4.2.1 等差数列的概念（7大基础题型+能力提升+拓展提升）（分层作业）高二数学人教A版2019选择性必修第二册

4.2.1 等差数列的概念 题型一 对等差数列的理解 1．（24-25高一下·宁夏石嘴山·期中）下列数列不是等差数列的是（    ） A．0，0，0，…，0，… B．－2，－1，0，…，n－3，… C．1，3，5，…，2n－1，… D．0，1，3，…，，… 2．（2025广西桂林高二下联考）在数列中，则“”是“数列为等差数列”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 3．(多选)（24-25高二·全国·课堂例题）下列数列中，是等差数列的是（    ） A．1，4，7，10 B． C． D．10，8，6，4，2 题型二 等差中项 1．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知6是t和2的等差中项，则t的值为（   ） A．4 B．8 C．10 D．11 2．（24-25高二上·新疆·阶段练习）方程的两根的等差中项为（    ） A． B． C． D． 3．(2025广西高三4月适应性测试)在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型三 等差数列的通项公式及应用 1．（24-25高二下·海南·期中）下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·广东佛山·阶段练习）是等差数列，…，，，…的（   ） A．第1013项 B．第1012项 C．第1011项 D．第1010项 3．（多选）已知在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·重庆·阶段练习）在等差数列中，，则公差 . 5．（25-26高二上·全国·单元测试）已知等差数列，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则数列的第13项为 ． 6．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知等差数列满足，且，则首项 ． 题型四 判断或证明一个数列是等差数列 1.(多选) (2025云南楚雄高二上期末)若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（   ） A． B． C． D． 2．(2025江西宜春一中高二下月考)已知数列满足：，.若， (1)求证：为等差数列. (2)求数列的通项公式 3．（24-25高二下·全国·课后作业）数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 题型五 等差数列的性质及其应用 1．（25-26高三上·辽宁·开学考试）在等差数列中，，.则公差d＝（   ） A．－10 B．－5 C．10 D．5 2．（25-26高三上·广西桂林·开学考试）已知数列为等差数列，若，则（   ） A．2026 B．2025 C．1013 D．1012.5 3．（24-25高二上·河南·期中）设p为“”，q为“是等差数列”，则p是q的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4.（2025陕西西安高二上期末）已知数列为递增的等差数列，若，则的公差为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（24-25高二下·海南海口·开学考试）已知等差数列，，，则 . 6．已知等差数列{an}是递减数列,若a1+a2+a3=90,a9>0,则公差d的一个整数取值可以是　　　　.  题型六 求等差数列的最大（小）项 1．（24-25高二·全国·课后作业）设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 3．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 题型七 等差数列的实际应用 1.(2025江西南昌外国语学校高二下期中)《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为33尺，前九个节气日影长之和为108尺，则谷雨日影长为（   ）. A．14 B．15 C．16 D．17 2．（25-26高二上·全国·单元测试）渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄的改革方案．对于男职工，法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示： 出生时间 1965年1月～4月 1965年5月～8月 1965年9月～12月 1966年1月～4月 …… 改革后法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 …… 那么1974年7月出生的男职工退休年龄为（    ） A．62岁3个月 B．62岁4个月 C．62岁5个月 D．63岁 3．（2025高三·全国·专题练习）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升． 1．（25-26高三上·广东·阶段练习）一组数据10，13，17，25，47的第80百分位数为，若6，，三个数成等差数列，则（    ） A．21 B．23 C． D． 2.(2025福建龙岩高二上期中联考)公差不为0的等差数列中，，则的值不可能是（   ） A．9 B．16 C．22 D．25 3．（25-26高三上·江西南昌·开学考试）已知首项为1的数列，其前n项积是公差为3的等差数列，则＝（   ） A．4 B．3 C． D． 4．（25-26高三上·河南商丘·开学考试）已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 5．(2024江苏苏州调研)已知等差数列{an}的首项为a,公差为1,bn=,若对任意的正整数n都有bn≥b5,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-4)∪(-3,+∞) B.(-4,-3) C.(-∞,-5)∪(-4,+∞) D.(-5,-4) 6．(2024江西宜春丰城第九中学开学考试)南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式,书中所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同,其前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一高阶等差数列,其前7项分别为1,5,11,21,37,61,95,则该数列的第8项为(　　) A.99　　　　B.131　　　　C.139　　　　D.141 7.（多选）（2025四川绵阳高二下期中调研）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的有（    ） A． B．当时，数列的公差为2 C．当时，是数列中的项 D．若是数列的项，则正整数的取值为、、 8.（2025陕西安康高二下期中）已知为首项和公差均为1的等差数列，则满足的的最小值为 . 9．（25-26高三上·天津·阶段练习）正项等差数列中，，则的最小值为 . 10．（2025·云南昆明·一模）已知数列满足，． (1)若，，成等差数列，求k； (2)求． 1.（2025江西重点中学盟校高三下一联）从1，2，……，10中取三个不同的数，按从小到大的顺序排列，组成的数列是等差数列的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·全国·阶段练习）已知是曲线上的四点，其中，且成等差数列，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3.(2025上海上海交大附中高二下段测)在，角、、依次成等差数列．若，角的值为 . 4．（25-26高二上·上海·开学考试）定义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，那么这个向量列叫做等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差.已知向量列是以为首项，公差的等差向量列.若向量与非零向量垂直，则 ． 5．（25-26高三上·四川泸州·阶段练习）已知数列满足，，设.若对于任意且，都有. (1)求的值； (2)求数列的通项公式. (3)求证：. 6 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.1 等差数列的概念 题型一 对等差数列的理解 1．（24-25高一下·宁夏石嘴山·期中）下列数列不是等差数列的是（    ） A．0，0，0，…，0，… B．－2，－1，0，…，n－3，… C．1，3，5，…，2n－1，… D．0，1，3，…，，… 【答案】D 【详解】选项A中，后项减前项所得差均为0，是等差数列； 选项B中，后项减前项所得差都是1，是等差数列； 选项C中，后项减前项所得差都是2，是等差数列； 选项D中，，不是等差数列， 故选：D． 2．（2025广西桂林高二下联考）在数列中，则“”是“数列为等差数列”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】D 【解析】当数列为等差数列时，不一定有成立； “”成立也不一定推出“数列为等差数列”； “”是“数列为等差数列”的既不充分也不必要条件；故选D. 3．(多选)（24-25高二·全国·课堂例题）下列数列中，是等差数列的是（    ） A．1，4，7，10 B． C． D．10，8，6，4，2 【答案】ABD 【详解】根据等差数列的定义，可得对于A，满足4－1＝7－4＝10－7＝3（常数），所以是等差数列，故A正确； 对于B，满足（常数），所以是等差数列，故B正确； 对于C，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列，故C错误； 对于D，满足（常数），所以是等差数列，故D正确． 故选：ABD. 题型二 等差中项 1．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知6是t和2的等差中项，则t的值为（   ） A．4 B．8 C．10 D．11 【答案】C 【详解】由于6是t和2的等差中项，故，故， 故选：C 2．（24-25高二上·新疆·阶段练习）方程的两根的等差中项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设方程的两根为，则， 所以方程的两根的等差中项为. 故选：D. 3．(2025广西高三4月适应性测试)在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项， 所以，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为.故选. 题型三 等差数列的通项公式及应用 1．（24-25高二下·海南·期中）下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，不为常数，故A错误， 对于B，为常数，故B正确， 对于C, 不为常数，故C错误， 对于D，不为常数，故D错误， 故选：B 2．（25-26高三上·广东佛山·阶段练习）是等差数列，…，，，…的（   ） A．第1013项 B．第1012项 C．第1011项 D．第1010项 【答案】C 【详解】由条件可知，等差数列的首项是，公差是， 所以等差数列的通项公式为， 令，得. 故选：C 3．（多选）已知在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】解：由题意， 设等差数列的公差为d， 则 即，所以 故选：BC. 4．（25-26高三上·重庆·阶段练习）在等差数列中，，则公差 . 【答案】5 【详解】在等差数列中，， 所以公差. 5．（25-26高二上·全国·单元测试）已知等差数列，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则数列的第13项为 ． 【答案】16 【详解】在相邻两项之间插入一个数，形成新的等差数列， 则新的等差数列的公差为原等差数列公差的． 设已知的等差数列为，公差为，易知，则， 则． 令，得． 6．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知等差数列满足，且，则首项 ． 【答案】 【详解】由已知数列为等差数列， 所以， 解得. 题型四 判断或证明一个数列是等差数列 1.(多选) (2025云南楚雄高二上期末)若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】设等差数列的公差为d. 对于A，，所以是以为公差的等差数列； 对于B，，因为不一定为常数，所以不一定是等差数列； 对于C，因为，所以为等差数列； 对于D，因为，所以为等差数列. 故选ACD. 2．(2025江西宜春一中高二下月考)已知数列满足：，.若， (1)求证：为等差数列. (2)求数列的通项公式 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，所以， 即，且因为，所以，， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （2）由(1)知， 又，所以， 即数列的通项公式为. 3．（24-25高二下·全国·课后作业）数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由，可得， 数列是以为首项，2为公差的等差数列； （2）由（1）知，． 题型五 等差数列的性质及其应用 1．（25-26高三上·辽宁·开学考试）在等差数列中，，.则公差d＝（   ） A．－10 B．－5 C．10 D．5 【答案】D 【详解】公差． 故选：D 2．（25-26高三上·广西桂林·开学考试）已知数列为等差数列，若，则（   ） A．2026 B．2025 C．1013 D．1012.5 【答案】C 【详解】数列为等差数列，所以. 故选：C 3．（24-25高二上·河南·期中）设p为“”，q为“是等差数列”，则p是q的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若p成立，即成立时，数列不一定为等差数列， 例如，即充分性不成立， 当为等差数列，则由等差数列的性质可知p成立，即必要性成立， 所以p是q的必要不充分条件． 故选：C． 4.（2025陕西西安高二上期末）已知数列为递增的等差数列，若，则的公差为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】 由等差数列性质及已知得为， 所以为方程的两根， 又因为为递增的等差数列，所以， 故公差.故选D. 5．（24-25高二下·海南海口·开学考试）已知等差数列，，，则 . 【答案】 【详解】在等差数列中，，可得. 6.已知等差数列{an}是递减数列,若a1+a2+a3=90,a9>0,则公差d的一个整数取值可以是　　　　.  【答案】-3(答案不唯一) 【解析】a1+a2+a3=3a2=90,∴a2=30, ∴a9=a2+7d=30+7d>0,即d>-, 又{an}是递减数列,所以-<d<0,故d的整数取值可以是-4,-3,-2,-1. 题型六 求等差数列的最大（小）项 1．（24-25高二·全国·课后作业）设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【答案】A 【详解】由，即，解得，因为,故. 故选：A. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设数列的公差为，则， 故， 故， 根据二次函数的性质可知：当或4时，取得最小值． 故答案为： 3．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 【答案】16 【详解】由题意，， 令，得，解得， 所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，，则， 因此当最小时，， 故答案为： 题型七 等差数列的实际应用 1.(2025江西南昌外国语学校高二下期中)《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为33尺，前九个节气日影长之和为108尺，则谷雨日影长为（   ）. A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【解析】设这十二个节气日影长为数列，则是等差数列， 由题可知，， 由等差数列性质得， ， 所以公差，则，故选C. 2．（25-26高二上·全国·单元测试）渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄的改革方案．对于男职工，法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示： 出生时间 1965年1月～4月 1965年5月～8月 1965年9月～12月 1966年1月～4月 …… 改革后法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 …… 那么1974年7月出生的男职工退休年龄为（    ） A．62岁3个月 B．62岁4个月 C．62岁5个月 D．63岁 【答案】C 【详解】设1965年7月出生的男职工退休年龄为（岁）， 则1966年7月出生的男职工退休年龄为（岁）， 若1965年及以后每年7月出生的男职工退休年龄构成数列， 则是首项为，公差为的等差数列， 则1974年7月出生的男职工退休年龄为（岁）． 故1974年7月出生的男职工退休年龄为62岁5个月． 故选：C. 3．（2025高三·全国·专题练习）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升． 【答案】 【详解】设从上到下各节的容积依次构成等差数列，公差为， 则由题, 故, 解得:, 所以. 1．（25-26高三上·广东·阶段练习）一组数据10，13，17，25，47的第80百分位数为，若6，，三个数成等差数列，则（    ） A．21 B．23 C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 又6，，三个数成等差数列，所以. 故选：A 2.(2025福建龙岩高二上期中联考)公差不为0的等差数列中，，则的值不可能是（   ） A．9 B．16 C．22 D．25 【答案】C 【解析】因为，所以， 又，，所以或或或或或或或或， 所以的值可能是，，，，.故选. 3．（25-26高三上·江西南昌·开学考试）已知首项为1的数列，其前n项积是公差为3的等差数列，则＝（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】因为数列的首项为1，且其前n项积是公差为3的等差数列. 所以，令，得. 所以数列是公差为3，首项为1的等差数列. 故，即. 所以. 故选：C. 4．（25-26高三上·河南商丘·开学考试）已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法一：由题意可得：，则， 可得，即， 可知数列是首项为，公差为1的等差数列， 则，即，所以； 方法二：因为，， 可得，，， 据此可以发现规律，所以． 故选：C． 6．(2024江苏苏州调研)已知等差数列{an}的首项为a,公差为1,bn=,若对任意的正整数n都有bn≥b5,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-4)∪(-3,+∞) B.(-4,-3) C.(-∞,-5)∪(-4,+∞) D.(-5,-4) 【答案】D 【解析】解法一:依题意得,an=a+(n-1)×1=n+a-1, ∴bn==1+. 画出函数y=+1的图象,如图. 结合题意知5<1-a<6,解得-5<a<-4,故选D. 解法二:∵等差数列{an}的首项为a,公差为1, ∴an=a+n-1,∴bn==1+=1+, 若对任意的正整数n都有bn≥b5, 则(bn)min=b5=1+, 结合数列{bn}的增减性可知, 即 解得-5<a<-4.故选D. 6．(2024江西宜春丰城第九中学开学考试)南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式,书中所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同,其前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一高阶等差数列,其前7项分别为1,5,11,21,37,61,95,则该数列的第8项为(　　) A.99　　　　B.131　　　　C.139　　　　D.141 【答案】D 【解析】设该高阶等差数列的第8项为x, 根据所给定义,用数列的后一项减去前一项得到一个新数列,得到的新数列也用后一项减去前一项再得到一个新数列,此时便得到了一个等差数列,记x与95的差为y,如图: 由图可得则 故选D. 7.（多选）（2025四川绵阳高二下期中调研）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的有（    ） A． B．当时，数列的公差为2 C．当时，是数列中的项 D．若是数列的项，则正整数的取值为、、 【答案】ACD 【解析】对于A，由题意得，故A正确； 对于B，当时，数列的公差为，故B错误； 对于C，当时，数列的首项为2，公差为， 故，故， 令，解得，所以是数列的第8项，故C正确； 对于D，插入个数，则，，，，， 所以等差数列中的项在等差数列中对应的项的序号是 以1为首项，为公差的等差数列，即， 若是数列的项，则，即， 因为，所以的可能取值为， 则正整数的取值为、、，故D正确. 故选ACD. 8.（2025陕西安康高二下期中）已知为首项和公差均为1的等差数列，则满足的的最小值为 . 【答案】11 【解析】由等差数列的定义可得，则， 所以令，解得，所以满足条件的的最小值为11. 9．（25-26高三上·天津·阶段练习）正项等差数列中，，则的最小值为 . 【答案】 【详解】设等差数列的公差为， ，，， ， 当时，， 当时，取得最小值. 10．（2025·云南昆明·一模）已知数列满足，． (1)若，，成等差数列，求k； (2)求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知数列满足，． 因为，，成等差数列，所以， 所以， 整理得，解得，或（负值舍去）. （2）因为，又， 所以时， ， 时,也满足上式， 所以． 1.（2025江西重点中学盟校高三下一联）从1，2，……，10中取三个不同的数，按从小到大的顺序排列，组成的数列是等差数列的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 设取出的3个不同的数分别为a,b,c，不同的取法共有种， 若这3个数构成等差数列，则有. 故a、c同为奇数或同为偶数，且a与c确定后，b随之而定. 从而所求概率为.故选D． 2．（25-26高三上·全国·阶段练习）已知是曲线上的四点，其中，且成等差数列，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】如图： 周期为，所以在上由于三角函数图象的对称性得，关于对称， 同理关于对称， 所以． 又因为成等差数列，所以， 所以，所以. 故选：C 3.(2025上海上海交大附中高二下段测)在，角、、依次成等差数列．若，角的值为 . 【答案】 【解析】 在，角、、依次成等差数列，则， 由三角形的内角和定理可得，可得， ，整理可得， 因为，故. 4．（25-26高二上·上海·开学考试）定义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，那么这个向量列叫做等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差.已知向量列是以为首项，公差的等差向量列.若向量与非零向量垂直，则 ． 【答案】/ 【详解】， 因为向量与非零向量垂直， 故， 由题设可知，故，故， 故 . 5．（25-26高三上·四川泸州·阶段练习）已知数列满足，，设.若对于任意且，都有. (1)求的值； (2)求数列的通项公式. (3)求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题知数列是等差数列，则， ，，，， 由可得：，，， ，解得：. （2）由（1）知：，，， 则等差数列公差为， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ， ； （3）证明：由（1）、（2）知 ， ，，. 4 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $