21.1四边形及其多边形 讲练2025-2026学年人教版数学八年级下册

2025-2026学年人教版八年级数学下精析精练 21.1四边形及其多边形（解析版） 知识点1四边形及其内角和 1．如图，在四边形中，，是四边形的一个外角．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是四边形的内角和定理的应用，邻补角的性质，先证明，结合，进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：D 2．如图，在四边形中，，，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了四边形内角和360度，根据，，以及四边形内角和360度进行列式，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：在四边形中，，， ∴ 则 解得， 故选：C 3．如图，在四边形中，，，，则的值是（   ） A．60 B．65 C．75 D．130 【答案】B 【分析】本题考查了多边形四边形内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键 根据四边形内角和定理，列方程，求解x的值即可． 【详解】已知在四边形中，，，． 根据四边形内角和定理得：， ． 解得；． 所以x的值是65； 故选：B． 4．如图，在四边形中，，互相垂直的两直线将四边形分成四个区域，对于的关系： 甲：若，则； 乙：若，则． 其中正确的是（    ）    A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．都正确 D．都不正确 【答案】C 【分析】根据，得出，根据，得出，判断甲正确；根据，得出，根据，得出，判断乙正确． 根据 【详解】解：甲：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故甲正确； 乙：∵， ∴， ∵， ∴，故乙正确； 综上分析可知，甲、乙都正确，故C正确． 故选：C．    【点睛】本题主要考查了垂线的定义，四边形内角和为，补角的性质，解题的关键是熟练掌握补角的性质． 5．已知四边形中，与互补，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了四边形内角和定理与互补角的性质，掌握四边形内角和为、互补角的和为是解题的关键． 利用四边形内角和定理及互补角性质计算的度数． 【详解】解：∵与互补， ∴ ∵ 四边形的内角和为，且， ∴ 故答案为：． 6．四边形中，，则 ． 【答案】 【分析】根据四边形内角和定理，四边形的内角和为，结合角度比例设未知数列方程求解． 本题主要考查了四边形内角和为，熟练掌握并运用是解题的关键． 【详解】解：设，，，， 则， 解得， 故． 故答案为：． 7．学校有一块四边形试验田，分割成两块，由图可知， 度． 【答案】3 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，掌握多边形的内角和定理是关键． 根据平角的性质得到，，根据四边形内角和为即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴，， 在四边形中，， ∴， ∴， 故答案为：3． 8．在四边形中，，且与互补，则 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了补角的定义，四边形的内角和，解题的关键是掌握相加等于180度的两个角互补，四边形的内角和为360度，根据题意得出，，再分别求出的度数，即可求解． 【详解】解：∵与互补， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，在四边形中，，与相邻的外角是．求和的度数． 【答案】， 【分析】根据邻补角的性质，和多边形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ． 【点睛】本题主要考查了邻补角的性质，和多边形的内角和定理，熟练掌握邻补角的性质，和多边形的内角和定理是解题的关键． 10．如图，是四边形ABCD的外角，已知求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据四边形内角和定理可知，再根据平角的定义得到，即可证明． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了四边形内角和定理，平角的定义，熟知四边形内角和是360度是解题的关键． 知识点2 四边形的不稳定性 1．2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了（   ） A．三角形的稳定性 B．平行四边形的不稳定性 C．两点之间线段最短 D．点到直线的距离垂线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了四边形的不稳定性．生活中常见的机械臂、升降机等，这是应用了四边形不稳定性进行制作的，便于伸缩． 【详解】解：月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了四边形不稳定性的特性． 故选：B． 2．用木条钉成木架，然后扭动它，形状会改变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，是基础题． 根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，根据用木条钉成木架后是否得到三角形即可得出答案． 【详解】解：如图，用木条钉成木架，然后扭动它，形状会改变的是 ， 故选：D 3．学校、工厂、企业等单位的大门都是收缩性大门，这种门的门体可以伸缩自由移动，以此来控制门的大小．这种方法应用的数学知识是（    ）    A．三角形的稳定形 B．四边形的不稳定性 C．勾股定理 D．黄金分割 【答案】B 【分析】由题意可知收缩大门可以伸缩自由移动，这是根据四边形的不稳定性． 【详解】由题意可知收缩大门可以伸缩自由移动，这是根据四边形的不稳定性． 故选：B 【点睛】本题考查四边形的不稳定性，抓住题意的关键词从而解决问题． 4．下列图形中，不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的稳定性，三角形具有稳定性，由此即可判断． 【详解】解：因为三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性， 所以选项A，B，D中的图形都是有若干个三角形构成，具有稳定性，不符合题意； 选项C中的图形是由一个四边形和一个三角形构成，四边形不具有稳定性，符合题意． 故答案为：C． 5．下列图形具有稳定性的是（    ） A．梯形 B．长方形 C．等腰三角形 D．平行四边形 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断． 【详解】解：根据题意， 等腰三角形具有稳定性， 其他四边形都没有稳定性； 故选：C 【点睛】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性． 知识点3 多边形及其有关概念 1．在下列图形中，不属于多边形的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查多边形的定义，解题关键是紧扣“三条及以上线段首尾顺次连接、封闭、平面图形”的定义判断每个图形是否符合多边形特征． 多边形的定义是“由三条或三条以上线段首尾顺次连接组成的封闭平面图形”，需满足：线段组成、封闭、平面图形即可解答． 【详解】三角形：是多边形；四边形（不规则）：是多边形；圆：由曲线组成，不是多边形；六边形：是多边形；正方体：是立体图形，不是多边形． 因此，不属于多边形的是“圆”和“正方体”，共2个． 故选：A． 2．已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】C 【分析】此题主要考查正多边形的性质．根据正八边形的八条边长相等即可得出正八边形的周长． 【详解】解：正八边形八条边长相等，， 故选：． 3．如图，将一个长方形剪去一个角，则剩下的多边形为（    ）    A．五边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】沿对角线剪，沿一个角剪，沿一个角下方一点剪，进而得出结论． 【详解】解：如图所示，    故选：D． 【点睛】此题主要考查了多边形的角，此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 4．一个多边形从一个顶点处可以引出条对角线，这个多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握对角线条数的计算方法是解题的关键． 一个边形从一个顶点处可以引出条对角线，由此计算即可． 【详解】解：一个边形从一个顶点处可以引出条对角线， ， ， 故选：． 5．过一个多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形的边数是 ． 【答案】9 【分析】根据多边形对角线的性质，从一个顶点出发的对角线将多边形分成个三角形，其中n为多边形的边数. 【详解】解：设多边形的边数为n，则从一个顶点出发的对角线分成的三角形个数为个； 由题意：，解得 故答案为：. 知识点4 多边形内角和 1．一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理及多边形截去一个角有三种情况，首先计算截取一个角后多边形的边数，然后分三种情况讨论，因为截取一个角可能会多出一个角，也可能角的个数不变，也可能少一个角，从而得出结果，解题的关键是掌握多边形的内角和及分类讨论思想． 【详解】解：设剪去一个角后的多边形边数为，根据题意得， ∴ 即得到的多边形是边形， 当沿的是一条对角线剪去一个角，则原来的是边形； 当沿的直线并不是对角线时，分为两种情况： 过多边形的一个顶点，则原来的是边形； 不过多边形的顶点，则原来的是边形， ∴原来多边形的边数可能是或或， 故选：． 2．如图，小亮从点出发沿直线前进米到达点，向左转后又沿直线前进米到达点，再向左转后沿直线前进米到达点照这样走下去，小亮第一次回到出发点时所走的路程为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形外角问题的实际应用，根据题意判断小亮走过的图形是正多边形是解题的关键．根据题意，小亮走过的路程是正多边形，先用除以求出边数，然后再乘以10米即可得解． 【详解】解：小亮每次都是沿直线前进米后向左转， 他走过的图形是正多边形， 边数， 他第一次回到出发点时，一共走了（米）． 故选：D． 3．一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是 ． 【答案】六 【分析】利用多边形内角和公式（为边数且且为整数 ），将内角和代入公式，通过解方程求出边数．本题主要考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键． 【详解】边形的内角和为， ， 解得， 这个多边形的边数是六． 故答案为六． 4．如图： ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角和以及三角形外角的性质，解题的关键是利用三角形外角的性质将所求角转化到一个四边形中进行计算． 通过连接，利用三角形外角的性质将和转化为和，再根据四边形内角和为求出的度数． 【详解】连接，为与的交点， 在和中， ， ， 那么． 而正好是四边形的内角和． 根据多边形内角和公式：边形内角和为， 四边形内角和为， 所以． 故答案为：． 5．如图，正五边形的顶点在正五边形的边上，若，则 °．    【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角． 先计算出正五边形的内角为：，再利用平角为，三角形的内角和，即可解答． 【详解】解：正五边形的内角为：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．窗棂（如图1）是中国传统木构建筑的框架结构，使窗成为传统建筑中最重要的构成要素之一，也成为建筑的审美中心．图2是从图1中提取的由六条线段组成的图形，若，则 ． 【答案】300 【分析】本题考查了多边形的外角和问题，根据多边形的外角和为计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， 故答案为：． 7．完美五边形是指能够与其他一模一样的五边形拼合起来，既不重叠也不留缝隙，密铺出一个平面的五边形，如图是完美五边形的示意图，是完美五边形的外角，已知，则 ． 【答案】/285度 【分析】本题考查了多边形的外角和，解题的关键是掌握多边形外角和为． 利用多边形外角和为，结合已知，求出的度数． 【详解】， ， 故答案为：． 8．如图的七边形中，、的延长线相交于点．若图中、、、的外角的角度和为，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查多边形内角和定理及内外角关系，解题的关键是根据题意得到是五边形． 首先求出，然后得到，进而求解即可． 【详解】解：、、、的外角的角度和为， ， ， 五边形内角和， ， ， 故答案为：． 9．如图，这是某校园小公园中的腾飞雕塑的平面示意图．已知雕塑的右边边线和底座都与地面垂直，同时，与的夹角，与底座的夹角，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了四边形内角和定理．作于点，利用四边形内角和定理求得，再利用四边形内角和定理即可求解． 【详解】解：作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 10．如图，在六边形中，，其余四个内角都相等． (1)求的度数． (2)连接，若，判断与的位置关系并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了多边形的内角和、三角形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键． （1）根据六边形的内角和为，结合，其余四个内角都相等，即可求出的度数； （2）利用三角形内角和定理求出，再结合（1）中的结论得到，则有，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵六边形的内角和为，，其余四个内角都相等， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴． 11．如图，在六边形中，，其余四个内角都相等．      (1)求的度数； (2)连接，若，判断与的位置关系并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查多边形内角和定理、平行线的判定定理等知识，熟记多边形内角和定理求角度、平行线的判定是解决问题的关键． （1）由六边形内角和公式求出六个内角和为，再结合，其余四个内角都相等求解即可得到答案； （2）由四边形内角和公式得到内角和为，数形结合，得到，由平行线的判定即可得到答案． 【详解】（1）解：多边形是六边形， 六边形的内角和， ，其余四个内角都相等， ； （2）解：． 理由如下： 多边形是四边形， 四边形的内角和， ， ， ， ， ， ． 12．请根据对话回答问题： (1)多加的外角是________°；这个凸多边形的边数是________． (2)求这个多边形的内角和及其对角线条数． 【答案】(1)，13； (2)内角和是，对角线有65条 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和以及多边形的对角线问题． （1）根据多边形的内角和公式可得内角和一定是180的倍数，用2024除以180，得到的余数即为多加的外角，再根据多边形的内角和公式可得边数； （2）用2024减去多加的外角即可得到内角和；根据n边形的对角线条数为求解即可． 【详解】（1）解：∵n边形的内角和是， ∴多边形的内角和一定是180的倍数， ∵， ∴多加的外角是， 这个凸多边形的边数是； （2）这个多边形的内角和为， 对角线条数为（条）， 答：这个多边形的内角和是，对角线有65条． 1．石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和综合；根据题意求得正六边形的外角，进而即可求得的度数． 【详解】解：∵正六边形的外角和为， ∴每一个外角为， ∴的度数为， 故选：C． 2．如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，的度数应是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形内角和公式求出正六边形和正五边形的内角和内角的补角，结合三角形内角和定理即可求解； 【详解】解：正六边形的内角为：，内角的补角为：60°； 正五边形的内角为：，内角的补角为：72°； ∴ 故选：B 【点睛】本题主要考查多边形内角和公式，三角形的内角和定理，掌握相关知识并正确求解是解题的关键． 3．已知某正多边形的一个外角的度数比一个内角度数的多，请求出这个正多边形的边数． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和问题，设这个多边形的一个内角的度数是，则相邻的外角的度数是，根据题意得出，求解即可． 【详解】解：设这个多边形的一个内角的度数是，则相邻的外角的度数是， 由题意可得：， 解得：， ∴， ∴这个多边形的外角的度数是， ∴这个正多边形的边数为． 4．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 多边形分为凸多边形和凹多边形． 如果将一个多边形的任意一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形． 如果一个多边形的所有边中有一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形． 我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题． 如图，四边形是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线，则四边形内角和就转化为与内角和相加，为． 任务一：在上述阅读材料的探究过程中，体现了数学中的_____． A．整体思想    B．方程思想 C．转化思想    D．分类讨论思想 任务二：如图1，四边形是凹四边形，请探究与，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：．请你将下面小明的证明过程补充完整． 证明：如图1，连接并延长到点． …… 任务三：图2中的度数为_____． 【答案】任务一  ；任务二一  见解析；任务三   【分析】本题考查了多边形的内角和外角公式．解题关键掌握多边形的内角和外角关系； 任务一：根据材料中“四边形内角和就转化为和内角和的和”可得答案； 任务二：先证明，，相加即可； 任务三：利用外角的性质，对顶角和三角形内角和定理转化求解． 【详解】解：任务一：根据材料中“四边形内角和就转化为和内角和的和”，可知体现了数学中的转化思想方法， 故答案为：C； 任务二：证明：连接并延长到点． 则为的外角，为的外角， ， ． ， ． ， ． 任务三：如下图： 根据三角形外角的性质得：， 又， ， 又， ． 5．如图，已知，三角形的外角和与四边形的外角和分别为与．若的度数恰好与n边形内角和的度数相等，求n的值．    【答案】 【分析】根据三角形的内角和，四边形内角和，多边形的外角和，得，再根据多边形的内角和公式，得，计算即可． 【详解】解：根据题意，得，，， ， ， ． 【点睛】本题考查了多边形的内角和多边形的外角和，解题的关键是掌握多边形的外角和，多边形的内角和公式． 6．（1）如图1，四边形沿MN折叠，使点、落在四边形内的点、处，探索、与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，将四边形沿着直线翻折，使得点落在四边形外部的处，点C落在四边形内部的处，直接写出、与之间的关系． 【答案】（1），或，见解析；（2）或 【分析】（1）根据四边形的内角和可知∠DMN+∠CNM=∠A+∠B，再根据翻折可找到∠AMD′、∠BNC′与∠A+∠B之间的数量关系． （2）同理可得∠DMN+∠CNM=∠A+∠B，再根据翻折可找到∠AMD′、∠BNC′与∠A+∠B之间的数量关系． 【详解】解：（1）∠AMD′+∠BNC′=360°-2（∠A+∠B），理由如下： 根据四边形的内角和为360°可知，∠D+∠C=360°-（∠A+∠B）， ∠DMN+∠CNM=360°-（∠C+∠D）=∠A+∠B， 根据折叠的性质得，∠DMN=∠D′MN，∠CNM=∠C′NM， ∴∠DMD′+∠CNC′=2（∠A+∠B）， ∵∠DMD′+∠AMD′=180°，∠CNC′+∠BNC′=180°， ∴∠AMD′+∠BNC′=360°-2（∠A+∠B）． （2）∠BNC′-∠AMD′=360°-2（∠A+∠B），理由如下： 由（1）知，∠DMN+∠CNM=∠A+∠B， 根据折叠的性质得，∠DMN=∠D′MN，∠CNM=∠C′NM， ∴∠D′MN+∠C′NM=∠A+∠B， 由四边形的内角和为360°得，∠D′MN-∠AMD′+∠BNC′+∠C′NM=360°-（∠A+∠B） ∴∠BNC′-∠AMD′=360°-2（∠A+∠B）． 【点睛】此题考查了四边形的内角和为360°，熟记四边形的内角和是360°及根据翻折找到等量关系是解题的关键． 1．某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多边形外角和定理的应用，熟练掌握多边形外角和定理是解题的关键． 根据转过的角度之和等于多边形外角和，解答即可． 【详解】解：根据题意得：某人在途中转过了， 由于在B，C，D，E，F五个转角处都转了， 则他在A处转过的度数为 故选：D． 2．图1中的五边形花环是由五个全等等腰三角形组成的．图2是它的示意图，则 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查等边对等角，正多边形的外角，根据题意易得中间五边形为正五边形，为其的一个外角，根据正五边形的每个外角的度数相等，求出的度数，再根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：由题意，中间五边形为正五边形，为其的一个外角， ∴， 由题意和图可知：为等腰三角形， ∴， ∴； 故答案为：． 3．如图，以四边形各顶点及各边延长线上的点构成，，，，则，，，，，，，的度数和为 ． 【答案】 【分析】首先根据外角的性质可得：根据四边形的外角和为，所以，即可解答． 【详解】解：由三角形外角的性质，得，，，． 四边形的外角和为， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形外角的性质和多边形的外角和，解决本题的关键是熟记多边形的外角和为． 4．看下图解答问题． (1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)十三边形，内角和，外角 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握边形的内角和为：． （1）由边形的内角和公式为，可知边形的内角和一定是的整数倍，而不能被整除，所以小明说不可能； （2）由（1）可得到多加的那个外角的度数，以及多边形的边数和内角和． 【详解】（1）解：∵边形的内角和是， ∴多边形的内角和一定是的整数倍． ∵， ∴小明说多边形的内角和不可能是． （2）解：． ， ． 故小华求的是十三边形的内角和，内角和是，多加的那个外角是． 5．如图，在平面直角坐标系中，，，，，． (1)求证：； (2)求证：；（提示：过点A作于点F，作的延长线于点E，） (3)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)128 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的坐标特点、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能准确灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据四边形的内角和可求得，再结合已知可得，则根据直角三角形性质即可证明结论；（2）过点A作于点F，作的延长线于点E，根据点的坐标可得，并可推出，利用角平分线的性质定理可得，则由可得，根据全等三角形对应边相等即可证得结论； （3）如图2：作轴于点G，利用已证结论并结合，则可证明，则可得，即可利用三角形面积之和求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：如图，在四边形中，， ， ， ， ， ， 又， ； （2）证明：如图，过点A作于点F，作的延长线于点E， ，，， ，， ， ， 又， ，即平分， 又，， ，， ， 在和中， ， ， ； （3）解：如图，作轴于点G， ， ， ， 在和中， ， ． ， ． 四边形的面积 ． 6．【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）． 【规律总结】（1）填写下表： 五边形内点的个数 1 2 3 4 … 分割成的三角形的个数 5 7 9 … 【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2025个三角形？若能，求此时五边形内部点的个数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）11   （2）能，此时五边形内部有1011个点 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握怎么计算多边形的对角线是解题的关键； （1）观察规律得出五边形内点的个数与分割成的三角形的个数的关系写出五边形内有4个点时三角形的个数以及n个时三角形的个数表达式； （2）令（1）的表达式等于2025，求出n的值． 【详解】解：（1）点的个数为1时：三角形的个数为：； 点的个数为2时：三角形的个数为：； 点的个数为3时：三角形的个数为：； 则点的个数为4时：三角形的个数为：； 点的个数为n时：三角形的个数为：． （2）原五边形能被分割成2025个三角形． 由题意，得， 解得（符合题意）， ∴原五边形能被分割成2025个三角形，此时五边形内部有1011个点． 7．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． (1)如图，是等边三角形，点D是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系． 解题思路：延长到点E，使，根据，可证，易证，得出是等边三角形，所以，从而解决问题． 根据上述解题思路，三条线段、、之间的等量关系是 ；（直接写出结果） (2)如图，中，，．点D是边下方一点，，探索三条线段、、之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）延长到点E，使，连接，由题意得，从而得，证得，得，，进而证得是等边三角形，得即可得证； （2）延长到点E，使，连接，根据四边形内角和和等量代换得，证得，得，，再根据勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：结论：理由如下： 如图1，延长到点E，使，连接， 由等边三角形知，， 又∵， ， 又， ， ∴， ， ，， ∴， 是等边三角形， ∴； （2）解：结论：，理由如下： 如图2，延长到点E，使，连接， ，， ， ∵， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、四边形内角和，熟练掌握全等三角形的判定与性质，构造全等三角形是解题的关键． 8．如图，求的度数． 【答案】 【分析】连接，由三角形内角和定理得，从而所求角的和转化为求五边形的内角和问题解决． 本题主要考查多边形内角和、三角形内角和定理，将所求角度和转化为多边形内角和是解题的关键． 【详解】解：连接，如图． ， ． 即． 中档 提分训练 基础 分点训练 拓展 素养训练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版八年级数学下精析精练 21.1四边形及其多边形 知识点1四边形及其内角和 1．如图，在四边形中，，是四边形的一个外角．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，设，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，，，，则的值是（   ） A．60 B．65 C．75 D．130 4．如图，在四边形中，，互相垂直的两直线将四边形分成四个区域，对于的关系： 甲：若，则； 乙：若，则． 其中正确的是（    ）    A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．都正确 D．都不正确 5．已知四边形中，与互补，，则的度数是 ． 6．四边形中，，则 ． 7．学校有一块四边形试验田，分割成两块，由图可知， 度． 8．在四边形中，，且与互补，则 ． 9．如图，在四边形中，，与相邻的外角是．求和的度数． 10．如图，是四边形ABCD的外角，已知求证：． 知识点2 四边形的不稳定性 1．2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了（   ） A．三角形的稳定性 B．平行四边形的不稳定性 C．两点之间线段最短 D．点到直线的距离垂线段最短 2．用木条钉成木架，然后扭动它，形状会改变的是（    ） A． B． C． D． 3．学校、工厂、企业等单位的大门都是收缩性大门，这种门的门体可以伸缩自由移动，以此来控制门的大小．这种方法应用的数学知识是（    ）    A．三角形的稳定形 B．四边形的不稳定性 C．勾股定理 D．黄金分割 4．下列图形中，不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 5．下列图形具有稳定性的是（    ） A．梯形 B．长方形 C．等腰三角形 D．平行四边形 知识点3 多边形及其有关概念 1．在下列图形中，不属于多边形的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 3．如图，将一个长方形剪去一个角，则剩下的多边形为（    ）    A．五边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 4．一个多边形从一个顶点处可以引出条对角线，这个多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 5．过一个多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形的边数是 ． 知识点4 多边形内角和 1．一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A． B． C． D．以上都有可能 2．如图，小亮从点出发沿直线前进米到达点，向左转后又沿直线前进米到达点，再向左转后沿直线前进米到达点照这样走下去，小亮第一次回到出发点时所走的路程为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是 ． 4．如图： ． 5．如图，正五边形的顶点在正五边形的边上，若，则 °．    6．窗棂（如图1）是中国传统木构建筑的框架结构，使窗成为传统建筑中最重要的构成要素之一，也成为建筑的审美中心．图2是从图1中提取的由六条线段组成的图形，若，则 ． 7．完美五边形是指能够与其他一模一样的五边形拼合起来，既不重叠也不留缝隙，密铺出一个平面的五边形，如图是完美五边形的示意图，是完美五边形的外角，已知，则 ． 8．如图的七边形中，、的延长线相交于点．若图中、、、的外角的角度和为，则的度数为 ． 9．如图，这是某校园小公园中的腾飞雕塑的平面示意图．已知雕塑的右边边线和底座都与地面垂直，同时，与的夹角，与底座的夹角，求的度数． 10．如图，在六边形中，，其余四个内角都相等． (1)求的度数． (2)连接，若，判断与的位置关系并说明理由． 11．如图，在六边形中，，其余四个内角都相等．      (1)求的度数； (2)连接，若，判断与的位置关系并说明理由． 12．请根据对话回答问题： (1)多加的外角是________°；这个凸多边形的边数是________． (2)求这个多边形的内角和及其对角线条数． 1．石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，的度数应是（    ） A． B． C． D． 3．已知某正多边形的一个外角的度数比一个内角度数的多，请求出这个正多边形的边数． 4．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 多边形分为凸多边形和凹多边形． 如果将一个多边形的任意一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形． 如果一个多边形的所有边中有一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形． 我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题． 如图，四边形是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线，则四边形内角和就转化为与内角和相加，为． 任务一：在上述阅读材料的探究过程中，体现了数学中的_____． A．整体思想    B．方程思想 C．转化思想    D．分类讨论思想 任务二：如图1，四边形是凹四边形，请探究与，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：．请你将下面小明的证明过程补充完整． 证明：如图1，连接并延长到点． …… 任务三：图2中的度数为_____． 5．如图，已知，三角形的外角和与四边形的外角和分别为与．若的度数恰好与n边形内角和的度数相等，求n的值．    6．（1）如图1，四边形沿MN折叠，使点、落在四边形内的点、处，探索、与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，将四边形沿着直线翻折，使得点落在四边形外部的处，点C落在四边形内部的处，直接写出、与之间的关系． 1．某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 2．图1中的五边形花环是由五个全等等腰三角形组成的．图2是它的示意图，则 ． 3．如图，以四边形各顶点及各边延长线上的点构成，，，，则，，，，，，，的度数和为 ． 4．看下图解答问题． (1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？ 5．如图，在平面直角坐标系中，，，，，． (1)求证：； (2)求证：；（提示：过点A作于点F，作的延长线于点E，） (3)求四边形的面积． 6．【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）． 【规律总结】（1）填写下表： 五边形内点的个数 1 2 3 4 … 分割成的三角形的个数 5 7 9 … 【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2025个三角形？若能，求此时五边形内部点的个数；若不能，请说明理由． 7．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． (1)如图，是等边三角形，点D是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系． 解题思路：延长到点E，使，根据，可证，易证，得出是等边三角形，所以，从而解决问题． 根据上述解题思路，三条线段、、之间的等量关系是 ；（直接写出结果） (2)如图，中，，．点D是边下方一点，，探索三条线段、、之间的等量关系，并证明你的结论． 8．如图，求的度数． 中档 提分训练 拓展 素养训练 基础 分点训练 学科网（北京）股份有限公司 $