4.1 第1课时 数列的概念与简单表示-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

单元学习一　数列的概念 　　[单元整体设计]　数列是一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，是研究其他函数的基本工具，在日常生活中也有着广泛的应用.本章通过对具体例子的分析，抽象出数列的概念和表示方法；通过数学运算、逻辑推理等研究两类特殊的数列——等差数列和等比数列的取值规律，建立它们的通项公式、前n项和公式，并运用它们解决一些问题.基于以上内容，本章共分四个单元整体设计：数列的概念、等差数列、等比数列、数学归纳法(选学)，学习计划16课时(含重点突破、章末综合提升).在此过程中，因为数列是一类特殊的函数，所以既要注重函数思想和方法的应用，又要进一步提升学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理和数学建模的核心素养. 本单元内容是本章的基础.通过典型的日常生活和数学中的实例，初步认识数列，形成数列的基本概念；类比函数的研究内容，学习数列的函数特性和三种表示方法——列表、图象和通项公式；最后学习数列特有的递推公式和前n项和公式，学习计划2课时. 本单元内容重点是数列的概念和通项公式，难点是数列的概念.在研究的过程中，体会运用代数运算探究数列的取值规律，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 第1课时　数列的概念与简单表示 学习目标 1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)，培养数学抽象的核心素养. 2.了解数列是一种特殊函数，培养数学抽象的核心素养. 3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，培养数学抽象的核心素养. 4.掌握数列的通项公式及其应用，发展逻辑推理与数学运算的核心素养. 任务一　数列的概念与分类 (阅读教材P2—4 ，完成探究问题1) 问题1.观察以下几列数： (1)古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2 401，16 807； (2)2024年巴黎第三十三届夏季奥林匹克运动会中国代表队获得的奖牌总数、金牌、银牌、铜牌依次为：91，40，27，24； (3)2 026，2 026，2 026，2 026，2 026； (4)小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：2，0，2，5，2，0，2，5，2，0，2，5，…； (5)－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂……依次排成一列数：－，，－，，…. 你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？ 提示：共同点：都是按照确定的顺序进行排列的.不同点：从项数上来看：(1)(2)(3)项数有限，(4)(5)项数无限；从项的变化上来看：(1)每一项在依次变大，(2)每一项在依次变小，(3)项没有发生变化，(4)项呈现周期性的变化，(5)项的大小交替变化. 学生用书⬇第2页 1.数列的概念 (1)定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列. (2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项. (3)数列的表示：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}. [微提醒]　(1)表示数列时不要漏写“{　}”，这里的小写字母a也可以换成其他小写英文字母.(2)不能将{an}视为一个集合，它只是数列的简单记法.注意数列{an}与an是不同的，{an}表示数列a1，a2，…，an，….而an表示数列{an}中的第n项. 2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的变 化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即an＋1＞an 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即an＋1＜an 常数列 各项都相等的数列，即an＋1＝an [微提醒]　 (1)摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.(2)周期数列：项呈现周期性变化. [微思考]　(1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是相同的数列吗？ (2)若数列{an}满足a1＜a2＜a3，则数列一定是递增数列吗？ 提示：(1)它们不是相同的数列. (2)不一定，因为只有部分项满足大小关系，不能确定数列的单调性. 角度1　数列概念的理解 (多选)下列说法中正确的是(　　) A.数列1，0，－1，－2与－2，－1，0，1是相同的数列 B.数列的第k项为1＋ C.数列{an}与an是相同的 D.an＝n2，数列{an}是递增数列 答案：BD 解析：对于A，两个数列中的数虽然相同，但顺序不同，不是相同的数列，故A错误；对于B，因为an＝，则ak＝＝1＋，故B正确；对于C，数列{an}与an是不同的，{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，而an表示数列{an}中的第n项，故C错误；对于D，由于an＝n2满足an ＝n2＜(n＋1)2＝an＋1，故数列{an}是递增数列，故D正确.故选BD. 角度2　数列的分类 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？ (1)1，0.84，0.842，0.843，…； (2)2，4，6，8，10，…； (3)7，7，7，7，…； (4)，，，，…； (5)10，9，8，7，6，5，4，3，2，1； (6)0，－1，2，－3，4，－5，…. 解：(5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是常数列；(6)是摆动数列. 数列的概念及其分类的判断 1.判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数. 2.判断所给的数列是递增、递减、摆动还是常数列，要从项的变化趋势来分析，而有穷还是无穷数列，则看项的个数有限还是无限. 学生用书⬇第3页 对点练1.(多选)下列说法正确的是(　　) A.数列4，7，3，4的首项是4 B.若数列的首项为3，则从第2项起，各项均不等于3 C.数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列 D.a，－3，－1，1，b，5，7一定能构成数列 答案：AC 解析：根据数列的相关概念知，第1项即为首项，故A正确；同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误；由无穷数列的概念可知，C正确；由数列的概念知，当a，b都代表数时可构成数列，当a，b中至少有一个不代表数时不能构成数列，故D错误.故选AC. 对点练2.下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？ (1)2 022，2 023，2 024，2 025，2 026； (2)0，，，…，，…； (3)1，，，…，，…； (4)－，，－，，…； (5)1，0，－1，…，sin，…； (6)9，9，9，9，9，9. 解：(1)(6)是有穷数列；(2)(3)(4)(5)是无穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(6)是常数列. 任务二　数列的表示方法 (阅读教材P3—4 ，完成探究问题2、3) 问题2.在问题1中，如果我们以序号n为自变量，以项an为函数值，可以将数列看成函数吗？ 提示：从问题1知，两者具有一一对应的关系，可以看作特殊的函数. 问题3.回顾函数的表示方法：列表、图象、解析法，并思考问题1中的数列可以用上面的方法表示吗？ 提示：可以，但是对于解析式来说，数列不同于连续函数的表示，需要重新作定义. 1. 数列的通项公式 (1)如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式，表达形式为：an＝f(n)(n∈N*). (2)通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项. [微思考]　所有数列都能写出它的通项公式吗？当数列确定后，它的通项公式唯一吗？你能否各举出1个例子？ 提示：并不是所有数列都能写出通项公式，如π的近似值数列：3，3.1，3.14，3.141，3.141 5，3.141 59，….当数列确定后，它的通项公式也不一定唯一.如数列1，－1，1，－1，1，－1，…，可以用an＝也可以用an＝(－1)n＋1，an＝sin ，an＝cos[(n－1)π]等表示. 2.数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如表： 定义域 正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值构成的集合 表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法 学生用书⬇第4页 角度1　由前几项写出数列的一个通项公式 (链教材P5例2)根据下列数列的前几项，写出数列的一个通项公式： (1)，2，，8，，…； (2)－1，3，－5，7，－9，…； (3)9，99，999，9 999，…； (4)，，，，…； (5)，－，，－，…； (6)4，0，4，0，4，0，…. 解：(1)数列的项有的是分数，有的是整数，可先将各项都统一成分数再观察，，，，，，…，所以它的一个通项公式为an＝. (2)数列各项的绝对值分别为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，其通项公式为2n－1；考虑(－1)n具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n(2n－1). (3)各项加1后，分别变为10，100，1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1. (4)数列中每一项均由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，其通项公式为2n－1；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，其通项公式为(n＋1)2；分子的后一部分是减去一个从1开始的自然数，其通项公式为n，综合得原数列的一个通项公式为an＝＝. (5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n＋1·. (6)由于该数列中，奇数项全部都是4，偶数项全部都是0，因此可用分段函数的形式表示通项公式，即an＝又因为数列可改写为2＋2，2－2，2＋2，2－2，2＋2，2－2，…，因此其通项公式又可表示为an＝2＋2×(－1)n＋1. 根据数列的前几项求通项公式的常用方法、解题思路及关注点 1.常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见数列)等方法. 2.解题策略：(1)统一项的结构，做到结构相同，容易观察，如都化成分数、根式等； (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式. 3.关注点：(1)对于正负交替型数列，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1处理符号； (2)对于循环型数列，如数列9，99，999，9 999，…的通项公式是an＝10n－1； (3)对于组合型数列，要分组构造，观察数列的各个部分与对应序号之间的关系； (4)对于周期型数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等； (5)熟记一些特殊数列的通项公式，如an＝，an＝n，an＝2n－1，an＝2n，an＝n2等，熟悉它们的变化规律，并灵活运用. 对点练3.根据下列数列的前几项，写出数列的一个通项公式： (1)－3，0，3，6，9，…； (2)3，5，9，17，33，…； (3)0，2，0，2，0，2，…； (4)，，－，，－，，…. 解：(1)a1＝－3＋0×3，a2＝－3＋1×3， a3＝－3＋2×3，a4＝－3＋3×3，…. 所以an＝－3＋(n－1)×3＝3n－6(n∈N*). (2)a1＝2＋1，a2＝4＋1＝22＋1，a3＝8＋1＝23＋1，a4＝16＋1＝24＋1，…，所以an＝2n＋1(n∈N*). (3)a1＝1－1，a2＝1＋1，a3＝1－1，a4＝1＋1，…. 所以an＝1＋(－1)n(n∈N*). (4)a1＝－，a2＝，a3＝－，a4＝，…，所以an＝(－1)n(n∈N*). 学生用书⬇第5页 角度2　求解或判断数列中的项 (链教材P5例3)已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1)写出此数列的第4项和第6项； (2)－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？ 解：(1)a4＝3×42－28×4＝－64， a6＝3×62－28×6＝－60. (2)令3n2－28n＝－49，解得n＝7，或n＝(舍去)， 所以－49是该数列的第7项； 令3n2－28n＝68，解得n＝－2，或n＝， 均不合题意，所以68不是该数列的项. [变式探究](变结论)若本例中的条件不变. (1)20是不是该数列的一项？若是，是哪一项？ (2)数列{an}中有多少个负数项？当n为何值时，an有最小值？并求出这个最小值. 解：(1)令3n2－28n＝20， 解得n＝10或n＝－(舍去)， 所以20是该数列的第10项. (2)由an＝3n2－28n，得an＜0，所以0＜n＜，又因为n∈N*，解得n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，即数列{an}有9个负数项. 根据题意，an＝3n2－28n＝3(n－)2－，故当 n＝5时，an有最小值，其最小值为－65. 求项或判断某数是否为数列项的方法 代入法 如果已知数列的通项公式，那么只要将相应序号代入通项公式，就可以求出数列的相应项 解方程法 判断某数值是否为该数列的项，先假设它是数列中的项，然后列出方程.若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列中的项 对点练4.(2025·江西部分学校高二联考)已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)求a4； (2)是不是该数列中的项？为什么？ (3)在区间(，)内是否有该数列中的项？若有，求出有几项；若没有，请说明理由. 解：(1)因为an＝＝＝， 所以a4＝＝. (2)由(1)知an＝，令＝，解得n＝. 因为n∈N*，所以＝无正整数解，即不是该数列中的项. (3)由(1)知an＝， 令＜＜， 则＜n＜. 因为n∈N*，所以n＝3. 所以在区间(，)内有该数列中的项，且只有一项. 学生用书⬇第6页 任务三　数列的函数特性及其应用 角度1　数列单调性的判断及其应用 (一题多解)已知数列的通项公式为an＝3n2－n(n∈N*)，判断该数列的单调性. 解：法一(作差法)：因为an＝3n2－n，所以an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)， 所以an＋1－an＝3(n＋1)2－(n＋1)－(3n2－n)＝6n＋2＞0， 即an＋1＞an，所以数列是递增数列. 法二(作商法)：因为an＝3n2－n，所以an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)， 所以＝＝·＞1， 又易知an＞0，即an＋1＞an，所以数列是递增数列. 法三(函数法)： 令y＝3x2－x，则函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为直线x＝， 所以函数y＝3x2－x在(，＋∞)上单调递增，所以数列是递增数列. [变式探究]　(变条件)若本例中的条件“an＝3n2－n(n∈N*)”变为“an＝n2＋tn(n∈N*)”，若数列{an}为递增数列，则实数t的取值范围是　　　　　. 答案：(－3，＋∞) 解析：由数列{an}为递增数列，得an＋1＞an，所以an＋1－an＞0，所以(n＋1)2＋t(n＋1)－(n2＋tn)＞0，所以2n＋1＋t＞0恒成立，即t＞－(2n＋1)恒成立，而n∈N*，所以t＞－3，故实数t的取值范围是(－3，＋∞). 角度2　数列的最大项、最小项问题 (一题多解)已知数列{an}的通项公式是an＝n()n，n∈N*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，请说明理由. 解：法一：－an＝(n＋1)－n＝， 当n＜4时，－an＞0，即＞an； 当n＝4时，－an＝0，即＝an； 当n＞4时，－an＜0，即＜an. 则a1＜a2＜a3＜a4＝a5＞a6＞a7＞…， 所以数列{an}有最大项，为第4项或第5项，且a4＝a5＝＝. 法二：假设数列{an}有最大项，且最大项为第n项，根据题意，令 即解得4≤n≤5. 又n∈N*，则n＝4或n＝5.故数列{an}有最大项，为第4项或第5项，且a4＝a5＝＝. 1.判断数列单调性的方法 作差法 对于数列中的任意相邻的两项an＋1，an，通过作差an＋1－an，判断其与0的大小关系，即可判断数列的单调性 作商法 数列的各项非零且同号，对其数列中的任意相邻的两项an＋1，an，通过作商，判断其与1的大小关系，即可判断数列的单调性 函数法 当an表达式与所学过的函数解析式相似时，可用函数的图象或复合函数判断单调性的方法来判断数列{an}的单调性 2.求数列最大(小)项的方法 (1)函数的单调性法：令an＝f(n)，通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项； (2)不等式组法：先假设有最大(小)项.不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值. [注意]　数列是特殊的函数，因此在解决数列问题时，无论是判断数列单调性，还是求数列最大(小)项问题，都应有意识地将函数的概念、图象、性质等迁移过来，充分体现了函数思想和转化与化归思想. 学生用书⬇第7页 对点练5.已知数列{an}的通项公式为an＝，则数列{an}为(　　) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.无法确定 答案：B 解析：因为an＝，n∈N*，所以－an＝－＝＜0，所以{an}是递减数列.故选B. 对点练6.(一题多解)已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)()n，n∈N*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由. 解：法一：－an＝(n＋2)()n＋1－(n＋1)()n＝， 当n＜9时，－an＞0，即＞an； 当n＝9时，－an＝0，即＝an； 当n＞9时，－an＜0，即＜an. 则a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…， 故数列{an}有最大项，为第9项或第10项，且a9＝a10＝10×()9. 法二：假设数列{an}有最大项，且最大项为第n项，根据题意，令 即 解得9≤n≤10. 又n∈N*，则n＝9，或n＝10.故数列{an}有最大项，为第9项或第10项，且a9＝a10＝10×()9. 任务 再现 1.数列的概念与分类. 2.数列的表示方法. 3.数列与函数的关系 方法 提炼 1.根据数列的前几项求通项公式：观察比较归纳法.2.求项或判断某数是否为数列项：代入法、解方程法. 3.判断数列单调性：作差法、作商法、函数法.4.数列的最大项与最小项：函数的单调性法、不等式组法 易错 警示 1.并非所有的数列都能写出它的通项公式. 并非所有的通项公式都唯一，如－1，1，－1，1，…，既可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝ 2.归纳法求数列的通项公式时归纳不够全面，不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系 1.下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　) A.1，，，，…，，… B.sin ，sin ，sin ，…，sin ，… C.－1，－，－，－，…，－，… D.1，，，…， 答案：C 解析：对于A，是递减数列；对于B，是周期数列；对于C，既是无穷数列又是递增数列；对于D，是有穷数列.故选C. 2.数列－1，，－，，…的通项公式可能是an＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为数列－1，，－，，…可以写成：－＝，＝，－＝，＝，…，所以其通项公式为an＝.故选D. 3.(多选)下列说法正确的是(　　) A.数列通项公式的表达式不是唯一的 B.数列1，2，4，7，…的一个通项公式是an＝＋1 C.数列0，1，0，1，…没有通项公式 D.已知数列{an}的通项公式为an＝，其中a，b，c均为正数，则此数列为递增数列 答案：ABD 解析：对于A，例如，数列1，－1，1，－1，…的通项公式可以是an＝(－1)n＋1，也可以是an＝cos[(n－1)·π]，故A正确；对于B，若通项公式是an＝＋1，则a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝7，故B正确；对于C，数列0，1，0，1，…的通项公式可以为an＝故C错误；对于D，由an＋1－an＝－＝＞0，得an＋1＞an，则此数列为递增数列，故D正确.故选ABD. 4.(多空题)已知数列{an}的通项公式为an＝4n－1，则它的第7项是　　　　，a2 026－a2 025＝　　　　，999是数列的第　　　　项. 答案：27　4　250 解析：a7＝4×7－1＝27，a2 026－a2 025＝(4×2 026－1)－(4×2 025－1)＝4.令4n－1＝999，解得n＝250. 学科网（北京）股份有限公司 $