专题02整式的乘法（知识梳理+题型精析+寒假预习讲义）2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题02整式的乘法 【题型01 计算单项式乘单项式】.......................................2 【题型02 计算单项式乘多项式及求值】.................................4 【题型03 单项式乘多项式的应用】.....................................5 【题型04 计算多项式乘多项式】.......................................7 【题型05 多项式乘多项式与图形面积】.................................9 【题型06 (x+p)(x+q)型多项式乘法】..................................12 【题型07 利用单项式乘法求字母或代数式的值】........................14 【题型08 利用单项式乘多项式求字母的值】............................15 【题型09 已知多项式乘积不含某项求字母的值】........................17 【题型10 多项式乘法中的规律性问题】................................20 【题型11 解答题6题】..............................................22 知识梳理 知识点01:同底数幂的乘法 公式：aman=am+n（m,n 都是正整数） 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 推广：amanap=am+n+p 知识点02:幂的乘方 公式：(am)n=amn（m,n 都是正整数） 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 知识点03:积的乘方 公式：(ab)n=anbn（n 为正整数） 法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 推广：(abc)n=anbncn 知识点04:单项式 × 单项式 步骤： 1 系数相乘； 2 同底数幂相乘； 3 只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 结果仍是单项式。 知识点05:单项式 × 多项式 公式：m(a+b+c)=ma+mb+mc 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 注意：不漏项、不丢符号。 知识点06:多项式 × 多项式 公式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 结果要合并同类项。 知识点07:常见易错点 1.指数运算只适用于同底数幂相乘，底数不同不能直接加指数。 2.幂的乘方是指数相乘，不是相加。 3.积的乘方要给每一个因式都乘方。 4.多项式相乘要逐项相乘，不重不漏，最后合并同类项。 【题型1.计算单项式乘单项式】 【典例】计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．根据单项式乘以单项式法则计算即可得． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式的乘法运算，需先计算系数相乘，再计算同底数幂相乘． 【详解】解： ， 故选：C． 【跟踪专练2】形如的式子叫作二阶行列式，它的运算法则为．例如．按照这种运算规定，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握相关知识是解题的关键．根据二阶行列式的运算法则求解即可； 【详解】解：根据题意可得： ， 故答案为：． 【跟踪专练3】在代数式中，与的值各变为原来的，则该代数式的值减少为原来的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是单项式乘单项式，列出与的值各减少原来的后的代数式是解题的关键． 和各减少到原来的，代入代数式计算新值即可. 【详解】解：在代数式中，与的值各减少原来的， ∴设 ，， ∴新值 ， ∴新代数式的值是原代数式值的. 故选：D． 【题型2.计算单项式乘多项式及求值】 【典例】计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【跟踪专练1】若，则代数式的值为（    ） A．16 B． C．20 D． 【答案】D 【分析】先将代数式化简，再利用已知条件代入求值. 【详解】∵ , 又∵ , ∴ , ∴ 原式 . 【点睛】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 【跟踪专练2】若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，单项式乘多项式．根据题意，列出式子，再将变形为，整体代入求出结果． 【详解】解：由题意得 ． ∵， ∴， ∴原式． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知，，…，都是正数，设，，那么M与N的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，整式的加减，熟练掌握整式的乘法运算法则是解题的关键．设，用分别表示出，，再利用作差法比较大小即可． 【详解】解：设， 则， ， 所以， 因为，都是正数， 所以， 所以， 故选：C． 【题型3.单项式乘多项式的应用】 【典例】一个长方形的长和宽分别是（其中），则这个长方形的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法，根据长方形的面积等于长乘以宽列式计算即可． 【详解】解：∵长方形面积长宽 ， ∴这个长方形的面积是． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一条宽为的小路（阴影部分），这条小路的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的应用，根据长方形的面积公式列式计算即可，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由图可得，这条小路的面积是， 故选：． 【跟踪专练2】如图，将两个正方形A和B按下列方式摆放，图1的阴影面积为m，图2的阴影面积为n，则图3的阴影面积为 ．（用含有m和n的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的应用，设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图1和图2的阴影面积，可推出，则可推出，图3的阴影面积，据此求解即可． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， ∵图1的阴影面积为m，图2的阴影面积为n， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即 ∴图3的阴影面积， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，三个边长分别为，，的正方形并排放置，记阴影部分的面积为，则下列关于的说法正确的是（   ） A．的值与的取值无关 B．的值与的取值无关 C．的值与的取值无关 D．的值与，，的取值均有关 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算，割补法求阴影部分的面积，三角形的面积等．先将图形补充为一个大长方形，根据阴影部分的面积大长方形的面积空白部分的三个三角形的面积，列出代数式，结合整式的混合运算化简，即可求解． 【详解】解：如图，将图形补充为一个大长方形， 则 ， 即的值与的取值无关． 故选：A． 【题型4.计算多项式乘多项式】 【典例】若，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，利用多项式乘多项式的法则对等式左边进行运算，再根据等式的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：3． 【跟踪专练1】计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式．根据多项式乘多项式的运算法则即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 【跟踪专练2】嘉淇计算一道整式乘法的题：，由于嘉淇抄错了第一个多项式中前面的符号，把“+”写成“”，得到的结果为． （1） ； （2）这道整式乘法的正确结果是 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了多项式的乘法．根据嘉淇抄错符号后计算的多项式展开，比较所得结果与给定错误结果的系数，可求出的值，再代入原式计算正确结果． 【详解】解：（1）嘉淇抄错符号后计算的是， 展开得： 给定错误结果为，比较常数项： 解得： 验证一次项系数：当时，，与错误结果一次项系数一致， 故． （2）正确原式为，代入： 故答案为（1）5；（2）． 【跟踪专练3】如果多项式与的乘积化简后项的系数是6，则m的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 由题意列式为，计算后根据题意得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解： ， 项的系数是6， ， 解得：， 故选：B． 【题型5.多项式乘多项式与图形面积】 【典例】学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题，如图是由边长分别为a、b的正方形和长为a、宽为b的长方形拼成的大长方形，由图可得等式    【答案】 【分析】根据图形的面积即可求解． 【详解】解：根据图形可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，采用数形结合的思想是解决此类题的关键． 【跟踪专练1】如图，把一块原长为，宽为的长方形草坪，加长了，加宽了，则扩大后的草坪面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的实际应用，熟练掌握长方形面积公式和多项式乘多项式法则是解题的关键．先确定扩大后长方形的长和宽，再根据长方形面积公式计算面积． 【详解】解：， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，将边长分别为2，3，5的正方形放置在长方形内，阴影部分的面积分别为，，若，则长方形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，设，则可得到，，据此根据长方形面积计算公式求出，，再根据，求出的值即可得到答案． 【详解】解：设， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的周长是， 故答案为：． 【跟踪专练3】我们知道对于一个几何图形，可以采用两种不同的方法计算它的面积，从而得到一个数学等式．如图，可以得到的数学等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式乘法的几何意义，体现数形结合的思想．图中的面积可表示为一个大的正方形的面积或所分成的9个图形的面积之和，由此可得到答案． 【详解】解：图中的面积可表示为：， 或， 故可以得到的数学等式是：， 故选：D． 【题型6.(x+p)(x+q)型多项式乘法】 【典例】计算 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是多项式乘多项式，运用多项式的乘法运算法则，将各项相乘后合并同类项． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列计算错误的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，关键是熟练掌握多项式乘多项式的法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 【详解】解：，与选项A结果一致，故计算正确； ，而选项B给出的结果为，两者不相等，故计算错误； ，与选项C结果一致，故计算正确； ，与选项D结果一致，故计算正确； 故选：B． 【跟踪专练2】已知，则m，n的值分别是 ． 【答案】， 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用多项式乘多项式法则计算即可求得答案． 【详解】解： ， 则，， 那么，， 故答案为：，． 【跟踪专练3】已知，若均为整数，则的值不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了多项式乘多项式，掌握运算法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式的乘法法则，得到，，再根据和为整数，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】∵，， ∴，， ∵和均为整数， ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上：或或， 故不能为2， 故选：A． 【题型7.利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【典例】若（mx4）·（4xk）＝12x12，则m＝ ，k＝ ． 【答案】 3 8 【分析】由单项式乘以单项式的乘法法则得到，由此可得，从而求得结果． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：3；8 【点睛】本题考查利用单项式乘以单项式求字母的值，牢记相关知识点是解题的关键． 【跟踪专练1】已知单项式与的积为，那么（　　） A．11 B．5 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据单项式乘单项式法则可得，求出m、n的值，然后代入中计算求解即可． 本题主要考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．熟练掌握单项式与单项式相乘的法则是解题的关键． 【详解】， ， ，， ． 故选：C． 【跟踪专练2】若，，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了单项式乘单项式，化简求值， 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先利用单项式乘以单项式法则计算，然后将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝， 当 和 时， 原式． 故答案为：． 【跟踪专练3】设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 【题型8.利用单项式乘多项式求字母的值】 【典例】要使的展开式中不含项，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握单项式乘多项式的运算是解题的关键．根据单项式乘多项式的运算，再结合展开式中不含项，即可解答． 【详解】解：， 要使的展开式中不含项， ． 故答案为：0． 【跟踪专练1】若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解决本题的关键是掌握单项式乘多项式法则；根据单项式乘多项式，可得相等的多项式，根据相等多项式的项相等，可得a，b的值，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：， ， ， 故选：． 【跟踪专练2】若恒成立，则 ． 【答案】0 【分析】将等式左边按照单项式乘以多项式，再合并同类项，整理后形式和等式右边一致，即可求出a ，b 的值，代入求值即可求出答案． 【详解】解：根据题意可得： ∵等式左边， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：0 【点睛】本题主要考查的是整式的运算，掌握单项式与多项式的乘法运算，合并同类项即可求出结果，也是解题的关键． 【跟踪专练3】已知(－2x)·(5－3x＋mx2－nx3)的结果中不含x3项，则m的值为(　　) A．1 B．－1 C．－ D．0 【答案】D 【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，根据整式不含x3项，可得三次项的系数为零． 【详解】（-2x）•（5-3x+mx2-nx3）=-10x+6x2-2mx3+2nx4， 由（-2x）•（5-3x+mx2-nx3）的结果中不含x3项，得-2m=0， 解得m=0， 故选D． 【点睛】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理． 【题型9.已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【典例】若的积不含的一次项，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据多项式乘以多项式的法则进行运算，再根据不含有的一次项得到关于的方程解方程即可． 【详解】解：∵的积不含的一次项， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的法则，理解“不含的一次项”是解题的关键． 【跟踪专练1】要使多项式 不含x 的二次项，则与的关系是(  ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关项问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含x的二次项，即含x的二次项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ∵多项式不含x的二次项， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】若的积中不含x和项，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、不含无关类问题及代数式求值，熟练掌握运算法则及不含无关类做题方法是解决本题关键．利用多项式乘以多项式的法则计算，再根据不含和的项，即可求出m与n的值，将m与n的值代入求解即可． 【详解】解： ∵展开后的结果中不含和的项， ∴， ∴，； ∵， ∴ ． 故答案为：． 【跟踪专练3】关于的多项式：，（其中a，b，c，d，e，f均为常数），下列说法：①当B能被整除时，；②当多项式A与B的乘积中不含项时，；③．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键． ①设，通过比较系数得，，所以，即可判断正误； ②求出中项得系数，并令其等于0，可求得，即可判断正误； ③将A化简得，比较系数得，解得，即可判断正误． 【详解】解：①当B能被整除时， 设， 则，， ， 故①错误； ②当乘积不含项时： 中项为， ， 解得， 故②正确； ③ ， ， 解得， ， 故③错误； 综上，正确的只有①． 故选：B． 【题型10.多项式乘法中的规律性问题】 【典例】我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（    ） 1…………………………………………1 …………………………………1         1 ………………………1       2        1 ………………1     3          3       1 ……1     4        6        4       1 A．15 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二项和的乘方的展开，运用杨辉三角来确定展开式中各项系数是解决本题的关键．根据上面规律，先找出的展开式中各项系数，再确定展开后的各项系数，即可确定展开后的各项系数，从而得出答案． 【详解】解：根据上面的规律，得，各项系数为：1，5，10，10，5，1 展开后的各项系数为：1，6，15，20，15，6，1， 展开后的各项系数为：1，，15，，15，，1． 含项的是奇数次方， 含项的系数是． 故选：B． 【跟踪专练1】我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，它揭示了（n为非负整数）展开式的各项系数的规律，根据图中规律，展开式中含项的系数是 ． 【答案】6 【分析】本题考查多项式乘法中的规律探究，根据，令，，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当，时，， ∴含项的系数是6． 故答案为：6． 【跟踪专练2】我国宋代数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中记载了一个用数字排成的三角形，后人称之为“杨辉三角”（如图），此图揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，例如： 利用上述规律计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘方的系数规律问题，根据图形得出，进而代入计算即可求解，解题的关键是根据题意正确分析出各项系数的有关规律． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 【跟踪专练3】观察下列各式： 则的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式的规律问题，由题意总结出规律是解题的关键． 将原式写成后，根据题干中的规律，进行计算即可． 【详解】解：由题意可得， ∴ ， 故答案为：． 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了单项式乘多项式，多项式乘多项式，积的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键. （1）根据单项式乘单项式的运算法则计算即可； （2）先根据多项式乘多项式的运算法则计算，然后去括号，最后合并同类项即可； （3）先算乘方，然后根据单项式乘多项式的运算法则计算即可. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 2．如图，一张长方形硬纸片，长为，宽为，在它的四个角上分别剪去一个边长均为的小正方形（阴影部分所示），然后折成一个无盖的盒子，请你求出折成无盖盒子所用硬纸片的面积． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，理解纸片的面积减去剪去的4个小正方形的面积就是盒子的表面积是关键．利用纸片的面积减去剪去的4个小正方形的面积就是盒子的表面积． 【详解】解：依题意，纸片的面积是：； 一个小正方形的面积是：， 则无盖盒子的表面积是：． 3．如图，嘉嘉用2张同样大小的长方形硬纸片拼接成一个面积为的正方形，按要求回答下面的问题． (1)求长方形硬纸片的长和宽； (2)嘉嘉想用该正方形硬纸片制作一个体积为的正方体无盖笔筒，该硬纸片是否够用？若够用，请求出剩余的硬纸片的面积；若不够用，请求出缺少的硬纸片的面积． 【答案】(1)长为20cm   宽为10cm (2)够用    【分析】本题考查了正方形面积的计算，长方形的拼接关系，正方体的体积与表面积计算，掌握正方形面积与边长的关系，正方体体积与棱长的关系，无盖几何体的表面积计算方法是解题的关键． （1）由正方形面积求出边长，根据两个长方形的拼接方式得到长与宽的倍数关系，列方程求解； （2）由正方体体积求出棱长，计算无盖笔筒所需的纸片面积，与原正方形面积比较判断是否够用，再计算剩余面积． 【详解】（1）解：设长方形硬纸片的长为，宽为． 由题意，得，且． ， ，， 长方形硬纸片的长为，宽为． （2）解：该硬纸片够用． 由题意可知，正方体无盖笔筒的棱长为， 共需要5张边长为8cm的小正方形硬纸片，其总面积为． ， 该硬纸片够用， 剩余的硬纸片的面积为． 4．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键． 先运用单项式乘多项式、多项式乘多项式计算，然后再合并同类项即可． 【详解】解： ． 5．已知的展开式中不含的一次项，且常数项是，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，已知多项式乘积不含某项求字母的值，先将原式进行化简，然后将与的值代入即可求出答案． 【详解】解： ∵的展开式中不含的一次项，且常数项是 ∴ 解得： 故． 6．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： (1)补充完整的展开式， ； (2)的展开式中共有 项，所有项的系数和为 ； (3)利用上面的规律计算：； 【答案】(1) (2)8； (3)1 【分析】此题主要考查了杨辉三角的规律探索以及应用能力，关键是能根据完全平方式准确理解并运用杨辉三角． （1）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图即可得到答案； （2）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图，找到规律共项，所有项系数的和为，即可得到答案； （3）利用（1）（2）的规律，可取，代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：利用“杨辉三角”或“贾宪三角”，如图所示： ， 故答案为：； （2）解：由题意得，利用“杨辉三角”或“贾宪三角”，如图所示： 共2项，所有项系数的和为； 共3项，所有项系数的和为； 共4项，所有项系数的和为； …… 共项，所有项系数的和为， ∴共8项，所有项系数的和为， 故答案为：8；； （3）解：由题意可知 ， ∴可取， 即原式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02整式的乘法 【题型01 计算单项式乘单项式】.......................................2 【题型02 计算单项式乘多项式及求值】.................................3 【题型03 单项式乘多项式的应用】.....................................3 【题型04 计算多项式乘多项式】.......................................4 【题型05 多项式乘多项式与图形面积】.................................4 【题型06 (x+p)(x+q)型多项式乘法】...................................5 【题型07 利用单项式乘法求字母或代数式的值】.........................6 【题型08 利用单项式乘多项式求字母的值】.............................6 【题型09 已知多项式乘积不含某项求字母的值】.........................6 【题型10 多项式乘法中的规律性问题】.................................7 【题型11 解答题6题】...............................................8 知识梳理 知识点01:同底数幂的乘法 公式：aman=am+n（m,n 都是正整数） 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 推广：amanap=am+n+p 知识点02:幂的乘方 公式：(am)n=amn（m,n 都是正整数） 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 知识点03:积的乘方 公式：(ab)n=anbn（n 为正整数） 法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 推广：(abc)n=anbncn 知识点04:单项式 × 单项式 步骤： 1 系数相乘； 2 同底数幂相乘； 3 只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 结果仍是单项式。 知识点05:单项式 × 多项式 公式：m(a+b+c)=ma+mb+mc 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 注意：不漏项、不丢符号。 知识点06:多项式 × 多项式 公式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 结果要合并同类项。 知识点07:常见易错点 1.指数运算只适用于同底数幂相乘，底数不同不能直接加指数。 2.幂的乘方是指数相乘，不是相加。 3.积的乘方要给每一个因式都乘方。 4.多项式相乘要逐项相乘，不重不漏，最后合并同类项。 【题型1.计算单项式乘单项式】 【典例】计算： ． 【跟踪专练1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】形如的式子叫作二阶行列式，它的运算法则为．例如．按照这种运算规定，计算 ． 【跟踪专练3】在代数式中，与的值各变为原来的，则该代数式的值减少为原来的（    ） A． B． C． D． 【题型2.计算单项式乘多项式及求值】 【典例】计算： ． 【跟踪专练1】若，则代数式的值为（    ） A．16 B． C．20 D． 【跟踪专练2】若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【跟踪专练3】已知，，…，都是正数，设，，那么M与N的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【题型3.单项式乘多项式的应用】 【典例】一个长方形的长和宽分别是（其中），则这个长方形的面积是 ． 【跟踪专练1】如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一条宽为的小路（阴影部分），这条小路的面积是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，将两个正方形A和B按下列方式摆放，图1的阴影面积为m，图2的阴影面积为n，则图3的阴影面积为 ．（用含有m和n的式子表示） 【跟踪专练3】如图，三个边长分别为，，的正方形并排放置，记阴影部分的面积为，则下列关于的说法正确的是（   ） A．的值与的取值无关 B．的值与的取值无关 C．的值与的取值无关 D．的值与，，的取值均有关 【题型4.计算多项式乘多项式】 【典例】若，则 ． 【跟踪专练1】计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】嘉淇计算一道整式乘法的题：，由于嘉淇抄错了第一个多项式中前面的符号，把“+”写成“”，得到的结果为． （1） ； （2）这道整式乘法的正确结果是 ． 【跟踪专练3】如果多项式与的乘积化简后项的系数是6，则m的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【题型5.多项式乘多项式与图形面积】 【典例】学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题，如图是由边长分别为a、b的正方形和长为a、宽为b的长方形拼成的大长方形，由图可得等式    【跟踪专练1】如图，把一块原长为，宽为的长方形草坪，加长了，加宽了，则扩大后的草坪面积为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，将边长分别为2，3，5的正方形放置在长方形内，阴影部分的面积分别为，，若，则长方形的周长是 ． 【跟踪专练3】我们知道对于一个几何图形，可以采用两种不同的方法计算它的面积，从而得到一个数学等式．如图，可以得到的数学等式是（    ） A． B． C． D． 【题型6.(x+p)(x+q)型多项式乘法】 【典例】计算 ． 【跟踪专练1】下列计算错误的是( ) A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，则m，n的值分别是 ． 【跟踪专练3】已知，若均为整数，则的值不可能为（　　） A． B． C． D． 【题型7.利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【典例】若（mx4）·（4xk）＝12x12，则m＝ ，k＝ ． 【跟踪专练1】已知单项式与的积为，那么（　　） A．11 B．5 C．1 D． 【跟踪专练2】若，，则 ． 【跟踪专练3】设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【题型8.利用单项式乘多项式求字母的值】 【典例】要使的展开式中不含项，则的值为 ． 【跟踪专练1】若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【跟踪专练2】若恒成立，则 ． 【跟踪专练3】已知(－2x)·(5－3x＋mx2－nx3)的结果中不含x3项，则m的值为(　　) A．1 B．－1 C．－ D．0 【题型9.已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【典例】若的积不含的一次项，则的值为 ． 【跟踪专练1】要使多项式 不含x 的二次项，则与的关系是(  ) A． B． C． D． 【跟踪专练2】若的积中不含x和项，则 ． 【跟踪专练3】关于的多项式：，（其中a，b，c，d，e，f均为常数），下列说法：①当B能被整除时，；②当多项式A与B的乘积中不含项时，；③．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型10.多项式乘法中的规律性问题】 【典例】我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（    ） 1…………………………………………1 …………………………………1         1 ………………………1       2        1 ………………1     3          3       1 ……1     4        6        4       1 A．15 B． C．6 D． 【跟踪专练1】我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，它揭示了（n为非负整数）展开式的各项系数的规律，根据图中规律，展开式中含项的系数是 ． 【跟踪专练2】我国宋代数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中记载了一个用数字排成的三角形，后人称之为“杨辉三角”（如图），此图揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，例如： 利用上述规律计算：（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】观察下列各式： 则的结果为 ． 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)． 2．如图，一张长方形硬纸片，长为，宽为，在它的四个角上分别剪去一个边长均为的小正方形（阴影部分所示），然后折成一个无盖的盒子，请你求出折成无盖盒子所用硬纸片的面积． 3．如图，嘉嘉用2张同样大小的长方形硬纸片拼接成一个面积为的正方形，按要求回答下面的问题． (1)求长方形硬纸片的长和宽； (2)嘉嘉想用该正方形硬纸片制作一个体积为的正方体无盖笔筒，该硬纸片是否够用？若够用，请求出剩余的硬纸片的面积；若不够用，请求出缺少的硬纸片的面积． 4．计算：． 5．已知的展开式中不含的一次项，且常数项是，求的值． 6．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： (1)补充完整的展开式， ； (2)的展开式中共有 项，所有项的系数和为 ； (3)利用上面的规律计算：； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $