4.2.1 第1课时 等差数列的概念及其通项公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

单元学习二　等差数列 　　[单元整体设计]　本单元内容是在学习数列一般概念的基础上，类比函数从一般到特殊的研究过程，按“概念、性质、应用”的顺序，探究第一类特殊数列——等差数列的概念、性质及应用.通过生活中的实例，抽象出等差数列的概念；由定义出发，推导出等差数列的通项公式，探究等差数列的通项公式与一次函数之间的关系；应用等差数列的通项公式解决数学问题和实际问题；利用等差数列的通项公式和性质推导出其前n项和公式，并举例说明前n项和公式在解决问题中的应用，学习计划4课时. 本单元内容重点是等差数列的定义、等差数列的通项公式、前n项和公式及它们的应用.难点是等差数列前n项和公式的推导.在研究的过程中，体会代数运算、代数变换在数列研究中的价值，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养. 4.2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念及其通项公式 学习目标 1.通过生活中的实例，理解等差数列、等差中项的概念，培养数学抽象的核心素养. 2.理解等差数列通项公式的意义，掌握等差数列的通项公式、判断与证明方法，提升数学运算、逻辑推理的核心素养. 3.体会等差数列与一元一次函数的关系，培养直观想象、数学建模的核心素养. 任务一　等差数列的概念 (阅读教材P12—13，完成探究问题1) 问题1.观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题. (1)北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，每一圈的石板数依次为9，18，27，36，45，54，63，72，81； (2)全国统一鞋号中，成年女鞋的部分尺码(表示以cm为单位的鞋底的长度)由大到小可排列为25，24.5，24，23.5，23，22.5； (3)在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间(年)：1682，1758，1834，1910，1986； (4)为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10. 以上数列有什么共同特征？你能预测一下哈雷彗星下一次出现的时间吗？ 学生用书⬇第13页 提示：对于(1)，我们发现18－9＝9，27－18＝9，36－27＝9，45－36＝9，54－45＝9，63－54＝9，72－63＝9，81－72＝9，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；对于(2)，24.5－25＝－0.5，…；对于(3)，1758－1682＝76，…，于是我们可以大胆预测下一次哈雷彗星出现的时间应该是1986＋76＝2062年.对于(4)，10－10＝0，有同样的取值规律. 等差数列的概念 文字 语言 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示 符号 语言 an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*) [微思考]等差数列的定义中，为什么要“从第2项起”？ 提示：第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合. (链教材P15练习T1)判断下列数列是否是等差数列.如果是，写出它的首项a1和公差d. (1)1，3，5，7，9，…； (2)9，6，3，0，－3，…； (3)1，3，4，5，6，…； (4)7，7，7，7，7，…； (5)1，，，，，…. 解：(1)是，a1＝1，d＝2；(2)是，a1＝9，d＝－3；(3)不是；(4)是，a1＝7，d＝0；(5)不是. 　　利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列. 对点练1.(1)(多选)下列数列是等差数列的是(　　) A.1，1，1，1，1 B.4，7，10，13，16 C.，，1，， D.－3，－2，－1，1，2 (2)若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an}(　　) A.是公差为1的等差数列 B.是公差为的等差数列 C.是公差为－的等差数列 D.不是等差数列 答案：(1)ABC　(2)B 解析：(1)由等差数列的定义得，对于A项，d＝0，故是等差数列；对于B项，d＝3，故是等差数列；对于C项，d＝，故是等差数列；对于D项，每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列.故选ABC. (2)由3an＋1＝3an＋1，得an＋1＝an＋，即an＋1－an＝，所以数列{an}是公差为的等差数列.故选B. 任务二　等差中项 (阅读教材P13，完成探究问题2) 问题2.若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列吗？反之，是不是也成立？ 提示：若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列.反之，a，b，c为等差数列，则有2b＝a＋c. [微提醒]　(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一.(2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A＝.(3)等差数列{an}中，an是an－k和an＋k的等差中项，注意序号间的关系. 学生用书⬇第14页 (链教材P15练习T5)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列. 解：因为－1，a，b，c，7成等差数列， 所以b是－1与7的等差中项， 所以b＝＝3. 又a是－1与3的等差中项， 所以a＝＝1. 又c是3与7的等差中项，所以c＝＝5. 所以该数列为－1，1，3，5，7. 等差中项的应用策略 1.求两个数x，y的等差中项，根据等差中项的定义得A＝. 2.证明三项成等差数列，只需证明中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列. 对点练2.(1)若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为(　　) A.20 B.26 C.39 D.52 (2)已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则2m－n和2n－m的等差中项是(　　) A.8 B.6 C.4.5 D.3 答案：(1)C　(2)D 解析：(1)因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y是x，z的等差中项，也是5，21的等差中项，所以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39.故选C. (2)因为m＋2n＝8，2m＋n＝10，所以3m＋3n＝18，所以m＋n＝6，所以2m－n和2n－m的等差中项是＝＝3.故选D. 任务三　等差数列的通项公式 (阅读教材P13—15，完成探究问题3) 问题3.你能根据等差数列定义中的递推关系an－＝d(n≥2)，归纳出等差数列的通项公式吗？ 提示：设一个等差数列的首项为a1，公差为d，由等差数列的定义可知，an－＝d(n≥2)， an＝＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，……归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2). 1.等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d. [微提醒]　(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量a1，d，n的表达式，所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项.(2)等差数列的通项公式可以推广为an＝am＋(n－m)d，它阐明了等差数列中任意两项的关系；也可以变形为d＝，知道等差数列中任意两项，可以求公差d. 2.等差数列的通项公式与一次函数的关系 (1)若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d). ①点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d. ②这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. (2){an}的公差为d，则d＞0⇔{an}为递增数列； d＜0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列. (链教材P15练习T4)在等差数列{an}中： (1)已知a1＝3，d＝2，求a6； (2) 已知a1＝1，d＝2，an＝15，求n； (3)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； (4)已知a2＋a6＝8，a3＋a4＝3，求an. 学生用书⬇第15页 解：(1)由题意知a6＝3＋(6－1)×2＝13. (2)由题意知15＝1＋(n－1)×2，解得n＝8. (3)由题意知 (4)由题意知 所以an＝a1＋(n－1)d＝－11＋(n－1)×5＝5n－16，n∈N*. 等差数列通项公式的求法 1.知三求一：等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”. 2.求法：(1)设出基本量a1与d，利用条件构建方程组，利用方程思想求出a1与d，即可写出数列的通项公式； (2)已知等差数列中的两项时，利用an＝am＋(n－m)d求出公差d就可绕过求首项a1，直接写出等差数列的通项公式. [注意]　对于等差数列的通项公式，最终结果一般写成关于n的一次函数的形式，不必保留a1＋(n－1)d的形式. 对点练3.在等差数列{an}中，求解下列各题： (1)已知公差d＝－，a7＝8，则a1＝　　　　； (2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝　　　　； (3)已知{an}的前3项依次为2，6，10，则a15＝　　　　； (4)已知a985＝2 025，a2 025＝985，则a3 010＝　　　　. 答案：(1)10　(2)－　(3)58　(4)0 解析：(1)由a7＝a1＋6d，得8＝a1＋6×， 故a1＝10. (2)由题意得 解得 (3)由题意得，d＝6－2＝4，把a1＝2，d＝4代入an＝a1＋(n－1)d，得an＝2＋(n－1)×4＝4n－2，所以a15＝4×15－2＝58. (4)设公差为d，则a1＋984d＝2 025，a1＋2 024d＝985，解得a1＝3 009，d＝－1，所以a3 010＝a1＋3 009d＝3 009－3 009＝0. 对点练4.在等差数列{an}中，a2＋a5＝24，a17＝66. (1)求a2 025的值； (2)2 026是否为数列{an}中的项？若是，则为第几项？ 解：(1)由题意知{an}是等差数列，设首项为a1，公差为d，则 所以a2 025＝2＋2 024×4＝8 098. (2)由(1)得，an＝2＋(n－1)×4＝4n－2， 令4n－2＝2 026，解得n＝507， 所以2 026是数列{an}中的第507项. 任务四　等差数列的判定与证明 已知数列{an}满足＝，且a1＝3(n∈N*). (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式. 解：(1)证明：由＝ ＝＝＝＝＋， 得－＝，n∈N*，故数列是等差数列. (2)由(1)知＝＋(n－1)×＝，所以an＝，n∈N*. [变式探究] 1.(变条件)本例中若将条件改为“a1＝4，an＝4－(n≥2)”，设问不变. 解：(1)证明：因为an＝4－(n≥2)，所以an－2＝2－＝， 所以＝＝＝＋，得－＝(n≥2)， 所以数列为首项，以为公差的等差数列. (2)由(1)知＝＋(n－1)×＝， 所以an＝2＋，n∈N*. 学生用书⬇第16页 2.(变条件)本例中若将条件改为“已知数列{an}满足a1＝2，若an＋1＝2an＋2n＋1”，证明为等差数列，并求{an}的通项公式. 解：由于＝2an＋， 所以－＝－＝1， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列. 所以＝1＋(n－1)×1＝n. 所以an＝n·2n. 等差数列的判定与证明的方法 1.定义法：an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列. 2.等差中项法：2＝an＋(n∈N*)⇔{an}为等差数列. 3.通项公式法：数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列. [注意]　(1)如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法，通项公式法不能作为证明方法.(2)若数列的前有限项成等差数列，则该数列未必是等差数列；而要说明一个数列不是等差数列，只要说明其中连续三项不成等差数列即可. 对点练5.(1)(双空题)已知正项数列{an}满足：a1＝1，a2＝2，2＝＋(n∈N*，n≥2)，则an＝　　　　，a9＝　　　　. (2)已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则其通项公式为an＝　　　　. 答案：(1)　5　(2)n2(n∈N*) 解析：(1)因为2＝＋(n∈N*，n≥2)， 所以数列{}是以＝1为首项， d＝－＝4－1＝3为公差的等差数列， 所以＝1＋3(n－1)＝3n－2， 所以an＝，n≥1. 所以a9＝＝＝5. (2)由题设可得－＋1＝0，即－＝1，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，故通项公式为＝n，所以an＝n2(n∈N*). [教材拓展2]　等差数列的常见构造(源于教材P16例4) 当已知数列不是等差数列时，则需运用去分母、添项、取倒数、取对数等方法，将递推式变形，构造与之相关的等差数列，利用等差数列的通项公式，求出包含an的关系式，进而求出an. 由递推关系推导等差数列的常见形式有： (1)转化为－＝常数，则数列是等差数列； (2)转化为－＝常数，则数列是等差数列； (3)转化为－＝常数，则数列{}是等差数列； (4)转化为－＝常数，则数列{}是等差数列； (5)转化为logman＋1－logman＝常数，则数列{logman}是等差数列(其中m＞0，且m≠1)； (6)转化为(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝常数，则数列{an＋1－an}是等差数列. 说明：上述6种形式的方法要点是：结构统一的换元. (1)(2024·吉林长春高二期中)已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝，则其通项公式为an＝　　　　； (2)在正项数列{an}中，a1＝1，2＋－＝0，n∈N*.则其通项公式为an＝　　　　； (3)(2025·甘肃兰州高二期中)已知数列{an}中，a1＝1，且2an＋1an＝(n＋1)an－nan＋1，则其通项公式为an＝　　　　. 答案： (1)　(2)　(3) 解析：(1)由题意知对an＋1＝取倒数，得＝＝＋，即－＝，所以数列{}是以1为首项，为公差的等差数列，所以＝1＋(n－1)×＝，所以an＝. (2)递推关系式2＋－＝0中含有，为了获得an＋1，an相齐的结构，需两边同时除以，得－＝2. 由a1＝1得＝1，则数列是以1为首项，2为公差的等差数列. 所以＝1＋(n－1)×2＝2n－1，故an＝. (3)由2an＋1an＝(n＋1)an－nan＋1，得－＝2，所以数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以＝1＋(n－1)×2＝2n－1，所以an＝. 任务 再现 1.等差数列的概念.2.等差中项.3.等差数列的通项公式 方法 提炼 1.等差中项的应用策略：定义法. 2.等差数列的通项公式：公式法.3.等差数列的判定与证明：定义法、等差中项法、通项公式法 易错 警示 在等差数列的定义中，应该把握好三个关键：即“第二项起”、“后项与前项的差”、“同一个常数”.同时在证明中应注意验证“第一项”也满足条件 学生用书⬇第17页 1.(多选)下列数列中，是等差数列的是(　　) A.1，4，7，10 B.lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C.25，24，23，22 D.10，8，6，4，2 答案：ABD 解析：A，B，D项满足等差数列的定义，是等差数列；C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列.故选ABD. 2.已知数列{an}是等差数列，若a1＝2，a4＝2a3，则公差d＝(　　) A.0 B.2 C.－1 D.－2 答案：D 解析：因为数列{an}是等差数列，公差为d，若a1＝2，a4＝2a3，则2＋3d＝2(2＋2d)，解得d＝－2.故选D. 3.已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是　　　　. 答案：46 解析：d＝－1－1＝－2，设an＝－89，则－89＝a1＋(n－1)d＝1－2(n－1)，解得n＝46. 4.若数列{an}满足 ＝＋4且a1＝1，an＞0，则an＝　　　　. 答案：(4n－3)2 解析：因为＝＋4，所以－＝4，所以数列＝1为首项，4为公差的等差数列，所以＝＋4(n－1)＝4n－3，所以an＝(4n－3)2. 学科网（北京）股份有限公司 $