9.2坐标方法的简单应用寒假预习讲义2025-2026学年人教版七年级下学期数学（知识点归纳+题型解读+综合测试）

9.2坐标方法的简单应用寒假预习讲义（人教版） ✅ 课前预习●目标 ◆ 能够建立平面直角坐标系，熟练运用坐标系中的点表示实际地理位置； ◆ 掌握表示地理位置的多种方法，并能灵活、准确地进行应用； ◆ 理解并掌握点在坐标系中的平移变化规律，能根据平移规律求出平移前后的点坐标，也能由坐标变化判断点的平移方向与距离； ◆ 能由关键点的平移，确定整个图形的平移，理解图形平移与点平移之间的内在联系。 ☘ 重点知识●梳理归纳 【知识点一、利用坐标表示地理位置】 1. 建立平面直角坐标系表示地理位置的步骤： （1）建立坐标系：选择合适的参照点作为原点，明确x轴与y轴的正方向； （2）确定单位长度：结合具体问题，设定合理的单位长度（贴合实际场景，方便表示距离）； （3）描点标注：在平面直角坐标系内画出需表示的各个点，准确写出每个点的坐标及对应名称。 【知识点二、表示地理位置的其他方法】 （1）经纬度法：直接用经度与纬度结合的方式，精准表示地理位置（如某地东经112°、北纬35°）； （2）方向角+距离法：以一个固定点为参照点，通过明确目标点相对于参照点的方向角，加上两点间的距离，即可确定目标点的位置. 【知识点三、坐标系中点的平移】 1.点的平移： 左右平移：点在平面直角坐标系中进行左右平移时，纵坐标不变，横坐标进行加减．向右平移时加，向左平移时减．即左右平移m各单位后得到． 巧记：左右平移，横加减，纵不变，右加左减． 上下平移：点在平面直角坐标系中进行上下平移时，横坐标不变，纵坐标进行加减．向上平移时加，向下平移时减．即上下平移m各单位后得到 ． 巧记：上下平移，纵加减，横不变，上加下减． 【知识点四、坐标系中图形的平移】 1.图形的平移为整体平移，所有点遵循同一平移规律，步骤如下： （1）找出图形的关键点（如顶点、端点等）； （2）按照点的平移规律，将所有关键点进行对应平移，得到平移后的关键点坐标； （3）将平移后的关键点，按照原图形的连接顺序依次连接，即可得到平移后的完整图形。 【知识点五、从图形上的点的坐标变化判断平移】 1.从图形上的点的坐标变化判断如何平移： 一般地，在平面直角坐标系中，如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，那么相应的新图形可以看做把原图形向左（或向右）平移了a个单位长度得到； 如果把一个图形各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，那么相应的新图形可以看做把原图形向上（或向下）平移了a个单位长度得到． 💦 核心考点●精讲精练 题型1实际问题中用坐标表示位置 【例1】．如图是小明绘制的他所在社区的平面示意图，若学校所在位置的坐标是，儿童乐园所在的位置是，则位于的建筑是（    ） A．地铁站 B．医院 C．小明家 D．超市 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标位置的确定，根据已知点的坐标确定出坐标原点的位置是解答本题的关键． 根据题意，建立平面直角坐标系，然后找到的位置，由此得到答案． 【详解】解：学校所在位置的坐标是，儿童乐园所在的位置是， 建立平面直角坐标系如图所示： 可知，位于的建筑是地铁站． 故选：A． 【变式1】．中国象棋文化历史久远．某校开展了以“纵横之间有智慧攻防转换有乐趣”为主题的中国象棋文化节，如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使“马”位于点，“兵”位于点，那么“帅”在同一坐标系下的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标的实际应用，正确建立坐标系是解题的关键． 根据“马”和“兵”的坐标建立正确的坐标系即可得到答案． 【详解】解：由题意可建立如下平面直角坐标系， ∴“帅”的坐标是． 故答案为：． 【变式2】．如图是某校的平面示意图，图中每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)请以实验楼为原点，在图上建立平面直角坐标系； (2)分别写出图上宿舍楼、大门、教学楼、食堂的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了坐标与图形，根据题意建立平面直角坐标系是解题的关键． （1）以实验楼为原点，东西方向为x轴，南北方向为y轴，建立平面直角坐标系即可； （2）根据建立的平面直角坐标系，再写出坐标即可． 【详解】（1）解：以实验楼为原点，东西方向为x轴，南北方向为y轴，建立平面直角坐标系，如图 （2）由图，可得 宿舍楼、大门、教学楼、食堂的坐标分别为． 题型2用方向角和距离确定物体的位置 【例2】．下列叙述中，能确定位置的是（   ） A．学校的西北方向 B．北偏西的方向 C．距离学校 D．校门向西走，再向南走 【答案】D 【分析】题目主要考查确定具体位置的方法，确定平面内的位置需要明确的参照点、方向和距离，依据此条件判断各选项． 【详解】解：∵平面内确定一个点的位置，必须有参照点、明确的方向与距离， A选项给出方向和参照点，无距离，不能确定位置； B选项仅给出方向，无参照点和距离，不能确定位置； C选项给出距离和参照点，无方向，不能确定位置； D选项有参照点“校门”，且有清晰的方向和距离，能确定位置， 故选：D． 【变式1】．如图，轮船在灯塔的东偏 、 方向上，距离灯塔 千米． 【答案】 北 【分析】本题考查了方位角和比例尺，掌握相关知识点是解题关键．根据图形方位确定方位角，再根据比例尺求出距离，即可求解． 【详解】解：如图，轮船在灯塔的东偏北方向， 距离为， 故答案为：北，，． 【变式2】．根据下面的描述，在平面图上标出各场所的位置． (1)小明家在小丽家西偏南（    ）方向（    ）米处． (2)小红家在小明家正东方向处，请你在图中标出小红家的位置． (3)请说一说小明从家出发去书店所走的路线．小明从小丽家，再往（    ）方向走（    ）米到书店． 【答案】(1)45，300 (2)图见解析 (3)西偏北，450 【分析】本题考查用方向角和距离表示位置，熟练掌握利用方向角和距离表示位置的方法，是解题的关键： （1）根据图象进行作答即可； （2）根据方向角和距离标出小红家即可； （3）根据图象进行作答即可． 【详解】（1）解：由图可知，小明家在小丽家西偏南方向300米处； （2）由题意，画图如下： （3） 由图可知：小明从小丽家，再往西偏北方向，走450米到书店． 题型3根据方位描述确定物体的位置 【例3】．下列表述，能确定准确位置的是（    ） A．文化路中段 B．黄河中下游 C．南偏东 D．北纬，东经 【答案】D 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解确定坐标的两个数是解题的关键． 根据坐标的定义，确定位置需要两个数据对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：选项A：文化路中段仅表示路段范围，无具体点； 选项B黄河中下游为广阔区域，不精确； 选项C南偏东缺少参考点和距离，无法确定唯一位置； 选项D北纬，东经为经纬度坐标，能唯一对应地球上一个点； 故选：D． 【变式1】．乐清雁荡山以山水奇秀闻名天下，号称“东南第一山”．如图，雁荡山在乐成镇的 ． 【答案】北偏东27°的处 【分析】由图象可得：乐成镇位于坐标原点，雁荡山在乐成镇的北偏东27度的方向，距离原点处，即可求解． 【详解】解：由图象可得：乐成镇位于坐标原点，雁荡山在乐成镇的北偏东27度的方向，距离原点处， 即雁荡山在乐成镇的北偏东27度的处． 故答案为：北偏东27度的处． 【点睛】本题主要考查了方向角和方位，熟练掌握方向角和方位的确定是解题的关键． 【变式2】．下图是豆豆从家到学校的路线．请按要求填答． (1)豆豆从家出发，先向正东行驶米到游乐园，再向（    ）方向行驶（    ）米到图书馆，最后向（    ）方向行驶（    ）米到学校． (2)学校8：00开始上课，一天早上，豆豆7点30从家出发骑车到游乐园时，发现没带数学课本，于是他赶回家取了课本后继续上学．如果豆豆每分钟骑行米，他会迟到吗？ 【答案】(1)东偏北（北偏东）、、西偏北（北偏西）、 (2)豆豆不会迟到 【分析】本题考查了依据地图上的方向辨别方法，依据方向和距离判定物体位置的方法，读懂地图是解答关键． （1）根据地图上的方向辨别方法“上北下南，左西右东”来求解； （2）先计算出豆豆用的时间，再计算出豆豆往返后再到学校的路程，然后用豆豆每分钟骑行米所走的路程进行比较求解． 【详解】（1）解：根据地图描述豆豆从家到学校的路线：先向正东行驶米到游乐园，再向东偏北（北偏东）方向行驶米到图书馆，最后向西偏北（北偏西）方向行驶 米到学校 故答案为：东偏北（北偏东）、、西偏北（北偏西）、． （2）解：根据题意得 （分钟） 豆豆的路程： ． 答：豆豆不会迟到. 题型4求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【例4】．在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，掌握点的平移规律是解题的关键． 根据点的平移规律：向下平移时，纵坐标减少，横坐标不变计算新坐标． 【详解】解：∵点向下平移3个单位， ∴横坐标不变，纵坐标减少3， ∴新点坐标为： 故选：D． 【变式1】．在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位，再向左平移个单位，得到的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据点的平移规则：向左平移减坐标，向下平移减坐标，依次计算点平移后的坐标． 【详解】解：点向下平移个单位，坐标减少，得到点， 再向左平移个单位，坐标减少，得到点． 故答案为：． 【变式2】．在平面直角坐标系中点A的坐标为． (1)若点A在x轴上，求点A的坐标； (2)若点A在过点B且与x轴平行的直线上，求点A的坐标； (3)若将点A沿与x轴平行的直线上运动，平移2个单位后得到的点A恰好落在y轴上，求x的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了点的坐标特征以及点的平移等知识． （1）根据点A在x轴上，则点A的纵坐标为0，进而可求出x的值以及点A的坐标． （2）点A在过点B且与x轴平行的直线上，则点A的纵坐标为，进而可求出x的值以及点A的坐标． （3）根据平移得特点，分两种情况当点A在x轴负半轴时以及当点A在x轴正半轴时，分别解出x即可． 【详解】（1）解：∵若点A在x轴上， ∴， 解得：， ∴， 故． （2）∵点A在过点B且与x轴平行的直线上， ∴， 解得：， ∴， 故． （3）当点A在x轴负半轴时，， 解得：． 当点A在x轴正半轴时，， 解得：． 故x的值为：或． 题型5由平移方式确定点的坐标 【例5】．在平面直角坐标系中，点先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形的平移，依据“横坐标左移减、右移加；纵坐标上移加、下移减”的平移规律即可求解． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点平移时，横坐标左移减、右移加，纵坐标上移加、下移减． ∴点先向下平移2个单位长度，纵坐标变为，此时点的坐标为． 再向左平移1个单位长度，横坐标变为． ∴平移后点的坐标为， 故选：C． 【变式1】．如图，将向下平移（）个单位长度得到．若点的坐标为，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移，熟练掌握点平移的规律是解题的关键； 根据题干所给的平移步骤结合平移的计算方法进行计算． 【详解】解：由题可知向下平移n个单位长度 则点横坐标不变， 纵坐标向下移动n个单位长度： ∴点的坐标为 故答案为： ． 【变式2】．综合与探究 定义：若点的坐标满足时，我们称点为“横和点”． 【初步运用】 （1）判断点是否为“横和点”，并说明理由； 【问题情景】 在平面直角坐标系中，将平移得到，点，，的对应点分别是点，，，已知点，点，点，点是“横和点”，点的横坐标为，且． 【深入理解】 （2）若点是“横和点”，且三角形的面积为，求的值； 【能力提升】 （3）若点的坐标是，点恰好落在轴上，判断点是否为“横和点”，并说明理由． 【答案】（）点是“横和点”，见解析；（），（）点是“横和点”，见解析． 【分析】本题考查了图形与坐标，新定义问题三角形的面积公式，平移的性质，理解新定义是解题的关键． （）根据新定义“横和点”可得出答案； （）由点是“横和点”，则，即，又点是“横和点”，所以，即，因为三角形平移得到三角形，点与点的纵坐标相同，点与点的横坐标相同，则三角形向右平移个单位长度，向上平移或向下平移个单位长度得到三角形，所以，即，然后代入得，整理得，再求出的值即可； （）由点落在轴上，则，根据平移可得，即，所以，又点的坐标是，则点的坐标为，即，通过，再通过新定义“横和点”即可可得出答案． 【详解】解：（）点是“横和点”，理由如下： ∵， ∴点是“横和点”； （）∵点是“横和点”， ∴，即， 又∵点是“横和点”， ∴，即， ∵将三角形平移得到三角形，点与点的纵坐标相同，点与点的横坐标相同， ∴三角形向右平移个单位长度，向上平移或向下平移个单位长度得到三角形， ∴，即， ∵三角形的面积为， ∴， ∴， ∴， 解得（负值舍去）； （）点是“横和点”，理由如下： ∵点落在轴上， ∴， ∵将三角形平移得到三角形， ∴，即， ∴， ∵点的坐标是， ∴点的坐标为，即， ∵， ∴点是“横和点”． 题型6已知点平移前后的坐标、判断平移方式 【例6】．在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到对应点，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加计算即可． 【详解】解：∵点向右平移m个单位长度，向上平移n个单位长度得到点， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 【变式1】．将点先向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度，可得到点． 【答案】 左 5 上 4 【分析】本题考查了坐标系中点的平移规律，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．掌握以上知识点是解题的关键． 根据点平移时坐标的变化规律，横坐标左减右加，纵坐标下减上加，计算从点到点的总变化，再分解为两次平移即可． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， 横坐标从变为，减少了，纵坐标从变为，增加了， 因此点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，可得到点， 故答案为左，，上，． 【变式2】．已知点，将线段平移至线段（点与对应，点与对应），且点坐标为． (1)求点的坐标． (2)若点在轴上，且的面积是面积的2倍，求点坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，熟知“上加下减，左减右加”的平移规律是解题的关键． （1）根据点B和点D的坐标可得平移方式，根据平移方式和点A的坐标可得点C的坐标； （2）设点的坐标为，则，根据三角形的面积公式可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，点坐标为， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵点A的坐标为， ∴点C的坐标为，即； （2）解：设点的坐标为， ∴， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 题型7已知图形的平移、求点的坐标 【例7】．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，将向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据平移求点的坐标，根据点的平移规则，向右平移横坐标增加，向上平移纵坐标增加，按顺序计算即可． 【详解】解：点向右平移3个单位，则坐标为，再向上平移2个单位，则坐标为， 故， 故选A． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C、D在x轴负半轴，将正方形平移得到正方形（点A、B、C、D的对应点分别是点、、、），若，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与平移，根据点，，确定平移规则，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：∵，， ∴正方形先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到正方形， ∵， ∴，即：点的坐标为； 故答案为：． 【变式2】．在平面直角坐标系中，经过平移得到，位置如图所示． (1)直接写出点，的坐标． (2)若点是内部一点，则平移后对应点的坐标为．求和的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，确定平移规则是解题的关键： （1）根据点的位置，写出点的坐标即可； （2）根据对应点的坐标确定平移规则，进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：，； （2）∵平移后的对应点为， ∴先向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到， ∵点是内部一点，平移后对应点的坐标为， ∴， 解得． 题型8已知平移后的坐标求原坐标 【例8】．如果把点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，若平移后的坐标是，则可确定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了点坐标的平移变换．上加下减，右加左减，上下平移是纵坐标变化，左右平移是横坐标变化，据此求解即可． 【详解】解：把点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点的坐标为，即为， 故选：C． 【变式1】．在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后所得点的坐标是，则m，n的值分别是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键． 根据坐标平移的规律，向左平移使横坐标减少，向上平移使纵坐标增加；从平移后的点坐标逆推原坐标，可列方程求解 【详解】解：∵点 先向左平移个单位长度，横坐标减少，变为 ；再向上平移个单位长度，纵坐标增加，变为， ∴平移后点坐标为， ∵与给定点相等， ， 解得 ， 故答案为：，． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设顶点A的坐标为：，根据平移规律可知：，再利用即可求出x，y的值． 【详解】解：设顶点A的坐标为：． 由题意可知： ∵是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的， ∴， ∵， ∴，，解得：，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查平移，解题的关键是掌握平移规律“左减右加，上加下减”． 题型9坐标系中的平移 【例9】．如图，每个小方格的边长为1．已知点，，那么原点的位置在（    ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【答案】D 【分析】本题考查了构建坐标系，熟练掌握根据点的坐标找出原点是解题的关键； 根据平面直角坐标系中坐标的定义，通过已知点的坐标来确定原点的位置． 【详解】解：∵ ∴E点向右移动2个单位长度，再向下移动三个单位长度即为原点； 同理可得，A点向右移动4个单位长度，再向下移动6个单位长度即为原点； 经过这两种平移步骤后，最后均落在D点； ∴原点为D点 故选： D． 【变式1】．已知点的坐标为，且，若轴且，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据平方根和绝对值的非负性求出点A的坐标，再根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等，结合距离公式求解点B的坐标． 本题考查非负数的性质和坐标与图形性质． 【详解】解：由， 根据非负数的性质，得且， 解得， 所以点A的坐标为． 由于轴， 所以点B的横坐标与点A相同，且为3． 又， 当点B在点A的上方时，根据平移思想，得其纵坐标为，此时点B的坐标为； 当点B在点A的下方时，根据平移思想，得其纵坐标为，此时点B的坐标为． 故点B的坐标为或． 故答案为：或． 【变式2】．已知点，解答下列各题： (1)点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； (3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2023 【分析】本题考查了平面直角坐标系内的点的坐标特征，掌握横轴上的点纵坐标为0，纵轴上的点横坐标为0，平行于y轴的直线上的点横坐标相等，点到两个坐标轴的距离相等，如果横纵坐标符号相同，则横纵坐标相同，若符号相反，则横纵坐标互为相反数等知识是解决本题的关键． （1）根据x轴上的点纵坐标为0求解即可． （2）根据平行于y轴的直线上的点横坐标都相等进行求解． （3）根据第二象限的横坐标为负，纵坐标为正，并且由它到两坐标轴的距离相等，可利用横纵坐标互为相反数求解． 【详解】（1）解：∵点P在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （2）解：∵点Q的坐标为，直线轴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意，， ∴， ∴， ∴的值为2023． 题型10坐标系中的动点问题（不含函数） 【例10】．如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，再将动点分成在左侧和右侧时，两种情况分别讨论即可求解． 【详解】解：∵，的面积为， ∴，即， 解得：， 当点在左侧时，， 当点在右侧时，， ∵动点在轴上， ∴， 综上可得点坐标为或， 故选：C． 【变式1】．如图，在直角坐标平面中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的运动规律，动点第2020次运动到点 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的运动规律， 先确定点的横，纵坐标的变化规律，每4次一个循环，再求出第2020次是循环中最后一次，即可得出答案. 【详解】解：由图可知，动点P的纵坐标依次按照，每四个一循环，横坐标运动次数减1， ∵， ∴动点P第2020次运动后的纵坐标为0，横坐标为， ∴动点[P的运动到点. 故答案为：. 【变式2】．在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点的坐标为 ①点中，与点为“等距点”的是________； ②若点的坐标为，且两点为“等距点”，求出点的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在轴上有异于原点的一点，连接．若的面积为，的面积，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】本题考查了根据新定义求点的坐标，绝对值方程． （1）①根据“等距点”的定义作答即可；②根据“等距点”的定义列出方程即的取值范围，再计算即可； （2）根据“等距点”的定义求出，或，，根据面积法列方程计算即可． 【详解】（1）①解：点到x，y轴的距离中的最大值为4， 到x，y轴的距离中的最大值为，不是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 故答案为：； ②解：∵A，M两点为“等距点” ∴或且， 解得：，，且 ∴或， ∴点的坐标为或； （2）解：∵点与点两点为“等距点”， ∴或， 解得：， ∴，或，（舍去）或，或，（舍去）， ∴，或，， 当，时，如图， ∴，即的值为； 当，时， 同理，得，即的值为； 综上，的值为． 题型11中点坐标 【例11】．已知线段的中点为坐标原点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角坐标系的中点坐标，利用中点坐标公式直接计算点的坐标． 【详解】解：设点， 点是线段的中点，点， ，， 解得，， 点的坐标为， 故选：A． 【变式1】．如图，平面组合图形中，点、，则该平面组合图形的重心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查平面组合图形的重心的坐标，A，B是两个图形的重心，平面组合图形的重心的坐标是两重心坐标的平均值，据此求解即可． 【详解】解：∵点A，B是两个图形的重心，且、， ∴平面组合图形的重心的坐标为，即． 故答案为：． 【变式2】．在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段的中点坐标为．例如：点，则线段的中点坐标为． 请利用以上结论解决问题： (1)若点，，则以点和点为端点的线段的中点坐标为_____． (2)已知点，若为线段的中点，求点的坐标． (3)已知点和点的坐标分别为，线段与轴平行，且．若线段的中点与线段的中点在第一象限重合，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了中点坐标公式，理解中点坐标公式是解题的关键． （1）根据中点坐标公式代入数据计算即可； （2）设点的坐标为，根据中点坐标公式分别建立关于的方程求解即可； （3）先求出点H的坐标，再求出线段的中点坐标为，进而得到线段的中点坐标为，同理（2）即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴以点和点为端点的线段的中点坐标为，即， 故答案为：； （2）解：设点的坐标为， 由题意得， 解得， 点的坐标为； （3）解：点，线段与轴平行，且的中点在第一象限， ∴点在第一象限，且纵坐标为， ∵， 点的坐标为， 线段的中点坐标为， 线段的中点坐标为， 点的坐标为， ∴点的坐标为． 题型12点坐标规律探索 【例12】．在平面直角坐标系中，直线经过点，点，，，，，，…均为格点，且按如图所示的规律排列在直线上．若点的纵坐标为-2025，则的值为（    ） A．4048 B．4049 C．4050 D．4051 【答案】A 【分析】本题考查了 用坐标描述平面内点的位置，熟练掌握用坐标描述点的位置是解题的关键； 观察坐标系，得出点，，，，，，…的坐标，根据规律得出奇数点和偶数点的坐标规律即可得出纵坐标为的点． 【详解】解：由题图可知，点，，，，，，，… 根据规律可知，奇数格点的坐标为，（为自然数）， 偶数格点的坐标为（为自然数）． 点的纵坐标为-2025， 为偶数格点， ， 解得， ． 故选：A． 【变式1】．已知点，，若，则 ． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了坐标与图形、绝对值方程等知识点，判断点A和点B在同一条竖直线上并列出绝对值方程是解题的关键． 点A和点B的横坐标相同，因此两点位于同一条竖直线上，距离为纵坐标差的绝对值，据此列出绝对值方程求解即可． 【详解】解：∵点，， ∴点A和点B在同一条竖直线上， ∵， ∴，即，即或． 故答案为：3或． 【变式2】．已知点，请分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的纵坐标比横坐标大； (3)点在过点且与轴平行的直线上． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征以及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据轴上点的纵坐标为0列方程求出的值，再求解即可； （2）根据纵坐标与横坐标的关系列方程求出的值，再求解即可； （3）根据平行于轴的直线上的点的横坐标相同列方程求出的值，再求解即可． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得， ， 所以，点的坐标为； （2）解：点的纵坐标比横坐标大3， ， 解得， ， ， 点的坐标为； （3）解：点在过点且与轴平行的直线上， ， 解得， ， 点的坐标为． ✍ 强化巩固●综合测试 一、单选题 1．下列描述，能确定位置的是（    ） A．望水路 B．教室第二排 C．北偏东 D．东经，北纬 【答案】D 【分析】本题考查了确定位置的条件，位置的确定至少需要两数据，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A． 望水路是一条路，不能确定具体点，不符合题意； B． 教室第二排是一排座位，不能确定具体座位，不符合题意； C． 北偏东是方向，缺少起点和距离，不能确定位置，不符合题意； D． 东经和北纬是地理坐标，能唯一确定地球上一个点，符合题意． 故选：D． 2．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，正好落在轴上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律及y轴上点的坐标特征． 先根据平移规律得到平移后点的坐标，再结合y轴上点的横坐标为0列方程求解即可． 【详解】解：∵点向右平移3个单位长度， ∴平移后点的坐标为， ∵平移后的点落在轴上，且轴上的点横坐标为0， ∴， 解得：． 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，将点向上平移5个单位长度，再向左平移7个单位长度，所得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点的平移，掌握平移规则是解题的关键. 根据点的平移规则，向上平移纵坐标增加，向左平移横坐标减少，由此即可解答. 【详解】解：∵点向上平移个单位长度， ∴纵坐标变为； ∵向左平移个单位， ∴横坐标变为. ∴所得点的坐标为， 故选：B． 4．如图，货船与港口相距30海里，货船的位置可描述为（    ） A．在港口的南偏东方向，相距30海里处 B．在港口的南偏东方向，相距30海里处 C．在港口的北偏西方向，相距30海里处 D．在港口的北偏西方向，相距30海里处 【答案】B 【分析】本题主要考查的是方向角，根据方向角的概念即可解答． 【详解】解：根据图形可知：在港口的南偏东方向，相距30海里处． 故选：B． 5．如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至，点，的坐标分别为，，则的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平移的性质解题即可． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，，点，的坐标分别为，， ∴线段向左平移了个单位，向上平移了个单位， ∴点，的坐标分别为，， ∴． 故选：B． 6．在平面直角坐标系中，点先向下平移4个单位得到点Q，再将点Q向右平移3个单位得到点R．若点R的坐标为，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查已知平移后的坐标求原坐标． 根据点平移的规律，用，表示点的坐标，可得关于，的方程，从而可得，的值，即可得点的坐标． 【详解】解：由平移过程可得， ∵点R的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为． 故选：B． 7．在平面直角坐标系中，用表示一只蚂蚁的位置．若这只蚂蚁先水平向右爬行3个单位长度，然后又竖直向下爬行2个单位长度，则此时这只蚂蚁的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标系中点的平移，掌握点的平移规律是解题关键． 坐标系中点的平移，水平移动改变坐标，垂直移动改变坐标；向右移动增加，向下移动减少． 【详解】解：∵蚂蚁从点出发，先水平向右爬行个单位， ∴坐标增加，得； ∵然后又竖直向下爬行个单位， ∴坐标减少，得； ∴此时蚂蚁的位置是. 故选：D． 8．如图，是一个的正方形网格，每个小正方形的边长都为1个单位长度，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），建立如图的平面直角坐标系．如果m为任意常数，那么随m的变化，动点会经过的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，结合点P的坐标，得出点P在直线上，画出直线的图象，据此进行判断即可． 【详解】解：由题知， 因为点P坐标为， 所以点P在直线上． 如图所示， 显然随着m的变化，点P会经过点A． 故选：A． 9．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点，的位置如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．中点的坐标为 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、中点坐标，解题关键是熟练掌握数轴相关知识点． 结合用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、中点坐标的知识点对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：依题得：， ，选项结论正确，不符合题意； ， ，选项结论错误，符合题意； ，选项结论正确，不符合题意； 点表示的数为，点表示的数为， 中点的坐标为，选项结论正确，不符合题意． 故选：． 10．如图，光点从处发出，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边界时反弹，反弹时反射角等于入射角（遵循光的反射原理）．当光点第次碰到长方形的边界时，光点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标规律，读懂题意，按照规则画出图形，得出规律是解决问题的关键． 根据题中规则，作出图形，得到规律：光点每经过六次就重新回到，由，结合规律求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 光点从处发出，第一次碰壁在、第二次碰壁在、第三次碰壁在、第四次碰壁在、第五次碰壁在、第六次碰壁回到，则光点每经过六次就重新回到， ， 当光点第次碰到长方形的边界时，在第四次碰壁的位置，则光点的坐标为， 故选：B． 二、填空题 11．“凌波仙子生尘袜，水上轻盈步微月．”宋朝诗人黄庭坚以水中仙女借喻水仙花．如图，将水仙花图置于正方形网格中，点均在格点上．若点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实际问题中用坐标表示位置，解决本题的关键是找到原点O． 根据点的坐标判断出原点O的位置，由此可求解点的坐标． 【详解】解：∵点， ∴原点O的位置如图， 则点的坐标为． 故答案为： ． 12．以下是小莹和小亮关于家、学校、图书馆位置的对话： 小莹：学校在我家的北偏东方向，与我家的距离为米；图书馆在我家的正北方向． 小亮：学校在图书馆的正东方向；我家在你家和学校连线的中点处． 请根据以上信息，用方向和距离表示图书馆相对于小亮家的位置为 ． 【答案】北偏西方向，距小亮家500米 【分析】本题主要考查方位角表示地理位置，根据对话建立坐标系，以小莹家为原点，北为y轴正方向，东为x轴正方向，通过坐标计算和小亮家位置，确定图书馆相对于小亮家的方向和距离． 【详解】解：如图所示，一个单位长度表示米， ∴设小莹家为点，学校为点A，图书馆为点B，小亮家为点C，， ∵学校在图书馆的正东方向， ∴轴，即， ∵小亮家在小莹家和学校连线的中点处，即点为的中点， ∴， ∴（米），， ∵小亮家所在方向的正北方与平面直角坐标系的y轴平行， ∴点B在点C的北偏西方向，距小亮家500米处， ∴图书馆相对于小亮家的位置为北偏西方向，距小亮家500米处， 故答案为：北偏西方向，距小亮家500米． 13．如图，A、B、C三点分别代表邮局、医院学校中的某一处，邮局和医院分别在学校的北偏西方向，邮局又在医院的北偏东方向，那么图中的点A应该是 ，点B应该是 ． 【答案】 邮局 医院 【分析】结合图和已知条件可直接判断出A、B、C三点． 【详解】解：由题意知：邮局和医院分别在学校的北偏西方向，邮局又在医院的北偏东方向， ∴ 可推断出A点是邮局，B点是医院，C点是学校． 故答案为：邮局；医院 【点睛】本题考查了方位的概念以及在生活中的应用．熟练记忆各个方位是解答本题的关键． 14．将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移规律． 根据平移变换的规则，向右平移使横坐标增加，向下平移使纵坐标减少作答即可． 【详解】解：将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点，则点的坐标为即． 故答案为：． 15．在平面直角坐标系中，点，点，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查图形的平移，掌握图形的平移与点的坐标变化规律，是解题的关键． 先通过点，点确定平移方式，再由平移方式确定点的对应点的坐标． 【详解】解：∵点，点，平移线段，使点落在点处， ∴可得，向左平移4个单位，向上平移1个单位， ∴点向左平移4个单位，向上平移1个单位得到， 故答案为：． 16．点经过一次平移得到点，则点向 平移了 个单位长度． 【答案】 左 5 【分析】本题考查了坐标的平移，熟练掌握坐标平移的变化规律是解题的关键． 比较点P和点的坐标，发现纵坐标相同，横坐标变化，从而确定平移方向为水平方向，通过计算横坐标差得出平移距离． 【详解】解：点P与点的纵坐标均为2，表明平移沿x轴方向进行; 横坐标从2变为，变化量为， 即向左平移5个单位长度． 故答案为：向左；5． 17．在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是．把向右平移4个单位长度得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据平移的性质，向右平移时，点的横坐标增加，纵坐标不变． 本题考查了坐标的平移，熟练掌握坐标平移变换的规律是解题的关键． 【详解】解：点A向右平移4个单位长度，横坐标增加4，纵坐标不变， 点的横坐标为，纵坐标为3， 因此点的坐标为． 故答案为：． 18．已知点，点A在坐标轴上，且三角形的面积等于4，则满足条件的点A的坐标为 ． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了坐标与图形、三角形的面积等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．分点A在x轴、y轴上两种情况，分别画出图形并根据面积公式列方程求解即可． 【详解】解：当点在y轴上， 设其坐标为，则， ∵三角形的面积等于4， ∴， 解得或4， ∴点A的坐标为或； 当点在x轴上， 设其坐标为，则， ∵三角形的面积等于4， ∴， 解得或2， ∴点A的坐标为或． 综上，满足条件的点A的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 19．若点与点B关于点对称，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查中心对称点的坐标、中点坐标，熟练掌握中点坐标的运算方法是解题的关键． 点A与点B关于点C对称，则点C是线段的中点，利用中点坐标公式求解． 【详解】解：设点B的坐标为， 则， 解得， 因此，点B的坐标是， 故答案为：． 20．如图，在一个单位为1的方格纸上，，是斜边在轴上，斜边长分别为的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题是对点的坐标变化规律的考查，根据2025是奇数，求出点的下标是奇数时的变化规律是解题的关键． 根据题意得出，然后确定出第2025个点的坐标即可． 【详解】解：，， 观察点的坐标变化发现：在轴正半轴上的点横坐标每次增加2，在轴负半轴上的点横坐标每次减少2， 即， ∵， 故在轴正半轴上， ， ∴， 故答案为：． 三、解答题 21．已知点，解答下列各题． (1)若点的坐标为，直线轴，求点的坐标． (2)若将点向上平移3个单位恰好落在轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，点的平移，掌握点的坐标与位置的关系是解题的关键． （1）根据“直线轴”得出横坐标相等，列方程求解； （2）先求解平移后的，再根据题意列方程求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，，直线轴， ∴， 解得：， ； （2）解：∵将点向上平移3个单位恰好落在轴上， ∴且， 解得：， ∴平移后． ∴原来的点， 22．台州轨道交通实现了从无到有，畅通了城市发展脉络，逐步融入台州市民生活．下图是台州轨道交通线网图（部分）示意图，图中每个小正方形边长均为1个单位长度．若泽国站的坐标为，城南站的坐标为，请按要求解答下列问题： (1)在图中建立合适的平面直角坐标系； (2)温岭第一人民医院站的坐标为_______，万昌路的坐标为________； (3)若泽国站在万昌路站的北偏西方向上，则万昌路站在泽国站的什么方向上？ 【答案】(1)见详解 (2)， (3)南偏东 【分析】该题考查了平面直角坐标系、方位角，解题的关键是正确建立合适的平面直角坐标系． （1）泽国站的坐标为，城南站的坐标为，建立坐标系即可； （2）根据（1）中坐标系描点即可； （3）由泽国站在万昌路站的北偏西方向上，结合题干图片求解即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示： （2）解：温岭第一人民医院站的坐标为，万昌路的坐标为， 故答案为：，． （3）解：∵泽国站在万昌路站的北偏西方向上， ∴万昌路站在泽国站的南偏东方向上． 23．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，．    (1)点的坐标为________，点的坐标为________； (2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度．若两点同时出发，则几秒后轴？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化，平移的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）利用平移的性质求解即可； （2）设秒后轴，根据轴，得到点与点的纵坐标相同，据此构建方程求解即可． 【详解】（1）解：，． ∵线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，，， ∴，． （2）解：设秒后轴， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相同， 则有， 解得， 时，轴． 24．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为1． (1)点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)在图中描出点； (3)在（2）的条件下，为轴上方的一点，且，，则点的坐标为_____． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标确定、平行线段的坐标特征，核心是理解坐标与位置的对应关系，以及平行且相等的线段对应的平移规律． （1）根据平面直角坐标系的定义，直接读取点的横、纵坐标即可； （2）根据坐标，找到的竖直线与的水平线的交点，描出该点即可； （3）由且，可知线段是线段平移得到的，先确定的平移方式，再将点按相同方式平移，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，点的横坐标为，纵坐标为，故点A的坐标为；点B的横坐标为1，纵坐标为0，故点B的坐标为； （2）解：在平面直角坐标系中，找到横坐标为1的竖直网格线与纵坐标为3的水平网格线的交点，描出该点即为点，如图所示： （3）解：∵，，为轴上方的一点， ∴线段可以看作线段经过平移得到， ∵点到点，是向左平移个单位，向下平移个单位， ∴点D的横坐标为，纵坐标是. 即点D的坐标为． 故答案为：． 25．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形，其中点，，分别为点A，B，C的对应点. (1)请在所给坐标系中画出三角形，并直接写出点的坐标：______； (2)若边上一点P经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点P的坐标：P______； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)见详解， (2) (3)7 【分析】本题考查了作图−平移，点的平移，网格三角形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用点平移的坐标规律写出点，，的坐标，然后描点即可； （2）把点向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点P，从而确定P点坐标； （3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算三角形的面积． 【详解】（1）解：如图，为所作， ∵， ∴将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度后， ∴； （2）解：由题意得点向左平移5个单位，向下平移1个单位得到点P， ∴点； （3）解：． 26．开心休博园坐落于长江世业洲生态岛，周末小明和小丽相约到休博园游玩，游玩结束后，他们绘制了开心休博园部分平面示意图，其中碰碰车的坐标为，大摆锤的坐标为． (1)请你根据上述信息，在图中画出平面直角坐标系； (2)写出图中旋转木马的坐标________； (3)若在休博园内新建一个游客中心，该中心到旋转木马、碰碰车和大摆锤三个游乐场所的距离相等，请你在图中画出游客中心的位置，标记为点E． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）表示碰碰车的点向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，就是原点位置，可以画出平面直角坐标系； （2）观察表示旋转木马的点的位置，可得其坐标； （2）根据线段垂直平分线的性质，作出的垂直平分线，其交点E就是游客中心的位置． 【详解】（1）解：∵表示碰碰车的点的坐标为， ∴表示碰碰车的点向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，就得到原点， 画出平面直角坐标系，如图： （2）解：由图看出，表示旋转木马的点的坐标是 （3）解：如图，点E即为游客中心位置， 理由：如下图， ∵， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴点E到点A、B、C的距离相等． 【点睛】本题考查了网格作图，熟练掌握坐标平移，全等三角形的判定和性质，三角形的外心性质，是解题的关键 27．在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的“美好点”是． (1)①点的“美好点”坐标是__________； ②若点的“美好点”为，则点的坐标是多少？ (2)若点的“美好点”位于轴上，求的值． 【答案】(1)① ② (2) 【分析】此题考查了点的坐标的知识，熟练掌握“美好点”的定义是关键． （1）①设点的“美好点”为，根据定义进行解答即可； ②设点P的坐标是，点P的“美好点”为，根据定义进行解答即可； （2）设点P的“美好点”为，根据定义和点的“美好点”位于x轴上进行解答即可． 【详解】（1）解：①设点的“美好点”为， ∴点的“美好点”坐标是； 故答案为： 点的“美好点”的坐标是． ②设点的坐标是 根据“美好点”的定义可得 解得： 点的坐标是 （2）解：设点的“美好点”为， 根据“美好点”的定义可得，， 即 又在轴上 ． 28．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，，，已知，，点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒． (1)在运动过程中，当点到的距离为2个单位长度时，求点的运动时间； (2)在点的运动过程中，用含的代数式表示点的坐标． 【答案】(1)t为或 (2)或或 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，掌握图形与坐标性质等知识是解题的关键． （1）由题意得，当点到的距离为2个单位长度时，运动路程为或，由此即可解决问题； （2）分三种情形：①当点P在上时，②当点P在上时；③当点P在上时，分别表示即可． 【详解】（1）解：， ， 当点到的距离为2个单位长度时，运动路程为或， 或， 为或； （2）解：①当点P在上时，； ②当点P在上时，， ∵轴， ∴轴， ∴点P横坐标都为6， ∴； ③当点P在上时，， ∵轴， ∴轴， ∴点P纵坐标都为， ∴； 综上，点的坐标为或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2坐标方法的简单应用寒假预习讲义（人教版） ✅ 课前预习●目标 ◆ 能够建立平面直角坐标系，熟练运用坐标系中的点表示实际地理位置； ◆ 掌握表示地理位置的多种方法，并能灵活、准确地进行应用； ◆ 理解并掌握点在坐标系中的平移变化规律，能根据平移规律求出平移前后的点坐标，也能由坐标变化判断点的平移方向与距离； ◆ 能由关键点的平移，确定整个图形的平移，理解图形平移与点平移之间的内在联系。 ☘ 重点知识●梳理归纳 【知识点一、利用坐标表示地理位置】 1. 建立平面直角坐标系表示地理位置的步骤： （1）建立坐标系：选择合适的参照点作为原点，明确x轴与y轴的正方向； （2）确定单位长度：结合具体问题，设定合理的单位长度（贴合实际场景，方便表示距离）； （3）描点标注：在平面直角坐标系内画出需表示的各个点，准确写出每个点的坐标及对应名称。 【知识点二、表示地理位置的其他方法】 （1）经纬度法：直接用经度与纬度结合的方式，精准表示地理位置（如某地东经112°、北纬35°）； （2）方向角+距离法：以一个固定点为参照点，通过明确目标点相对于参照点的方向角，加上两点间的距离，即可确定目标点的位置. 【知识点三、坐标系中点的平移】 1.点的平移： 左右平移：点在平面直角坐标系中进行左右平移时，纵坐标不变，横坐标进行加减．向右平移时加，向左平移时减．即左右平移m各单位后得到． 巧记：左右平移，横加减，纵不变，右加左减． 上下平移：点在平面直角坐标系中进行上下平移时，横坐标不变，纵坐标进行加减．向上平移时加，向下平移时减．即上下平移m各单位后得到 ． 巧记：上下平移，纵加减，横不变，上加下减． 【知识点四、坐标系中图形的平移】 1.图形的平移为整体平移，所有点遵循同一平移规律，步骤如下： （1）找出图形的关键点（如顶点、端点等）； （2）按照点的平移规律，将所有关键点进行对应平移，得到平移后的关键点坐标； （3）将平移后的关键点，按照原图形的连接顺序依次连接，即可得到平移后的完整图形。 【知识点五、从图形上的点的坐标变化判断平移】 1.从图形上的点的坐标变化判断如何平移： 一般地，在平面直角坐标系中，如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，那么相应的新图形可以看做把原图形向左（或向右）平移了a个单位长度得到； 如果把一个图形各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，那么相应的新图形可以看做把原图形向上（或向下）平移了a个单位长度得到． 💦 核心考点●精讲精练 题型1实际问题中用坐标表示位置 【例1】．如图是小明绘制的他所在社区的平面示意图，若学校所在位置的坐标是，儿童乐园所在的位置是，则位于的建筑是（    ） A．地铁站 B．医院 C．小明家 D．超市 【变式1】．中国象棋文化历史久远．某校开展了以“纵横之间有智慧攻防转换有乐趣”为主题的中国象棋文化节，如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使“马”位于点，“兵”位于点，那么“帅”在同一坐标系下的坐标是 ． 【变式2】．如图是某校的平面示意图，图中每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)请以实验楼为原点，在图上建立平面直角坐标系； (2)分别写出图上宿舍楼、大门、教学楼、食堂的坐标． 题型2用方向角和距离确定物体的位置 【例2】．下列叙述中，能确定位置的是（   ） A．学校的西北方向 B．北偏西的方向 C．距离学校 D．校门向西走，再向南走 【变式1】．如图，轮船在灯塔的东偏 、 方向上，距离灯塔 千米． 【变式2】．根据下面的描述，在平面图上标出各场所的位置． (1)小明家在小丽家西偏南（    ）方向（    ）米处． (2)小红家在小明家正东方向处，请你在图中标出小红家的位置． (3)请说一说小明从家出发去书店所走的路线．小明从小丽家，再往（    ）方向走（    ）米到书店． 题型3根据方位描述确定物体的位置 【例3】．下列表述，能确定准确位置的是（    ） A．文化路中段 B．黄河中下游 C．南偏东 D．北纬，东经 【变式1】．乐清雁荡山以山水奇秀闻名天下，号称“东南第一山”．如图，雁荡山在乐成镇的 ． 【变式2】．下图是豆豆从家到学校的路线．请按要求填答． (1)豆豆从家出发，先向正东行驶米到游乐园，再向（    ）方向行驶（    ）米到图书馆，最后向（    ）方向行驶（    ）米到学校． (2)学校8：00开始上课，一天早上，豆豆7点30从家出发骑车到游乐园时，发现没带数学课本，于是他赶回家取了课本后继续上学．如果豆豆每分钟骑行米，他会迟到吗？ 题型4求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【例4】．在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位，再向左平移个单位，得到的对应点的坐标是 ． 【变式2】．在平面直角坐标系中点A的坐标为． (1)若点A在x轴上，求点A的坐标； (2)若点A在过点B且与x轴平行的直线上，求点A的坐标； (3)若将点A沿与x轴平行的直线上运动，平移2个单位后得到的点A恰好落在y轴上，求x的值． 题型5由平移方式确定点的坐标 【例5】．在平面直角坐标系中，点先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，将向下平移（）个单位长度得到．若点的坐标为，则点的对应点的坐标为 ． 【变式2】．综合与探究 定义：若点的坐标满足时，我们称点为“横和点”． 【初步运用】 （1）判断点是否为“横和点”，并说明理由； 【问题情景】 在平面直角坐标系中，将平移得到，点，，的对应点分别是点，，，已知点，点，点，点是“横和点”，点的横坐标为，且． 【深入理解】 （2）若点是“横和点”，且三角形的面积为，求的值； 【能力提升】 （3）若点的坐标是，点恰好落在轴上，判断点是否为“横和点”，并说明理由． 题型6已知点平移前后的坐标、判断平移方式 【例6】．在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到对应点，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式1】．将点先向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度，可得到点． 【变式2】．已知点，将线段平移至线段（点与对应，点与对应），且点坐标为． (1)求点的坐标． (2)若点在轴上，且的面积是面积的2倍，求点坐标． 题型7已知图形的平移、求点的坐标 【例7】．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，将向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C、D在x轴负半轴，将正方形平移得到正方形（点A、B、C、D的对应点分别是点、、、），若，，，则点的坐标为 ． 【变式2】．在平面直角坐标系中，经过平移得到，位置如图所示． (1)直接写出点，的坐标． (2)若点是内部一点，则平移后对应点的坐标为．求和的值． 题型8已知平移后的坐标求原坐标 【例8】．如果把点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，若平移后的坐标是，则可确定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后所得点的坐标是，则m，n的值分别是 ． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为 ． 题型9坐标系中的平移 【例9】．如图，每个小方格的边长为1．已知点，，那么原点的位置在（    ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【变式1】．已知点的坐标为，且，若轴且，则点的坐标为 ． 【变式2】．已知点，解答下列各题： (1)点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； (3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 题型10坐标系中的动点问题（不含函数） 【例10】．如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【变式1】．如图，在直角坐标平面中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的运动规律，动点第2020次运动到点 ． 【变式2】．在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点的坐标为 ①点中，与点为“等距点”的是________； ②若点的坐标为，且两点为“等距点”，求出点的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在轴上有异于原点的一点，连接．若的面积为，的面积，求的值． 题型11中点坐标 【例11】．已知线段的中点为坐标原点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，平面组合图形中，点、，则该平面组合图形的重心的坐标为 ． 【变式2】．在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段的中点坐标为．例如：点，则线段的中点坐标为． 请利用以上结论解决问题： (1)若点，，则以点和点为端点的线段的中点坐标为_____． (2)已知点，若为线段的中点，求点的坐标． (3)已知点和点的坐标分别为，线段与轴平行，且．若线段的中点与线段的中点在第一象限重合，直接写出点的坐标． 题型12点坐标规律探索 【例12】．在平面直角坐标系中，直线经过点，点，，，，，，…均为格点，且按如图所示的规律排列在直线上．若点的纵坐标为-2025，则的值为（    ） A．4048 B．4049 C．4050 D．4051 【变式1】．已知点，，若，则 ． 【变式2】．已知点，请分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的纵坐标比横坐标大； (3)点在过点且与轴平行的直线上． ✍ 强化巩固●综合测试 一、单选题 1．下列描述，能确定位置的是（    ） A．望水路 B．教室第二排 C．北偏东 D．东经，北纬 2．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，正好落在轴上，则（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，将点向上平移5个单位长度，再向左平移7个单位长度，所得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．如图，货船与港口相距30海里，货船的位置可描述为（    ） A．在港口的南偏东方向，相距30海里处 B．在港口的南偏东方向，相距30海里处 C．在港口的北偏西方向，相距30海里处 D．在港口的北偏西方向，相距30海里处 5．如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至，点，的坐标分别为，，则的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 6．在平面直角坐标系中，点先向下平移4个单位得到点Q，再将点Q向右平移3个单位得到点R．若点R的坐标为，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，用表示一只蚂蚁的位置．若这只蚂蚁先水平向右爬行3个单位长度，然后又竖直向下爬行2个单位长度，则此时这只蚂蚁的位置是（    ） A． B． C． D． 8．如图，是一个的正方形网格，每个小正方形的边长都为1个单位长度，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），建立如图的平面直角坐标系．如果m为任意常数，那么随m的变化，动点会经过的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 9．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点，的位置如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．中点的坐标为 10．如图，光点从处发出，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边界时反弹，反弹时反射角等于入射角（遵循光的反射原理）．当光点第次碰到长方形的边界时，光点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．“凌波仙子生尘袜，水上轻盈步微月．”宋朝诗人黄庭坚以水中仙女借喻水仙花．如图，将水仙花图置于正方形网格中，点均在格点上．若点，则点的坐标为 ． 12．以下是小莹和小亮关于家、学校、图书馆位置的对话： 小莹：学校在我家的北偏东方向，与我家的距离为米；图书馆在我家的正北方向． 小亮：学校在图书馆的正东方向；我家在你家和学校连线的中点处． 请根据以上信息，用方向和距离表示图书馆相对于小亮家的位置为 ． 13．如图，A、B、C三点分别代表邮局、医院学校中的某一处，邮局和医院分别在学校的北偏西方向，邮局又在医院的北偏东方向，那么图中的点A应该是 ，点B应该是 ． 14．将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点，则点的坐标为 ． 15．在平面直角坐标系中，点，点，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为 ． 16．点经过一次平移得到点，则点向 平移了 个单位长度． 17．在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是．把向右平移4个单位长度得到，则点的坐标为 ． 18．已知点，点A在坐标轴上，且三角形的面积等于4，则满足条件的点A的坐标为 ． 19．若点与点B关于点对称，则点B的坐标是 ． 20．如图，在一个单位为1的方格纸上，，是斜边在轴上，斜边长分别为的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为 ． 三、解答题 21．已知点，解答下列各题． (1)若点的坐标为，直线轴，求点的坐标． (2)若将点向上平移3个单位恰好落在轴上，求点的坐标． 22．台州轨道交通实现了从无到有，畅通了城市发展脉络，逐步融入台州市民生活．下图是台州轨道交通线网图（部分）示意图，图中每个小正方形边长均为1个单位长度．若泽国站的坐标为，城南站的坐标为，请按要求解答下列问题： (1)在图中建立合适的平面直角坐标系； (2)温岭第一人民医院站的坐标为_______，万昌路的坐标为________； (3)若泽国站在万昌路站的北偏西方向上，则万昌路站在泽国站的什么方向上？ 23．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，．    (1)点的坐标为________，点的坐标为________； (2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度．若两点同时出发，则几秒后轴？ 24．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为1． (1)点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)在图中描出点； (3)在（2）的条件下，为轴上方的一点，且，，则点的坐标为_____． 25．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形，其中点，，分别为点A，B，C的对应点. (1)请在所给坐标系中画出三角形，并直接写出点的坐标：______； (2)若边上一点P经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点P的坐标：P______； (3)求三角形的面积． 26．开心休博园坐落于长江世业洲生态岛，周末小明和小丽相约到休博园游玩，游玩结束后，他们绘制了开心休博园部分平面示意图，其中碰碰车的坐标为，大摆锤的坐标为． (1)请你根据上述信息，在图中画出平面直角坐标系； (2)写出图中旋转木马的坐标________； (3)若在休博园内新建一个游客中心，该中心到旋转木马、碰碰车和大摆锤三个游乐场所的距离相等，请你在图中画出游客中心的位置，标记为点E． 27．在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的“美好点”是． (1)①点的“美好点”坐标是__________； ②若点的“美好点”为，则点的坐标是多少？ (2)若点的“美好点”位于轴上，求的值． 28．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，，，已知，，点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒． (1)在运动过程中，当点到的距离为2个单位长度时，求点的运动时间； (2)在点的运动过程中，用含的代数式表示点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $