1.化归思想：将非等差、等比数列转化构造成等差、等比数列，以便于利用其公式和性质解题. 2.等差(比)数列公式和性质的灵活应用. 3.当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系. 对点练3.已知Sn是无穷等比数列{an}的前n项和，且公比q≠1，1是S2和S3的等差中项，6是2S2和3S3的等比中项. (1)求S2和S3； (2)求数列{an}的前n项和； (3)求数列{Sn}的前n项和. 解：(1)根据已知条件得 整理得 (2)因为q≠1，所以 解得 所以Sn＝＝－. (3)由(2)得S1＋S2＋…＋Sn＝n－·＝n＋［1－(－)n］. 任务 再现 1.等比数列前n项和的性质(片段和性质、奇数项和与偶数项和的性质).2.等比数列前n项和的实际应用 方法 提炼 1.等比数列前n项和的性质：简化运算，整体代换思想.2.解决等比数列前n项和实际应用问题的思路：建模、解模、还原.3.等差、等比数列的综合运算：公式法、化归思想 易错 警示 应用片段和性质时易忽略其成立的条件 学生用书⬇第48页 1.(2025·福建龙岩检测)在等比数列{an}中，前n项和为Sn，S5＝10，S10＝50，则a16＋a17＋…＋a20＝(　　) A.22 B.210 C.640 D.2 560 答案：C 解析：S20－S15＝a16＋a17＋…＋a20，由等比数列的片段和性质知，S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15成等比数列，设公比为q，则q＝＝4，即S20－S15＝S5q3＝10×43＝640.故选C. 2.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 012，偶数项之和为2 024，则这个数列的公比为(　　) A.8 B.－2 C.4 D.2 答案：D 解析：由＝q，可知q＝＝2.故选D. 3.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于　　　　. 答案：6 解析：由题意知，第n天植树2n棵，则前n天共植树2＋22＋…＋2n＝(－2)棵，令－2≥100，则≥102，又26＝64，27＝128，且{}单调递增，所以n≥6，即n的最小值为6. 4.(双空题)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足4a1，2a2，a3成等差数列，则数列{an}的公比q＝　　　　　　　，如果a1＝1，则S4＝　　　　. 答案：2　15 解析：由4a1，2a2，a3成等差数列，可得4a1＋a3＝4a2，即4a1＋a1q2＝4a1q，可得q2－4q＋4＝0，解得q＝2，又因为a1＝1，则S4＝＝15. 学科网（北京）股份有限公司 $