4.3.1 第2课时 等比数列的性质及其实际应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

第2课时　等比数列的性质及其实际应用 学习目标 1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算解决简单的数列问题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形. 3.了解由等比数列衍生出新等比数列的常见形式. 4.能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题，培养数学建模的核心素养. 任务一　等比数列项的运算性质 (阅读教材P30例2、P31练习T5，完成探究问题1、2) 问题1.在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是在这两类数列之间无形之中产生了类比思想.类比等差数列中an＝am＋(n－m)d，能发现等比数列中相似的性质吗？ 提示：类比可得an＝am；由等比数列的定义可知an＝a1，am＝a1，两式相除可得＝＝q(n－1)－(m－1)＝qn－m，即an＝amqn－m. 问题2.结合上面的类比，你能把等差数列中am＋an＝ak＋al，类比出等比数列中相似的性质吗？ 提示：类比可得aman＝akal，其中m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*. 推导过程：am＝a1，an＝a1，ak＝a1，al＝a1，所以aman＝a1·a1＝qm＋n－2，akal＝a1·a1＝qk＋l－2，因为m＋n＝k＋l，所以有aman＝akal. 等比数列项的运算性质 1.等比数列通项公式的推广和变形：an＝amqn－m(m，n∈N*). 2.在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq. (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝；当m＋n＋s＝p＋q＋t(m，n，p，q，s，t∈N*)时，amanas＝apaqat. (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·＝…＝ak·＝…. [微提醒]　(1)下标的和相等，且左右两侧项数相同，性质2可以推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz.(2)若m，p，n 成等差数列，则am，ap，an 成等比数列. 已知{an}为等比数列. (1)若{an}为递增数列，a2＝3，a1＋a3＝，求＋＋； (2)若an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (3)若an＞0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值. 解：(1)设等比数列{an}的公比为q， 因为a2＝3，a1＋a3＝， 所以a1q＝3，a1＋a1q2＝， 解得a1＝，q＝2，或a1＝6，q＝(舍)， 所以＋＋＝q＋q2＋q3＝2＋22＋23＝14. (2)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝＋2a3a5＋ ＝(a3＋a5)2＝25， 因为an＞0，所以a3＋a5＞0，所以a3＋a5＝5. (3)根据等比数列的性质，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， 所以a1a2…a9＝(a5a6)5＝95， 所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 ＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10. 学生用书⬇第37页 [变式探究] 1.(变条件，变设问)在本例(2)中，添加条件a1a7＝4，求an. 解：由等比数列的性质得a1a7＝a3a5＝4，又由本例(2)知a3＋a5＝5，解得a3＝1，a5＝4，或a3＝4，a5＝1，若a3＝1，a5＝4，则q＝2，an＝2n－3； 若a3＝4，a5＝1，则q＝，an＝25－n. 2.(变条件)把本例(3)的条件改为“公比为3，a1a2a3…a30＝3300”，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值. 解：a1a2a3…a30＝(a1a2a3…a10)·q100(a1a2a3…a10)·q200(a1a2a3…a10)＝q300(a1a2a3…a10)3＝3300，即a1a2a3…a10＝1， 则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log31＝0. 等比数列运算的两种常用思路 1.基本量法：(1)基本思路是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，解出a1和q，然后利用通项公式求解； (2)优缺点适用面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁. 2.巧用性质法：(1)基本思路是充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题； (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量. 对点练1.(1)在正项等比数列{an}中，若a1a9＝64，a4＋a6＝20，则an＝(　　) A.2n－2 B.28－n C.2n－2或28－n D.22－n或2n－2 (2)若等比数列中的a8，a2 018是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2 025＝(　　) A.1 011 B. C.1 012 D. 答案：(1)C　(2)D 解析：(1)因为在等比数列{an}中，a1a9＝64，所以a4a6＝a1a9＝64，所以当a4＝4，a6＝16时，an＞0，q2＝＝4，所以q＝2，a1＝＝，所以an＝×2n－1＝2n－2；当a4＝16，a6＝4时，an＞0，q2＝＝，所以q＝，a1＝＝128，所以an＝128×＝28－n.综上所述，an＝2n－2或an＝28－n.故选C. (2)因为a8，a2 018是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则a8a2 018＝3，又在等比数列中，a1a2 025＝a2a2 024＝…＝a1 012a1 014＝＝3，所以log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2 025＝log3(a1a2a3…a2 024a2 025)＝log3＝.故选D. 任务二　由等比数列衍生的新数列 (阅读教材P32例5、P34练习T2，完成探究问题3、4) 问题3.若是等比数列，那么是等比数列吗？呢？ 提示：是等比数列，不一定是等比数列. 证明：设数列的公比为q，则＝＝q，故数列是以q为公比的等比数列. 由＝，若an不是常数，则该式子不是定值，故不一定是等比数列. 问题4.若是等比数列，那么a1，a4，a7，a10，…是等比数列吗？ 提示：是等比数列，因为＝＝＝…＝q3为常数. 1.若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{}，，都是等比数列，公比分别为q，，q2，，q2. 2.若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别为p和q，则数列{an·bn}，也为等比数列，公比分别为pq，. 3.子数列的性质 (1)对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为q. (2)若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk. 学生用书⬇第38页 特别地，等比数列的奇数项、偶数项分别组成一个等比数列，新公比均为原公比的平方，即等比数列间隔一项的两项符号相同. (3)公比为q的等比数列{an}的前n项积记为Tn，则Tn＝，且Tn，，，…成等比数列，其公比为.由此可得()2＝Tn·，即T3n＝()3. [微提醒]　在构造新的等比数列时，要注意新数列中有的项是否为0，比如公比q＝－1时，连续相邻偶数项的和都是0(如a1＋a2＝0，a3＋a4＝0，…)，故不能构成等比数列. (链教材P34练习T2)(1)如果数列{an}是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是(　　) A. B. C.{an·} D.{an＋} (2)若数列{an}，{bn}都是等比数列，满足a1b1＝3，a5b5＝6，则a9b9＝ 　　　　. 答案：(1)D　(2) 12 解析：(1)取等比数列an＝(－1)n，则an＋an＋1＝0，所以{an＋an＋1}不是等比数列，故D错误；对于其他选项，均满足等比数列通项公式的性质.故选D. (2)易知{an·bn}为等比数列，则有＝(a1b1)·(a9b9)，所以a9b9＝＝＝12. 　　由等比数列构造新的等比数列时，一定要检验新的数列中的项是否为0，主要是针对q＜0的情况. 对点练2.(1)设{an}是等比数列，有下列四个命题，其中正确的是(　　) A.{}是等比数列 B.{an＋3}是等比数列 C.{an＋1－an}是等比数列 D.{lg ｜an｜}是等比数列 (2)在等比数列{an}中，a1a2…a10＝1，a11a12…a20＝2，则a21a22…a30的值为　　　　. 答案：(1)A　(2)4 解析：(1)由{an}是等比数列可得＝q(q为定值，n＞1，且n∈N*).对于A，＝()2＝q2为常数，故A正确；对于B，仅当q＝1且an≠－3时，{an＋3}是非零常数列，是等比数列，但当q≠1或时，{an＋3}不是等比数列，故B错误；对于C，当q≠1时，{an＋1－an}是等比数列，但当q＝1时，{an＋1－an}不是等比数列，故C错误；对于D，不一定为常数，故D错误.故选A. (2)法一：设等比数列{an}的公比为q.因为a1a2…a10＝1，a11a12…a20＝(a1a2…a10)q100＝2，所以q100＝2，所以a21a22…a30＝(a11a12…a20)q100＝4. 法二：设{an}的前n项积为Tn.由题意可知T10＝1，T20＝1×2＝2，由性质得T30＝()3＝()3＝8，所以a21a22…a30＝＝4. 任务三　综合应用——等比数列中项的设法 (一题多解、链教材P30例3)有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数和第四个数的和是16，中间两个数的和是12.求这四个数. 解：法一：设四个数依次为a－d，a，a＋d，，由条件， 得 解得 所以当a＝4，d＝4时，所求四个数为0，4，8，16； 当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15，9，3，1. 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 法二：设这四个数依次为－a，，a，aq(a≠0)， 由条件，得 解得 当q＝2，a＝8时，所求四个数为0，4，8，16； 当q＝，a＝3时，所求四个数为15，9，3，1. 法三：设四个数依次为x，y，12－y，16－x. 由条件，得 解得 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. [变式探究] 1.(变条件)将本例中的条件改为“有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80”，再求这四个数. 解：由题意，设这四个数分别为，b，bq，a， 则 所以这四个数分别为1，－2，4，10或－，－2，－5，－8. 学生用书⬇第39页 2.(变条件，变设问)将本例条件改为“有四个数成等比数列，其积为，第二个数与第三个数的和为”，求这个等比数列的公比. 解：设这四个数为a，aq，aq2，aq3(其中aq≠0)， 由题意得 所以 所以＝±，整理得q2－6q＋1＝0，或q2＋10q＋1＝0， 解得q＝3±2，或q＝－5±2. 等比数列的常见设项方法和技巧 1.通项法：当已知条件中出现与首项、公比有关的内容时，可直接设首项为a1，公比为q，利用已知条件建立方程(组)求出a1和q，即可确定此等比数列的通项公式. 2.对称项设法：(1)三个数成等比数列设为，a，aq； 推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，，，a，aq，aq2，…； (2)四个符号相同的数成等比数列设为，，aq，aq3； 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，，，，aq，aq3，aq5，…； (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3. 对点练3.有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是　　　　. 答案：45 解析：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列. 即 整理得 因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45. 任务四　等比数列的实际应用 (1)(2025·杭州高二检测)“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制.“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.而早在16世纪，明代朱载堉最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.若第一个单音的频率为f，则第四个单音的频率为(　　) A.5f B.f C.4f D.f (2)某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为2 000万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长12％，则该公司需经过　　　　年其投入资金开始超过了7 000万元. (参考数据：lg 1.12≈0.049，lg 2≈0.301，lg 7≈0.845) 答案：(1)B　(2)12 解析：(1)由题设依次得到的十三个单音构成首项为f，公比为的等比数列{an}， 第四个单音的频率为a4＝f×()3＝f.故选B. (2)设该公司经过n年投入的资金为an万元，则a1＝2 000×1.12，由题意可知，数列{an}是以2 000×1.12为首项，以1.12为公比的等比数列，所以an＝2 000×1.12n，由an＝2 000×1.12n＞7 000，可得n＞log1.12＝≈11.1，因此，该公司需经过12年其投入资金开始超过7 000万元. 1.与等比数列有关的实际应用解题步骤 第一步，建模：将实际问题转化为数学中的等比数列模型； 第二步，求解：利用等比数列知识求出该问题的解； 第三步，还原：将所求结果还原到实际问题中. [注意]　建立等比数列模型时，要根据题意找准首项、公比和项数. 2.产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解. 对点练4.一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂的只数为(　　) A.55 989 B.46 656 C.216 D.36 答案：B 解析：设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an，根据题意得数列{an}成等比数列，它的首项为6，公比q＝6，所以{an}的通项公式an＝6×＝6n，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a6＝66＝46 656只蜜蜂.故选B. 学生用书⬇第40页 对点练5.某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10％的速度贬值. (1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值； (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解：(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10％)，a3＝13.5(1－10％)2，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列， 首项a1＝13.5，公比q＝1－10％＝0.9， 所以an＝a1·＝13.5×0.. 所以n年后这辆车的价值为an＋1＝13.5×0.9n万元. (2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， 所以用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到8.9万元. 任务 再现 1.等比数列的性质.2.由等比数列构造新等比数列 方法 提炼 1.等比数列运算：基本量法、巧用性质法、方程思想.2.数列性质问题：整体代换思想.3.等比数列中项的设法：对称项设法.4.解答等比数列实际应用问题的基本步骤：建模、求解、还原 误区 警示 1.对等比数列的性质不理解而致错.2.不注意运用性质而出错或解法繁琐.3.构造新的等比数列易忽视有等于0的项 1.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 答案：A 解析：法一：由a3a11＝16，即a1·22·a1·210＝16，且a1＞0，得a1＝.所以a5＝a1·24＝·24＝1.故选A. 法二：由等比数列的性质，知＝a3a11＝16.又数列{an}的各项都是正数，所以a7＝4.又a7＝a5×q2，则a5＝＝1. 故选A. 2.(多选)已知数列{an}为等比数列，则(　　) A.数列a2，a4，a8成等比数列 B.数列a1·a2，a3·a4，a5·a6成等比数列 C.数列a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等比数列 D.数列a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9成等比数列 答案：BD 解析：设等比数列{an}的公比为q，＝q2，＝q4，当q≠±1时，q2≠q4，故A错误；数列a1·a2，a3·a4，a5·a6的每项都不为0，且＝＝q4，故B正确；当数列{an}为1，－1，1，－1，1，…时，a1＋a2＝a3＋a4＝a5＋a6＝0，故C错误；数列a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9的每一项都不为0，且＝＝q3，故D正确.故选BD. 3.三个实数成等比数列，它们的和为14，且它们的积为64，则这三个数分别为(　　) A.2，4，8 B.8，4，2 C.2，4，8或8，4，2 D.以上都不对 答案：C 解析：设所求的三个数分别为，a，aq，则有当a＝4，q＝时，这三个数分别为8，4，2；当a＝4，q＝2时，这三个数分别为2，4，8.因此，这三个数分别为2，4，8或8，4，2.故选C. 4.某工厂将在2025年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到2033年年底达到原有的4倍，则总产值年平均增长率为　　　　. 答案：－1 解析：设2025年年底总产值为a(a≠0)，年平均的增长率为x，则a(1＋x)8＝4a，解得x＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $