4.1 数列的概念（6知识点+10考点+过关检测）（预习讲义）高二数学人教A版

该高中数学单元复习讲义以“预习三步曲”系统构建数列知识体系，通过思维导图梳理概念、分类、通项公式等六大知识点，用对比表格呈现数列与集合性质差异，按逻辑递进关系突出重难点内在联系。 讲义亮点是“知识点-题型-变式”分层练习设计，如根据前几项写通项公式、由增减性求参数等题型，培养数学思维与抽象能力。基础例题搭配变式题适配不同学生，助力教师精准复习教学，提升单元复习效率。

4.1 数列的概念 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：数列的概念 定义：数列是按照一定次序排列的一列数； 数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，第一项常称为首项； 数列的表示：数列的一般形式可以写成，简记. 解析 与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质： ①确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(与集合相同) ②可重复性：数列中的数可以重复．(与集合不同)如数列，而由组成的集合是． ③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序有关．(与集合不同)如与代表不同的数列，而集合与却是相同的． （2024高二·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列3，6，8可以表示为 D．，－3，－1，1，，5，7，9，11一定能构成数列 【答案】A 【分析】根据数列的定义可判断各项的正误. 【详解】对于A，数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确． 对于B，同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误． 对于C，数列和数的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误． 对于D，当都代表数（数列的各项都是数）时，能构成数列， 当中至少有一个不代表数时，不能构成数列， 因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故D错误． 故选：A. 知识点2：数列的分类 分类标准 名称 含义 例子 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的大小 递增数列 递减数列 常数列 每项都相等的数列 摆动数列 每项的大小忽大忽小的数列 （24-25高二上·福建莆田·月考）已知数列的通项公式为，则数列为（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用单调数列的定义判断即得. 【详解】数列中，，则， 即，所以数列为递减数列. 故选：B 知识点3：通项公式 如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 解析 与是不同的概念，表示数列，而表示的是数列的第项； 数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值. (3)一个数列的通项公式可以有不同的形式，比如数列，…，其通项公式可以是等. （24-25高二下·湖北孝感·期中）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析题干数列可知是交替出现的数列，逐个分析各个选项是否满足交替出现即可得出答案. 【详解】由题意可知题干数列是交替出现，故其通项公式可以写成或利用三角函数来写， 对于A，的第一项为，不符合题意，故A错误； 对于B，即为，对应的余弦值为，符合题意，故B正确； 对于C，的前两项依次为，不符合题意，故C错误； 对于D，的第一项为，不符合题意，故D错误； 故选：B. 知识点4：数列与函数的关系 数列就是定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数，其图象是一系列有限或无限孤立的点. 如 数列与函数的比较 定义域 图象 增减性 递增数列 在递减，在递增 最值 最小项，无最大项 最小值，无最大值 日后研究数列性质可以从函数角度出发，比如单调性，最值等. （24-25高二上·全国·课后作业）若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（    ） A．此数列不能用图象表示 B．此数列的图象仅在第一象限 C．此数列的图象为直线 D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点 【答案】D 【分析】根据数列的图象是直角坐标系里一个个散点，一一判定选项即可. 【详解】数列的通项公式为， 它的图象就是直线上满足的一系列孤立的点，所以A、C错误， 当时，，该点在第四象限， 当且时，，此时数列图象在第一象限，所以B错误. 故选：D. 知识点5：递推公式 若已知数列的第一项(或前项)，且任一项和它的前一项(或前项)间的关系可以用一公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式. 解析 (1) 举例：(初始条件)，(递推关系)； . （25-26高二上·重庆九龙坡·期中）已知数列满足，则（    ） A．11 B．23 C．35 D．47 【答案】B 【分析】根据递推公式逐项计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B 知识点6：前n项和 若为数列的前项和，即 则. 解析 (1) 若已知列的前项和，可利用公式求数列通项公式， (2)证明 若为数列的前项和，根据定义可得，， ， 故当时，； 当时，由得， 即. （25-26高三上·江苏无锡·月考）已知数列满足，则数列前2025项和为（   ） A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】由已知可得，根据分组求和即可求解. 【详解】依题意， ， 其中后1012对（）的和均为， 故这1012对的和为， 由得. 故选：D 题型一：数列的概念 例1．（25-26高二上·江苏苏州·月考）下列说法中正确的是（   ） A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B．数列的第项为 C．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列 D．数列0，2，4，6，可记为 【答案】B 【分析】根据数列的定义和概念逐项判断即可. 【详解】选项A：数列除了递增数列和递减数列，还有常数列（所有项都相等）、摆动数列（项的大小交替变化）等， 所以一个数列不是递增数列，不一定就是递减数列，A说法错误； 选项B：对于数列，它的第项为，B说法正确； 选项C：数列是按一定顺序排列的一列数，数列1，0，，，和数列，，0，1排列顺序不同， 所以这两个数列不是相同数列，C说法错误； 选项D：数列0，2，4，6，的通项公式为， 而表示的数列为2，4，6，8，，首项不同，D说法错误. 故选：B 【变式1-1】（24-25高二下·吉林四平·期中）以下三个结论中正确的个数为（    ） ①是数列；②不是数列；③数列的通项公式是唯一的. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列的概念判断①②③即可. 【详解】①正确，其是按一定次序排列的一列数，符合定义； ②错误，都是数，而且是按一定次序排列的，所以它是数列； ③错误，因为数列的通项公式不一定是唯一的. 故选：B. 【变式1-2】（24-25高二下·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．数列与是相同的 B．数列可以表示为 C．数列与是相同的数列 D．数列的第项为 【答案】D 【分析】运用数列的定义、数列及项的表示方法、由通项写出数列的项可判断各个选项. 【详解】对于A项，数列与是不同的，表示数列，而表示数列中的第项，故A项错误； 对于B项，是一个集合，故B项错误； 对于C项，两个数列中的数虽然相同，但顺序不同，不是相同的数列，故C项错误； 对于D项，，故D项正确. 故选：D. 【变式1-3】（24-25高二上·广东东莞·期中）下列叙述正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列0，1，2，3，…的一个通项公式为 C．数列0，0，0，1，…是常数列 D．数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列 【答案】A 【分析】作差即可判断A项；代入检验，即可判断B项；根据常数列以及数列的概念，即可判断C、D. 【详解】对于A项，设， 则 对恒成立， 所以，数列是递增数列.故A正确； 对于B项，当时，与第一项为0不符.故B项错误； 对于C项，数列中的项并不完全相同.故C项错误； 对于D项，根据数列的概念，数列与顺序有关. 所以，数列2，4，6，8与数列8，6，4，2不是相同的数列.故D项错误. 故选：A. 题型二：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 例2. （24-25高二·全国·课堂例题）分别写出下列数列的一个递推关系，并求出各个数列的第7项： (1)1，2，4，7，11，…； (2)，2，5，8，11，…； (3)1，，4，，16，…． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】找出数列的规律，由此求得递推关系，从而求得第项. 【详解】（1）因为：，， ，， 所以，即． 从而． （2）因为， 所以3，即． 从而． （3）因为， 所以 ．即． 从而． 【变式2-1】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）数列，，，，…的第项为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过观察数列的分母和分子的规律，即可求得数列第项的值. 【详解】首先分析数列的分母规律：给出的前项分母依次为，，，，可见第项的分母为.因此，第项的分母为. 再分析数列的分子规律：给出的前项分母依次为，，，，相邻两项的差均为，构成首项为，公差为的等差数列，其通项公式为.因此，第项的分子为. 综上所述，数列的第项为. 故选：C 【变式2-2】（2025高二上·重庆·专题练习）已知，数列，，，…，的项数为（   ） A． B． C．m D． 【答案】B 【分析】本题可先根据数列的通项公式，结合数列的最后一项，通过建立等式来求解项数. 【详解】可以发现其被开方数是首项为3，公差为2的等差数列. 根据等差数列通项公式（其中为首项，d为公差）， 这里，，则被开方数的通项公式为. 已知数列的最后一项为， 那么被开方数对应通项公式. 令， 解得. 所以数列，，，…，的项数为， 故选：B. 【变式2-3】（24-25高二·全国·课后作业）写出以下各数列的一个通项公式，并根据你写的通项公式求出各数列的第10项. (1)； (2). 【答案】(1), (2), 【分析】（1）根据所给项的分母找出规律即可求解； （2）先不考虑符号，可以看出项都为奇数，再根据项数的奇偶确定符号就可以. 【详解】（1）由 知，第一项分母为2，第二项分母，第三项分母，依次规律，第n项分母为， 所以通项公式，故. （2） 先不考虑符号，第一项1，第二项3，第三项5，第四项7，故第n项， 再考虑符号，可得. 故. 题型三：通项公式的应用 例3. （24-25高二下·河北秦皇岛·期末）已知数列的通项公式，则（    ） A．81 B．128 C．146 D．164 【答案】B 【分析】利用对勾函数的性质得，再去绝对值符号化简为，即可求值. 【详解】由在上单调递减，在上单调递增， 对于且，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 故 . 故选：B 【变式3-1】（24-25高二下·广东佛山·期中）已知数列的通项公式为，则（   ） A．34 B．36 C．38 D．40 【答案】D 【分析】根据数列的通项公式代入求解即可. 【详解】． 故选：D. 【变式3-2】（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知，则数列中相等的连续两项是（    ） A．第9项，第10项 B．第10项，第11项 C．第11项，第12项 D．第12项，第13项 【答案】B 【分析】利用二次函数的对称性求解即可. 【详解】，的对称轴为， 数列中相等的连续两项为第10项，第11项. 故选：B. 【变式3-3】（24-25高三下·河北·月考）数列的通项公式分别为，在数列中去掉两个数列的公共项后，小于25的项中质数占比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分别列举出与的项，即可得到小于25的项中质数个数，从而得到结果. 【详解】中的项依次为； 中的项依次为； 与的小于25的公共项为：4，16； 在数列中去掉与的公共项后，小于25的项有：； 其中质数有：，所以小于25的项中质数的占比为， 故选：B. 题型四：判断数列的增减性 例4. （2023·广东·模拟预测）已知数列的各项均为正数，数列是常数列，则数列（    ） A．是递增数列 B．是递减数列 C．先递增后递减 D．先递减后递增 【答案】A 【分析】根据题意，先求出的范围，再利用数列单调性定义判断. 【详解】设（k为常数），所以， 因为，所以， 令，则， 所以，所以单调递减， 所以，所以， 所以， 所以， 所以数列为递增数列． 故选：A. 【变式4-1】（24-25高二下·辽宁辽阳·月考）数列的通项公式如下，则递增数列是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】ABD选项均可举反例说明；C选项证明对任意恒成立即可. 【详解】A，可得，，，则 ，故数列不是递增数列，故A错误； B，可得，，，则 ，故数列不是递增数列，故B错误； C，，则，即对任意恒成立，故数列是递增数列，故C正确； D，，则，，则 ，故数列不是递增数列，故D错误. 故选：C 【变式4-2】（25-26高三上·福建厦门·期中）已知数列满足，则“数列是递增数列”的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将通项变形，通过作差法分析单调性，再结合充分不必要条件的定义得出结果. 【详解】将变形为. . 若数列递增，则，即. 因，故，即（此为充要条件）， 所以A选项符合，BCD选项不符合. 故选：A 【变式4-3】（25-26高三上·广东·月考）已知为无穷数列，若是递增数列，是递减数列，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据题目所给单调性，分析得出，再反证法或者举反例判断选项. 【详解】由题意可得是递增数列，是递减数列， 则， 两式相乘得， 由于，则， 则，， 所以； 若，，则，矛盾，所以，，故A正确，C错误； 若，则，时，，， 符合是递增数列，，符合是递减数列，此时； 若，同样符合题意，但； 所以B、D错误； 故选：A. 题型五：根据数列的增减性求参数 例5. （25-26高三上·河北衡水·月考）已知数列满足，若为递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得当时，；当时，递增，故只需，代入求解即可. 【详解】当时，递增，则； 当时，递增， 若为递增数列，则， 且， 即，解得； 综上，. 故选：B. 【变式5-1】（24-25高二下·四川成都·月考）已知数列的通项公式为，若是单调递增数列，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数列单调递增的性质得到恒成立，进而求出的取值范围. 【详解】因为是单调递增数列，所以对任意恒成立. 已知，则. 所以. 化简不等式 对进行化简： ， 则，移项可得. 因为对任意恒成立，即要小于的最小值. 因为，那么随着的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为，所以，解得. 故选：D. 【变式5-2】（24-25高三上·江苏无锡·月考）已知数列的通项公式是（），若数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单调性的定义即可列不等式求解. 【详解】为单调递增的数列，故， 解得， 故选：C 【变式5-3】（25-26高三上·山东·月考）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由数列单调性得恒成立，作差化简得到对任意恒成立，接着利用函数性质求出即可得解. 【详解】 由数列是递增数列可得恒成立，即， 整理可得，该式对任意恒成立， 又因为函数为上的单调递减函数， 所以，所以. 故选：C 题型六：求数列中的最大（小）项 例6. （24-25高二上·广东·期末）已知数列的通项公式为，则当取得最小值时，（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用作商法判断数列单调性，得出数列的最小值即可得解. 【详解】由，则， 令，则，由，解得， 所以当时，，当时，， 即当时，数列单调递减，当时，数列单调递增， 又，，所以，即为数列的最小值， 故当取得最小值时，. 故选：B 【变式6-1】（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项 【答案】B 【分析】由题设，结合分式型函数的性质分析数列的单调性及的区间上下界，即可得. 【详解】由，， 当时，，即， 当时，，即， 数列在 上都单调递减， 所以最小项为，即第6项. 故选：B 【变式6-2】（24-25高二上·河南驻马店·月考）已知数列的通项公式为，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】对通项公式变形，结合反比例函数单调性得到数列的单调性可解. 【详解】因为，则 ， 所以当时，有，即有， 当时，有，即有， 故数列在时单调递减；在,时单调递增， 因为，故的最小值为. 故选：B. 【变式6-3】（25-26高二上·江苏苏州·月考）数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】设数列的最大项为,由求解. 【详解】设数列的最大项为.则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：A. 题型七：根据数列递推公式写出数列的项 例7. （25-26高三上·重庆·月考）已知在数列中，，则（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知，据此求出数列的前几项，可发现该数列的周期为，再利用周期性求解即可. 【详解】由得 因为，所以，，，，…… 所以，数列是周期数列，周期为， 所以， 故选：B 【变式7-1】（24-25高二下·江西上饶·期中）数列满足，，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据数列的递推关系可求. 【详解】因为，故为奇数，故， 而为偶数，，因为偶数，故， 故选：B. 【变式7-2】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】由递推关系式可知数列是周期为3的周期数列，根据周期性可得结果. 【详解】由，，则，， 所以， 所以数列是周期为3的周期数列，则. 故选：B. 【变式7-3】（25-26高三上·辽宁·月考）已知数列满足，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把递推关系式化简得到，再计算出数列的前几项，即可得到数列是周期为6的周期数列，根据周期性计算即可. 【详解】因为，且，， 故， 所以 ， 所以数列都是以6为一个周期的周期数列. 又，则，A项错误； 因为，所以，B项错误； 因为，所以，C项错误； 因为，所以，D项正确. 故选：D 题型八：由递推公式求通项公式 例8. （2026高三·全国·专题练习）在数列中，，，求数列的通项公式. 【答案】 【分析】将已知条件中的递推公式进行变形，再利用累加法即可求解. 【详解】，， 当时， ， 当时，，与相符， 数列的通项公式为. 【变式8-1】（24-25高二下·云南·期末）在数列中，若，则666是的（    ） A．第111项 B．第222项 C．第333项 D．第666项 【答案】B 【分析】根据已知递推公式计算构造常数列，再代入计算求解. 【详解】因为，所以，所以，所以是常数列， 所以，则. 由，解得. 故选：B. 【变式8-2】（2025高二·全国·专题练习）在数列中，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将给定的递推公式变形，再借助累加法计算作答. 【详解】在数列中，由，得， 则当时， ， 因此，显然满足上式， 所以. 故选：C 【变式8-3】（2025·四川广安·模拟预测）已知数列满足，，则使得成立的最小自然数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】化简递推关系可得，证明数列为常数数列，由此求出，进而求解即可.. 【详解】由，则， 所以，则数列为常数列， 又，则，即，为递增数列， 因为，， 所以使得成立的最小自然数为8. 故选：D. 题型九：由前n项和求项 例9. （24-25高二下·广东·期末）已知数列的前项和，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据与之间的关系建立等式即可求解. 【详解】由可得：， 则，解得：. 故选：C. 【变式9-1】（25-26高二上·甘肃酒泉·月考）数列的前n项和，则（    ） A．140 B．120 C．40 D．52 【答案】D 【分析】利用与的关系即可求解. 【详解】由，得. 故选：D 【变式9-2】（24-25高二下·浙江·期末）设数列的前项和为．若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据数列递推式，利用赋值法求值即可. 【详解】当时，， 当时，. 故选：D 题型十：利用与的关系求通项公式 例10. （24-25高二下·广东·月考）记为首项为1的数列的前项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据与的关系可得，利用累乘法计算得出即可求解. 【详解】易得，故， 化简得，即， 由知，故， 累乘可得， 即，故， 当时，也符合上式，故，故. 故选：C. 【变式10-1】（24-25高二下·北京房山·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用求解，并检验. 【详解】当时，， 又，不符合上式， 则. 故选：D 【变式10-2】（2025·北京丰台·二模）已知数列的前项和为，且满足，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据题设与的递推关系式推导出，再根据求出，逐项求出即可. 【详解】由题意，，则当时，有， 两式相减可得，即. 当时，，因为，所以， 所以. 故选：B. 【变式10-3】（24-25高二下·广东汕尾·期末）已知数列的前n项和为，且满足，，． (1)分别求出数列中的，，的值； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)，，． (2) 【分析】（1）解法1：利用与的关系，得到与之间的关系，再结合求出，再逐项，，的值. 解法2：根据的意义，利用及，依次逐项求得，，，的值. （2）解法1：由（1），得，相减得到，进而分别为奇数和偶数时的的通项. 解法2：根据（1）中得到的，，，，的值，猜想的通项公式，再进行证明. 【详解】（1）（解法1）（1）当时，， 又∵，∴， 当时，∵，∴， ∵，∴， ∴，，． （解法2）：∵，，， ∴，解得， 又∵，∴，解得， 同理，解得， ，解得， 故，，． （2）（解法1）由（1）（解法一）知，，， 则，故时，有，① ∴，② 由①，②得，，即， 当n为偶数时，， 当n为奇数时，． 综上所述，数列的通项公式为（或，）． （解法2）由（1）（解法一）知，，，则， 故时，有， 当n为奇数时，由，，，…，， 由以上各式可得，，…，， 可得，故． 当n为偶数时，由，，，…，， 以上各式两两相减，可得，，…，， 可得， 又∵，∴， 综上所述，数列的通项公式为（或，）． （解法3）由（1）知，，且，，，，， 归纳上述结果，猜想． 当时，，猜想成立， 假设当时，， 那么， 即时，猜想成立． 综上所述，对任意，上述猜想都成立， 即． （解法4）当时，， 又∵，∴， 当时，∵，∴， ∵，∴，即，符合， ∴时，有． ∴，，，…，， 又由（1）知，，， 故当n为奇数时，；当n为偶数时，． 故数列的通项公式为（或，）． 1（25-26高二上·陕西榆林·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列的通项公式的形式是唯一的 C．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D．数列不存在通项公式 【答案】C 【分析】根据数列的定义判断AC；根据数列通项公式的概念举例判断BD. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，数列和数列是不同的数列，A错误； 对于B，数列的通项公式可以为，也可以为， 该数列通项公式不唯一，B错误； 对于C，由数列定义知，数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，C正确； 对于D，该数列的通项公式可以为，错误． 故选：C 2（25-26高二上·全国·单元测试）如图，下列各图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1，后一个等腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍，则第10个图形的面积为（    ）    A．1023 B．1024 C．2047 D．2048 【答案】C 【分析】根据题意，得图形1的面积，图形2的面积，图形3的面积 ，以此类推，进而得图形的面积，即可求出第10个图形的面积. 【详解】根据题意，记图形1的面积为，后续图形的面积依次为， 则图形1的面积，图形2的面积， 图形3的面积 ， 图形4的面积 ， 以此类推， 则图形的面积 则第10个图形的面积为． 故选：C. 3（24-25高二下·四川绵阳·月考）已知数列的通项公式为，则取到最小值时的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和判断的单调性，即可求解. 【详解】， 当时，，单调递减， 此时，； 当时，，单调递减， 此时，， 所以取到最小值时的值是. 故选：B. 4（24-25高二上·湖北孝感·月考）数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由累加法可得，从而可得的值. 【详解】由，可得， 利用累加法可得, 化简得，则. 故选：C. 5（24-25高二上·山东烟台·期末）记不超过x的最大整数为，如，.已知数列的通项公式，则使的正整数n的最大值为（    ） A．5 B．6 C．15 D．16 【答案】C 【分析】根据取整函数的定义，可求出的值，即可得到答案； 【详解】 ，， ， ， ， ， 当时，， 使的正整数n的最大值为. 故选：C 6（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知数列的通项，若是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，列出不等式组求解即可. 【详解】解：由已知得，即，解得. 故选：B. 7（24-25高三下·安徽铜陵·开学考试）已知数列满足，则下列说法正确的是（    ） A．所有项恒大于等于 B．若，则是单调递增数列 C．若是常数列，则 D．若，则是单调递增数列 【答案】C 【分析】根据数列递推公式计算每一选项，选项A，若，可推得；选项B，，不符合单调递增数列；选项C， 计算可得，即可判断；选项D，利用反例法判断. 【详解】对于A，因数列满足， 若，可推得，故A错误； 对于B，当时，代入，解得， 将代入，可得， 易得，，故不是递增数列，故B错误； 对于C，若是常数列，即有，则得，解得，故C正确； 对于D，由题， 因为，所以由递推关系可知，且，， 所以，.故D错误. 故选：C. 8（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，设为数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，即可表示出，再由计算即可得. 【详解】因为，所以， 当或时，不符合题意， 所以，所以， 所以， 则，所以，故. 故选：D. 9（多选）（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，，则（    ） A． B．数列的最小值为 C．数列为递减数列 D．当时，n的最大值为8 【答案】ABD 【分析】本题根据给定的递推数列逐项递推可求出，从而判断选项A，采用累加法可求出数列的通项公式，再根据二次函数的性质可判断选项B、C、D是否正确. 【详解】对于A，当时，，所以， 当时，，故，A项正确； 对于B，由，得当时， ， 将以上各式相加得， 所以， 又当时符合上式，所以， 由二次函数的性质可知不为递减数列，C项错误； 对于B，因为， 所以当或时，取得最小值，B项正确； 对于D，当时，，解得，所以当时，的最大值为8，D项正确. 故选：ABD. 10（多选）（25-26高三上·山西·月考）已知数列满足，，记数列的前项之积为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先判断数列是周期为的数列，从而可判断AB的正误，再求得，，，可判断C选项错误，D选项正确. 【详解】，所以，， 所以数列是周期为的数列. 由题意，，，所以， ，故A选项错误； 而，故，故B选项正确； 所以，又为数列的前项之积， 所以， 所以，故C选项错误； 因为数列是周期为的数列，为数列的前项之积， 所以，故D选项正确. 故选：BD 11（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的通项公式为． (1)计算的值； (2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是数列的第10项． 【分析】（1）利用给定的递推公式，代值计算即可. （2）利用方程的正整数解即可得解. 【详解】（1）数列中，，， 所以. （2）若为数列中的项，则， 即，整理得，而，解得， 所以是数列的第10项. 12（2025·山西忻州·模拟预测）已知数列的前n项和满足． (1)求的通项公式； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数列前项和与通项的关系来求解数列的通项公式，最后需要检验时的情况是否满足时的通项公式． （2）已知条件得到关于的不等式，通过构造数列，求出数列的最小值，进而确定的取值范围． 【详解】（1），则当时，， 当时，，不符合， 所以． （2）因为，，所以，． 令，则， 当时，不妨设的第n项的值最小， 只需令， 解得， 又， 所以的最小值为， 所以，即的取值范围是． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 数列的概念 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：数列的概念 定义：数列是按照一定次序排列的一列数； 数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，第一项常称为首项； 数列的表示：数列的一般形式可以写成，简记. 与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质： ①确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(与集合相同) ②可重复性：数列中的数可以重复．(与集合不同)如数列，而由组成的集合是． ③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序有关．(与集合不同)如与代表不同的数列，而集合与却是相同的． （2024高二·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列3，6，8可以表示为 D．，－3，－1，1，，5，7，9，11一定能构成数列 知识点2：数列的分类 分类标准 名称 含义 例子 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的大小 递增数列 递减数列 常数列 每项都相等的数列 摆动数列 每项的大小忽大忽小的数列 （24-25高二上·福建莆田·月考）已知数列的通项公式为，则数列为（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 知识点3：通项公式 如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 与是不同的概念，表示数列，而表示的是数列的第项； 数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值. (3)一个数列的通项公式可以有不同的形式，比如数列，…，其通项公式可以是等. （24-25高二下·湖北孝感·期中）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 知识点4：数列与函数的关系 数列就是定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数，其图象是一系列有限或无限孤立的点. 如 数列与函数的比较 定义域 图象 增减性 递增数列 在递减，在递增 最值 最小项，无最大项 最小值，无最大值 日后研究数列性质可以从函数角度出发，比如单调性，最值等. （24-25高二上·全国·课后作业）若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（    ） A．此数列不能用图象表示 B．此数列的图象仅在第一象限 C．此数列的图象为直线 D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点 知识点5：递推公式 若已知数列的第一项(或前项)，且任一项和它的前一项(或前项)间的关系可以用一公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式. (1) 举例：(初始条件)，(递推关系)； . （25-26高二上·重庆九龙坡·期中）已知数列满足，则（    ） A．11 B．23 C．35 D．47 知识点6：前n项和 若为数列的前项和，即 则. (1) 若已知列的前项和，可利用公式求数列通项公式， (2)证明 若为数列的前项和，根据定义可得，， ， 故当时，； 当时，由得， 即. （25-26高三上·江苏无锡·月考）已知数列满足，则数列前2025项和为（   ） A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 题型一：数列的概念 例1．（25-26高二上·江苏苏州·月考）下列说法中正确的是（   ） A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B．数列的第项为 C．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列 D．数列0，2，4，6，可记为 【变式1-1】（24-25高二下·吉林四平·期中）以下三个结论中正确的个数为（    ） ①是数列；②不是数列；③数列的通项公式是唯一的. A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二下·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．数列与是相同的 B．数列可以表示为 C．数列与是相同的数列 D．数列的第项为 【变式1-3】（24-25高二上·广东东莞·期中）下列叙述正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列0，1，2，3，…的一个通项公式为 C．数列0，0，0，1，…是常数列 D．数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列 题型二：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 例2. （24-25高二·全国·课堂例题）分别写出下列数列的一个递推关系，并求出各个数列的第7项： (1)1，2，4，7，11，…； (2)，2，5，8，11，…； (3)1，，4，，16，…． 【变式2-1】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）数列，，，，…的第项为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025高二上·重庆·专题练习）已知，数列，，，…，的项数为（   ） A． B． C．m D． 【变式2-3】（24-25高二·全国·课后作业）写出以下各数列的一个通项公式，并根据你写的通项公式求出各数列的第10项. (1)； (2). 题型三：通项公式的应用 例3. （24-25高二下·河北秦皇岛·期末）已知数列的通项公式，则（    ） A．81 B．128 C．146 D．164 【变式3-1】（24-25高二下·广东佛山·期中）已知数列的通项公式为，则（   ） A．34 B．36 C．38 D．40 【变式3-2】（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知，则数列中相等的连续两项是（    ） A．第9项，第10项 B．第10项，第11项 C．第11项，第12项 D．第12项，第13项 【变式3-3】（24-25高三下·河北·月考）数列的通项公式分别为，在数列中去掉两个数列的公共项后，小于25的项中质数占比为（    ） A． B． C． D． 题型四：判断数列的增减性 例4. （2023·广东·模拟预测）已知数列的各项均为正数，数列是常数列，则数列（    ） A．是递增数列 B．是递减数列 C．先递增后递减 D．先递减后递增 【变式4-1】（24-25高二下·辽宁辽阳·月考）数列的通项公式如下，则递增数列是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高三上·福建厦门·期中）已知数列满足，则“数列是递增数列”的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高三上·广东·月考）已知为无穷数列，若是递增数列，是递减数列，则（    ） A．， B．， C．， D．， 题型五：根据数列的增减性求参数 例5. （25-26高三上·河北衡水·月考）已知数列满足，若为递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二下·四川成都·月考）已知数列的通项公式为，若是单调递增数列，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高三上·江苏无锡·月考）已知数列的通项公式是（），若数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高三上·山东·月考）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六：求数列中的最大（小）项 例6. （24-25高二上·广东·期末）已知数列的通项公式为，则当取得最小值时，（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-1】（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项 【变式6-2】（24-25高二上·河南驻马店·月考）已知数列的通项公式为，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．1 【变式6-3】（25-26高二上·江苏苏州·月考）数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 题型七：根据数列递推公式写出数列的项 例7. （25-26高三上·重庆·月考）已知在数列中，，则（） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二下·江西上饶·期中）数列满足，，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【变式7-2】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【变式7-3】（25-26高三上·辽宁·月考）已知数列满足，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型八：由递推公式求通项公式 例8. （2026高三·全国·专题练习）在数列中，，，求数列的通项公式. 【变式8-1】（24-25高二下·云南·期末）在数列中，若，则666是的（    ） A．第111项 B．第222项 C．第333项 D．第666项 【变式8-2】（2025高二·全国·专题练习）在数列中，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·四川广安·模拟预测）已知数列满足，，则使得成立的最小自然数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型九：由前n项和求项 例9. （24-25高二下·广东·期末）已知数列的前项和，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高二上·甘肃酒泉·月考）数列的前n项和，则（    ） A．140 B．120 C．40 D．52 【变式9-2】（24-25高二下·浙江·期末）设数列的前项和为．若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 题型十：利用与的关系求通项公式 例10. （24-25高二下·广东·月考）记为首项为1的数列的前项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25高二下·北京房山·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2025·北京丰台·二模）已知数列的前项和为，且满足，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式10-3】（24-25高二下·广东汕尾·期末）已知数列的前n项和为，且满足，，． (1)分别求出数列中的，，的值； (2)求数列的通项公式． 1（25-26高二上·陕西榆林·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列的通项公式的形式是唯一的 C．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D．数列不存在通项公式 2（25-26高二上·全国·单元测试）如图，下列各图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1，后一个等腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍，则第10个图形的面积为（    ）    A．1023 B．1024 C．2047 D．2048 3（24-25高二下·四川绵阳·月考）已知数列的通项公式为，则取到最小值时的值是（    ） A． B． C． D． 4（24-25高二上·湖北孝感·月考）数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 5（24-25高二上·山东烟台·期末）记不超过x的最大整数为，如，.已知数列的通项公式，则使的正整数n的最大值为（    ） A．5 B．6 C．15 D．16 6（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知数列的通项，若是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7（24-25高三下·安徽铜陵·开学考试）已知数列满足，则下列说法正确的是（    ） A．所有项恒大于等于 B．若，则是单调递增数列 C．若是常数列，则 D．若，则是单调递增数列 8（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，设为数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 9（多选）（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，，则（    ） A． B．数列的最小值为 C．数列为递减数列 D．当时，n的最大值为8 10（多选）（25-26高三上·山西·月考）已知数列满足，，记数列的前项之积为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的通项公式为． (1)计算的值； (2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由． 12（2025·山西忻州·模拟预测）已知数列的前n项和满足． (1)求的通项公式； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $