4.1 第2课时 数列的递推公式与an和Sn的关系-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

第2课时　数列的递推公式与an和Sn的关系 学习目标 1.理解递推公式的含义，培养数学抽象的核心素养. 2. 能根据递推公式求出数列的前几项，了解用累加法、累乘法求通项公式，增强逻辑推理的核心素养. 3.会用an与Sn的关系求通项公式，提升数学运算的核心素养. 任务一　数列的递推公式 (阅读教材P6—7，完成探究问题1) 问题1.观察某次智力测试中的一道题：数列：1，3，6，10，15，…中数字出现的规律是： a2－a1＝3－1＝2， a3－a2＝6－3＝3， a4－a3＝10－6＝4， a5－a4＝15－10＝5， …… (1)你能写出该数列的第8个数吗？ (2)你能用an＋1与an的一个数学表达式描述该数列相邻两项之间的关系吗？ 提示：(1)36　(2)an＋1－an＝n＋1. [微提醒]　数列递推公式与通项公式的关系 递推公式 通项公式 区别 表示an与它的前一项(或前几项)之间的关系 表示an与n之间的关系 联系 (1)都是表示数列的一种方法. (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 [微思考]　是否所有的数列都有递推公式？ 提示：递推公式是表示数列的一种重要方法，与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式. (链教材P6例5)若数列{an}满足a1＝2，＝，n∈N*，求a6. 解：a2＝＝＝－3， a3＝＝＝－， a4＝＝＝， a5＝＝＝2， a6＝＝＝－3. 学生用书⬇第9页 [变式探究]　(变设问)在例1的条件下，求a1 000和a2 025的值. 解：由例1知，a5＝2＝a1，a6＝－3＝a2，…， 所以{an}是周期为4的周期数列， 所以a1 000＝a4×250＝a4＝，a2 025＝a4×506＋1＝a1＝2. 由递推公式写出数列的项的方法 1.根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可. 2.若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式. 3.若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式. [注意]　所求项序号较大且通项公式不易求得时，可以猜想该数列可能是周期数列，数列的周期性体现了函数思想和转化与化归思想. 对点练1.已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，n∈N*，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{an}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 028项？ 解：a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…，发现：an＋6＝an，数列{an}具有周期性，周期T＝6.证明如下：因为an＋2＝an＋1－an，所以an＋3＝an＋2－an＋1＝(an＋1－an)－an＋1＝－an，所以an＋6＝－an＋3＝－(－an)＝an.所以数列{an}是周期数列，且T＝6.所以a2 028＝a338×6＝a6＝－1. 任务二　数列的前n项和 (阅读教材P7，完成探究问题2、3 ) 问题2.如果我们把数列{an}的前n项加在一起的和记作Sn，那么你能用它表示a2吗？a6＋a7＋a8＋a9＋a10怎么表示？an呢？ 提示：a2＝S2－S1，a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝S10－S5，an＝ 问题3.已知某数列的前n项和Sn＝n2＋n，如何求a4？ 提示：a4＝S4－S3＝(42＋4)－(32＋3)＝8. 1.定义 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2.数列的前n项和公式 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 3.an与Sn的关系 an＝ [微提醒]　(1)注意等式成立的条件.(2)一定要检验n＝1时，S1是否满足首项.(3)若Sn与an的关系式较复杂，可分别写出Sn与Sn－1，然后作差求得. (链教材P7思考)已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.求a1及an. 解：因为Sn＝2n2－30n， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28， 当n≥2时，an＝Sn－＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32. 验证当n＝1时上式成立， 所以an＝4n－32，n∈N*. 学生用书⬇第10页 [变式探究](变条件)将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an. 解：因为Sn＝2n2－30n＋1， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27， 当n≥2时，an＝Sn－ ＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]＝4n－32. 当n＝1时不符合上式. 所以an＝ 由Sn求通项公式an的步骤 对点练2.已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an. (1)Sn＝； (2)Sn＝3n－2. 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝， 当n≥2时，an＝Sn－＝－＝， 又a1＝适合上式，所以an＝. (2)当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－＝(3n－2)－(－2)＝2×， 又a1＝1不适合上式，所以an＝ 任务三　由递推公式求通项公式 (一题多解)(1)(2025·安徽马鞍山高二月考)已知数列{an}满足a1＝1，＝an＋，求数列{an}的通项公式； (2)设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)－n＋an＝0(n∈N*)，求数列{an}的通项公式. 解：(1)法一：(归纳法)数列的前5项分别为a1＝1，a2＝1＋＝，a3＝＋＝，a4＝＋＝，a5＝＋＝， 又a1＝1，由此可得数列的一个通项公式为an＝(n∈N*). 法二：(迭代法)因为＝an＋， 所以＝an＋－， 所以a2＝a1＋1－，a3＝a2＋－，…，an＝＋－(n≥2)， 则an＝a1＋1－＋－＋－＋…＋－＝2－＝(n≥2). 又a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*). 法三：(累加法) 因为an＋1－an＝－，a1＝1，所以a2－a1＝1－，a3－a2＝－，a4－a3＝－，…，an－＝－(n≥2)， 以上各项相加得an＝1＋(1－)＋(－)＋…＋(－)＝2－. 所以an＝(n≥2).因为a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*). (2)法一：(累乘法)把(n＋1)－n＋an＋1an＝0分解因式，得[(n＋1)－nan](＋an)＝0. 因为an＞0，所以＋an＞0，所以(n＋1)－nan＝0， 所以＝，所以···…·＝×××…×， 所以＝.又因为a1＝1，所以an＝a1＝. 法二：(迭代法)同法一，得＝，所以＝an， 所以an＝·an－1＝··＝···＝…＝···…·a1＝a1.又因为a1＝1，所以an＝. 法三：(构造特殊数列法)同法一，得＝，所以(n＋1)＝nan，所以数列{nan}是常数列，所以nan＝1·a1＝1，所以an＝. 由递推公式求通项公式的常用方法 1.归纳法：根据数列的某项和递推公式求出数列的前几项，归纳出通项公式.(只适用于选择题、填空题) 2.迭代法、累加法或累乘法适合的递推公式类型 (1)－an＝常数，或－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法； (2)＝pan(p为非零常数)，或＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法； (3)＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第(2)类解决. 对点练3.(1)已知数列{an}满足a1＝，an＝an－1＋(n∈N*且n≥2)，则数列{an}的通项公式为　　　　　　　　. (2)已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln ＝1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为　　　　　　　 . 学生用书⬇第11页 (3)已知各项均不为0的数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为　　　　　　　. 答案：(1)an＝　(2)an＝en－1　(3)an＝ 解析：(1)因为an＝an－1＋(n≥2)，所以an－＝＝－，所以a2－a1＝－，a3－a2＝－，…，an－＝－(n≥2).以上各式相加，得an－a1＝－(n≥2)，所以an＝a1＋－＝(n≥2)，所以an＝(n≥2)，又a1＝适合an＝，故数列{an}的通项公式为an＝. (2)因为ln an－ln ＝1，所以ln ＝1，即＝e(n≥2).所以an＝··…··a1＝e·e·…·e·1＝(n≥2)，又a1＝1也符合上式，故数列{an}的通项公式an＝en－1，n∈N*. (3)因为an＝－an，且各项均不为0，所以－＝1.所以当n≥2时，＝＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝2＋1＋1＋…＋1＝n＋1.所以＝n＋1，所以当n≥2时，an＝.因为a1＝也符合上式，故数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*). [教材拓展1]　斐波那契数列(源于教材P10阅读与思考、P9 T4) 1.斐波那契数列的由来 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一组数组成的数列{Fn}称为“斐波那契数列”，递推公式：Fn＝Fn－1＋Fn－2(n＞2)，通项公式：Fn＝［()n－()n］. 2.斐波那契数列的性质 (1)求和问题：①Sn＝an＋2－1；②a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n；③a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝a2n＋1－1. [证明]①Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋…＋(an＋1－an)＋(an＋2－an＋1)＝an＋2－a2＝an＋2－1，即Sn＝an＋2－1. ②由a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，…，a2n－1＝a2n－a2n－2，可得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n. ③由a2＝a3－a1，a4＝a5－a3，…，a2n＝a2n＋1－a2n－1，可得a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝a2n＋1－a1＝a2n＋1－1. (2)平方和问题：＋＋＋…＋＝anan＋1，即＝anan＋1. [证明]　斐波那契数列总有an＋2＝an＋1＋an，则＝a2a1， ＝a2(a3－a1)＝a2a3－a2a1， ＝a3(a4－a2)＝a3a4－a3a2， …， ＝an(an＋1－an－1)＝anan＋1－anan－1， 所以＋＋＋…＋＝anan＋1， 即＝anan＋1. (3)相邻项问题：＝an－1an＋1－(－1)n(n＞1). [证明]　设α＝，β＝，则an－1an＋1＝(αn－1－β n－1)×·(αn＋1－β n＋1)＝(α2n＋β 2n－αn－1β n＋1－αn＋1βn－1)＝[α2n＋β2n－3×(－1)n－1]＝[α2n＋β2n－2αnβn＋5×(－1)n]＝(αn－β n)2＋(－1)n＝＋(－1)n(n＞1)， 即＝an－1an＋1－(－1)n(n＞1). (多选)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记Sn为数列的前n项和，则下列结论正确的是(　　) A.a7＝13 B.S8＝97 C.＋＋…＋＝a2 024a2 025 D.a1＋a3＋a5＋…＋a199＝a200 答案：ACD 解析：对于A，由题意，数列的前7项为1，1，2，3，5，8，13，故a7＝13，故A正确；对于B，S8＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＝54，故B错误；对于C，由题意a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，所以an＋1＝an＋2－an，＝a1a2，＝a2＝a2a3－a1a2，＝a3＝a3a4－a2a3，…，＝an(an＋1－an－1)＝anan＋1－an－1an，所以＋＋…＋＝a1a2＋＋＋…＋＝a2 024a2 025，故C正确；对于D，由C可知，a1＋a3＋a5＋…＋a199＝a2＋＋＋…＋＝a200，故D正确.故选ACD. 任务 再现 1.数列的递推公式.2.数列的前n项和Sn与an的关系 方法 提炼 1.由递推公式求通项公式：归纳法、迭代法、累加法、累乘法.2.由前n项和Sn求通项公式：公式法 易错 警示 1.累加法、累乘法解题时不注意验证首项是否符合通项公式.2.由Sn求an时易忽视验证n＝1时的情况 学生用书⬇第12页 1.已知数列{an}，a1＝1，＝an＋，则该数列的第3项等于(　　) A.1 B. C. D. 答案：C 解析：a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝.故选C. 2.设数列{an}满足a1＝1，且－an＝1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝　　　　. 答案：n 解析：由题意知a2－a1＝1，a3－a2＝1，…，an－＝1(n≥2)，以上各式相加，得an－a1＝＝n－1，因为a1＝1，则an＝n(n≥2)，又a1＝1也满足an＝n，所以数列{an}的通项公式为an＝n(n∈N*). 3.若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，则a100＝　　　　. 答案：5 050 解析：由(n－1)an＝(n＋1)an－1，得＝(n≥2，n∈N*)，则a100＝a1···…·＝1×××…×××＝＝5 050. 4.(双空题)已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn＝n2＋n(n∈N*)，则S3＝　　　　，数列{an}的通项公式an＝　　　　. 答案：12　2n 解析：由Sn＝n2＋n，所以S3＝9＋3＝12.当n＝1时，a1＝S1＝1＋1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，当n＝1时，得a1＝2成立，所以an＝2n. 学科网（北京）股份有限公司 $