4.2.1 第2课时 等差数列的性质及其实际应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

第2课时　等差数列的性质及其实际应用 学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质，能运用等差数列的性质简化计算，培养数学运算、逻辑推理的核心素养. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应问题，提升数学建模的核心素养. 任务一　等差数列项的运算性质 (阅读教材P17例5，完成探究问题1、2) 问题1.如果{an}是等差数列，a3＝5，d＝2，如果不求首项，你能求数列的通项公式吗？ 提示：由定义可知a3＝a1＋2d，an＝a1＋(n－1)d，两式相减得an－a3＝(n－3)d，即an＝a3＋(n－3)d. 问题2.若数列{an}是等差数列，公差为d，如果m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，那么am＋an与ap＋aq有什么样的数量关系？ 提示：由等差数列的定义可知，am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d，ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，所以am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d，ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，因为m＋n＝p＋q，所以am＋an＝ap＋aq. 1.等差数列通项公式的常见变形 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 (1)一次函数式：an＝dn＋(a1－d)(n∈N*). 作用：直观判断一个数列是否为等差数列. (2)推广通项公式：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*). 作用：通过任意一项及公差直接得到通项公式，不必求a1. (3)(链教材P25T10)类斜率公式：d＝(m，n∈N*，且m≠n). 作用：通过等差数列的任意两项求出公差. 2.下标性质 在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，①若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap. ②在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和都相等，即a1＋an＝a2＋＝….③推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az.该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同. [微思考]　若{an}是等差数列，且am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q一定成立吗？ 提示：不一定.如常数列2，2，2，2，…中，a1＋a2＝a3＋a4，但1＋2≠3＋4. 学生用书⬇第18页 (1)(一题多解)已知{an}是等差数列，若a15＝8，a60＝20，则a75＝　　　　. (2)已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15＝　　　　. 答案：(1)24　(2) 14 解析：(1)法一：(利用an＝am＋(n－m)d) 设数列 {an}的公差为d，则a60＝a15＋(60－15)d＝8＋45d，所以d＝＝＝，所以a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24. 法二：(基本量法) 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由题意得故a75＝a1＋74d＝＋74×＝24. 法三：(利用隔项成等差数列)因为{an}为等差数列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项，所以a60＝a15＋3d，解得d＝4，所以a75＝a60＋d＝24. 法四：(函数法)已知数列{an}是等差数列，可设an＝kn＋b.由a15＝8，a60＝20得所以a75＝75×＋4＝24. (2)因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14. [变式探究]　(变条件)在本例(1)中改变条件，在等差数列{an}中，a3＋a7＋2a15＝40，求a10. 解：法一：设数列{an}的公差为d. 则a3＋a7＋2a15＝a1＋2d＋a1＋6d＋2(a1＋14d) ＝4a1＋36d＝4(a1＋9d) ＝4a10＝40， 所以a10＝10. 法二：因为a3＋a7＋2a15＝a3＋a7＋a15＋a15＝a10＋a10＋a10＋a10＝40，所以a10＝10. 1.灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担. 2.等差数列运算的两种常用思路 (1)基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量； (2)巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar. 对点练1.(1)已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a13＋a14＝77，则公差d＝(　　) A.1 B. C. D. (2)已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝　　　　. 答案：(1)D　(2)8 解析：(1)因为a4＋a7＋a10＝3a7＝17，所以a7＝.因为a4＋a5＋a6＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，所以a9＝7，所以公差d＝＝＝.故选D. (2)法一：因为{bn}为等差数列，所以可设其公差为d，则d＝＝＝2，所以bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.所以b8＝2×8－8＝8. 法二：由＝＝d，得b8＝×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8. 任务二　由等差数列衍生新数列 (阅读教材P18T4、5，完成探究问题3、4) 问题3.若数列{an}为等差数列，则数列是等差数列吗？ 提示：设数列{an}的公差为d，则(3an＋1－2)－(3an－2)＝3(an＋1－an)＝3d，所以数列是以3a1－2为首项，以3d为公差的等差数列. 问题4.若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？ 提示：设新数列为{bn}，公差为d'，则有b1＝a1，b5＝a2，所以b5－b1＝a2－a1＝d，故有4d'＝d，所以d'＝d. 1.若{an}，{bn}分别是公差为d，d'的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd'的等差数列(p，q为常数) {} 公差为dd'的等差数列 2.若{an}是公差为d的等差数列，则ak，，，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列. 学生用书⬇第19页 角度1　简单应用 (1)由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是(　　) A.新数列不是等差数列 B.新数列是公差为d的等差数列 C.新数列是公差为2d的等差数列 D.新数列是公差为3d的等差数列 (2)(链教材P25T6)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为(　　) A.0 B.37 C.－37 D.100 答案：(1)C　(2)D 解析：(1)因为(＋)－(an＋)＝(－an)＋(－)＝2d，所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列.故选C. (2)设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(＋)－(an＋bn)＝(－an)＋(－bn)＝d1＋d2，所以数列{an＋bn}仍然是等差数列.又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100.故选D. 　　对于任何形式的构造数列，判断是否为等差数列，一般从两个方面进行判断：1.定义：an－(n≥2)是否为常数.2.其通项公式是否为关于n的一次函数. 对点练2.(1)已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为(　　) A.7 B.5 C.3 D.1 (2)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝　　　　. 答案：(1)D　(2)35 解析：(1)由于{an}，{bn}为等差数列，故数列{2an－3bn}的公差d＝(2－3)－(2an－3bn)＝2(an＋1－an)－3(－bn)＝2d1－3d2＝2×2－3×1＝1.故选D. (2)因为数列{an}，{bn}都是等差数列，所以数列{an＋bn}也构成等差数列，所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，所以2×21＝7＋a5＋b5，所以a5＋b5＝35. 角度2　等差数列中的公共项问题 (链教材P25T8)等差数列{an}：2，5，8，…与等差数列{bn}：1，5，9，…均为40项，求它们的公共项构成的数列{cn}的通项公式. 解：法一(观察归纳法)：{an}：2，5，8，…的公差为3；{bn}：1，5，9，…的公差为4； 观察归纳可知他们的相同项是以5为首项，12为公差(3，4的最小公倍数)的等差数列， 所以cn＝5＋12(n－1)＝12n－7，a40＝3×40－1＝119，b40＝4×40－3＝157，cn≤119⇒n≤10， 所以{cn}的通项公式为cn＝12n－7(n≤10且n∈N*). 法二(引入参变量法)：an＝3n－1(n≤40且n∈N*)；bm＝4m－3(m≤40且m∈N*)； 令an＝bm⇔3n＝2(2m－1)，2m－1必为3的倍数(或n必为2的倍数)，设2m－1＝3k(因左边为奇数，k必为奇数)，再设k＝2t－1， m＝3t－1，n＝4t－2(引入参变量t)， ⇒⇒≤t≤10， 即t＝1，2，3，…，10. ct＝a4t－2＝b3t－1＝12t－7(t≤10)， 即cn＝12n－7(n≤10且n∈N*). 求解两个等差数列公共项的方法 1.观察归纳法：通过观察归纳得到公共项的首项和公差，进而可得出公共项的通项公式，然后用通项公式求解. 2.引入参变量法：(1)分别写出两个等差数列的通项公式(变量分别用m，n表示)；(2)由两个通项相等得到m，n之间的关系式；(3)由m，n的关系式得到m或n的特点(如是2的倍数，3的倍数)；(4)依据m或n的特点引入参变量k；(5)依据k的特点再引入参变量求解. 对点练3.(1)(2025·湖北武汉高二期末)已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则b2 025＝(　　) A.4 046 B.4 048 C.4 050 D.4 052 (2)(多选)有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则对这个新数列的说法正确的是(　　) A.构成的新数列是等差数列，公差为10 B.构成的新数列是等差数列，公差为12 C.该数列共有16项 D.该数列共有18项 答案：(1)C　(2)BC 解析：(1)设数列的公差为d1，依题意知，b1＝a1，b5＝a2，b5－b1＝a2－a1＝8＝4d1，故d1＝2，故bn＝2n，则b2 025＝2×2 025＝4 050.故选C. (2)等差数列2，6，10，…，190，公差为4，等差数列2，8，14，…，200，公差为6， 所以由两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，其公差为12，首项为2，所以通项为an＝12n－10，所以12n－10≤190，解得n≤，而n∈N*，所以n的最大值为16，即新数列的项数为16.故选BC. 学生用书⬇第20页 任务三　 综合应用——等差数列的设法与求解 (一题多解)已知三个数成等差数列，且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数. 解：法一：(通项法)设这三个数分别为a，b，c， 则 故这三个数分别为4，6，8. 法二：(对称项法)设这三个数分别为a－d，a，a＋d，由已知可得 由①得a＝6，代入②得d＝±2. 因为该数列是递增的， 所以d＝2， 所以这三个数分别为4，6，8. 等差数列的常见设项方法和技巧 1.通项法：当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式. 2.对称项设法：(1)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项、7项、…时，可同理设出. (2)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.若有6项、8项、…时，可同理设出. (3)对称项设法的优点是：若有n个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为常数. 对点练4.四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数. 解：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意得2a＝2且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， 所以d2＝1， 所以d＝1，或d＝－1. 又因为这四个数成递增等差数列，所以d＞0， 所以d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4. 任务四　等差数列的实际应用 (链教材P16例3)甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个. 请你根据提供的信息回答问题. 学生用书⬇第21页 (1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； (2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由. 解：由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝an·bn. (1)由a1＝1，a6＝2，得 所以得a2＝1＋0.2＝1.2； 由b1＝30，b6＝10，得 所以得b2＝30－4＝26. 所以c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2，即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只. (2)因为c6＝a6b6＝2×10＝20＜c1＝a1b1＝30， 所以到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了. 1.等差数列的应用主要体现在数学文化方面和生活实际问题方面. 2.解答数列实际应用问题的基本步骤 对点练5.某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 解：设从第一年起，第n年的利润为an万元， 则a1＝200，－an＝－20(n∈N*)， 所以每年的利润构成一个等差数列{an}， 从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n. 若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损. 所以由an＝220－20n＜0，得n＞11， 即从第12年起，该公司经销此产品将亏损. 任务 再现 1.等差数列的性质.2.由等差数列衍生新等差数列 方法 提炼 1.等差数列运算：基本量法、巧用性质法、方程思想.2.函数性质问题：整体代换思想. 3.求解两个等差数列公共项：观察归纳法、引入参变量法. 4.三项或四项等差数列的设法：对称项设法. 5.解答数列实际应用问题的基本步骤：审题、建模、判型、求解、还原 易错 警示 1.对等差数列的性质不理解而致错.2.不注意运用性质而出错或解法繁琐 1.在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于(　　) A.3 B.－6 C.4 D.－3 答案：B 解析：由等差数列的性质得a8－a3＝(8－3)d＝5d，所以d＝＝－6.故选B. 2.若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{2an}是(　　) A.公差为d的等差数列 B.公差为2d的等差数列 C.非等差数列 D.以上说法均不正确 答案：B 解析：因为2an＋1－2an＝2(an＋1－an)＝2d(n∈N*)，所以数列{2an}是公差为2d的等差数列.故选B. 3.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为(　　) A.15.5尺 B.12.5尺 C.9.5尺 D.6.5尺 答案：D 解析：设等差数列为{an}，冬至，小寒，大寒，…，芒种的日影子长分别记为a1，a2，a3，…，a12，公差为d，由题意可得，a1＋a4＋a7＝37.5，即a4＝12.5，又a12＝4.5，所以d＝＝＝－1.所以立夏的日影子长为a10＝a4＋6d＝12.5－6＝6.5(尺).故选D. 4.在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于　　　　. 答案：3 解析：由等差数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，所以a2＝(a4＋a5)－a7＝15－12＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $