精品解析：山东师范大学附属中学2026届高三高考前适应性训练数学试题

山东师范大学附属中学2026届高三高考前适应性训练数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 展开式中第6项的二项式系数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 已知数列的各项均为正数，前项和为，则“”是“为等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 在中，，，，为内一点（含边界），且．若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点为，，是椭圆上的动点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（ ） A. 从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降得最多的是五月份 B. 这10个月营业额的极差为37万元 C. 前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差 D. 这10个月营业额数据的下四分位数为23 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 直线是函数的图象的一条对称轴 B. 将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为 C. 函数在区间上有3个零点 D. 函数在区间上单调递增 11. 已知圆台的上、下底面半径分别为，母线．AB是下底面的直径，点C在下底面圆周上，且，点是上底面圆周上的动点，则下列结论正确的有（ ） A. 该圆台存在内切球，且内切球半径为 B. 存在两个点D，使点B到平面的距离为 C. 存在点D，使过点A的母线与平面平行 D. 存在点D，使得平面平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数是奇函数，则______. 13. 过点与圆相切的两条直线的切点分别为，则___________． 14. 袋中有2个不同的红球和3个不同的白球，每次取1个球，若取出红球，则不放回袋中；若取出白球，则放回袋中.连续取3次球,袋中还有2个红球的概率为______；若袋中还有1个红球，则第2次取出红球的概率为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 的内角，，所对的边分别为，，，其面积为．已知． （1）求； （2）点满足，且，求． 16. 如图，在几何体中，平面平面，，，，，为中点，点，在直线两侧． （1）求证：平面； （2）已知，，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知函数，，当时，曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为． （1）当时，求证：与的交点位于轴右侧； （2）已知，与轴交于点，与轴交于点，若存在（为自然对数的底数），使得，求的最大值． 18. 已知点，，点是直线外的一个动点，直线，的斜率之积为3，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）已知直线交于，两点，关于轴的对称点为，若直线和的斜率之商为，证明： 以下问题： （ⅰ）直线过定点； （ⅱ）为钝角三角形． 19. 已知数列的前项和为，，且． （1）证明：数列为等差数列； （2）设； （ⅰ）求数列的前项和； （ⅱ）当时，设集合，集合中所有元素的和记为，求数列的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东师范大学附属中学2026届高三高考前适应性训练数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，， 所以. 2. 复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先将复数z化简为标准代数形式，求出其共轭复数，根据共轭复数对应的复平面内点的坐标特征判断所在象限. 【详解】由，分子分母同乘分母的共轭复数得： ， 可得， 因此对应的点为，位于第四象限. 3. 展开式中第6项的二项式系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据第6项的二项式系数即可求解. 【详解】展开式中第6项的二项式系数是， 故选：C. 4. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 5. 已知数列的各项均为正数，前项和为，则“”是“为等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由可知，根据充分条件和必要条件的概念即可判断. 【详解】可化为， 即，而的比值不确定，故不能得到为等比数列， 反之，若为公比为的等比数列，则， 则，即， 若，则， 则，即，不满足题意， 故对于公比为的等比数列，， 所以为等比数列不一定能推出. 故“”是“为等比数列”的既不充分又不必要条件. 6. 在中，，，，为内一点（含边界），且．若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，以A为坐标原点，方向为轴建立平面直角坐标系，则， 设， 过点作轴的垂线，垂足为，则，， ，，即， 则，其中， 当时，有最大值为. 7. 已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数，求导，利用导数分析函数单调性和极值点；分析在区间内的单调性和关键点，作出函数图象，结合图象得出有3个零点的a的取值范围． 【详解】当时，，求导得，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故是的极小值点，即为最小值点，， 且； 当时，， ， ， ， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 故函数的图象如下： 已知函数有3个零点，由图象可知， 当时，有3个交点； 当时，有3个交点； 综上，实数a的取值范围是． 8. 已知椭圆的左、右焦点为，，是椭圆上的动点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何关系，以及椭圆的定义，转化向量的数量积，即可求解. 【详解】， 其中，， ， 所以. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（ ） A. 从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降得最多的是五月份 B. 这10个月营业额的极差为37万元 C. 前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差 D. 这10个月营业额数据的下四分位数为23 【答案】AC 【解析】 【分析】对A ，计算相邻月份营业额的变化量，找出下降幅度最大的区间判断；对 B ，最大数据减去最小数据，即可判断；对 C ，分别计算前 5 个月和后 5 个月营业额的方差，比较两者大小；对 D ，将数据排序后，根据百分位数公式计算即可判断. 【详解】对于A：由图可知二月份比一月份增加6万元，三月份比二月份增加24万元，四月份比三月份减少13万元，五月份比四月份减少24万元， 六月份比五月份增加6万元，七月份比六月份增加12万元，八月份比七月份增加2万元，九月份比八月份减少18万元， 十月份比九月份减少4万元，故与上个月相比营业额下降最多的是五月份，A正确； 对于B，极差为，B错误； 对于C：前5个月的平均数， 方差； 后5个月的平均数， 方差 因为，所以前5个月的营业额的方差确实大于后5个月，C正确； 对于D：将10个数据从小到大排序： 因为，所以下四分位数取第3项，即25，D错误. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 直线是函数的图象的一条对称轴 B. 将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为 C. 函数在区间上有3个零点 D. 函数在区间上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【详解】由题意得， ，是函数的图象的一条对称轴，故A正确， 将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为， 要使为奇函数，则，解得， 又，则的最小值为，故B正确， 令，则，解得， 当时，或， 函数在区间上有2个零点，故C错误， 当时，令， 在上单调递增，函数在区间上单调递增，故D正确. 11. 已知圆台的上、下底面半径分别为，母线．AB是下底面的直径，点C在下底面圆周上，且，点是上底面圆周上的动点，则下列结论正确的有（ ） A. 该圆台存在内切球，且内切球半径为 B. 存在两个点D，使点B到平面的距离为 C. 存在点D，使过点A的母线与平面平行 D. 存在点D，使得平面平面 【答案】AB 【解析】 【分析】根据几何体的内切球、点面距、线面平行、面面垂直等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设，且，设是的中点， ，， 所以，过作，垂足为， 则， 而，所以该圆台存在内切球，且内切球半径为，A选项正确. 由于点C在下底面圆周上，且，所以， 以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，如下图所示： 则, 设，, 设平面的法向量为， 则， 故可设，则 所以B到平面的距离为， 若，整理得， 而， 所以， 由于，所以或， 解得或，即存在两个点D，使点B到平面的距离为，B选项正确. 设平面的法向量为， 则， 故可设，而, 则, 所以不存在点D，使过点A的母线与平面平行，C选项错误. 易知 ， 又因为，所以, 所以恒成立，即， 即不存在点D，使得平面平面，D选项错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数是奇函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数的定义求解. 【详解】由得， 因为函数是奇函数，所以定义域关于原点对称， 则方程根互为相反数，所以，所以， 所以函数的定义域为，， 因为， 所以，即，解得. 此时，定义域为，且满足， 所以. 13. 过点与圆相切的两条直线的切点分别为，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心坐标和半径，再根据点到直线的距离公式求出圆心到点的距离，然后利用勾股定理求出切线长，最后根据三角形面积公式求出弦长. 【详解】将圆化为标准方程得到， 所以圆心，半径 ， 则. 在直角三角形中，， 所以； 同时，代入得到. 故答案为：. 14. 袋中有2个不同的红球和3个不同的白球，每次取1个球，若取出红球，则不放回袋中；若取出白球，则放回袋中.连续取3次球,袋中还有2个红球的概率为______；若袋中还有1个红球，则第2次取出红球的概率为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先设事件，再应用独立事件概率乘积公式得出，再应用概率乘法公式及互斥事件概率和公式得出，最后应用条件概率公式计算求解. 【详解】记“第次取出白球为事件”，“第次取出红球为事件”， “连续取球3次，袋中还有2个红球为事件”， “连续取球3次，袋中还有1个红球为事件”， 事件的发生，意味着三次取球中三次取到白球， ； 事件的发生，意味着三次取球中有且仅有一次取到红球，该次可能是第一次、第二次或第三次，这三种情况互斥， 则， 因为， ， ， 所以， 所以. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 的内角，，所对的边分别为，，，其面积为．已知． （1）求； （2）点满足，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由面积公式与向量点积公式，代入已知条件化简，解得，结合得的大小； （2）用已知向量分解表示、，平方后利用得；再由余弦定理求出，代入即得结果. 【小问1详解】 根据三角形面积公式，向量点积公式， 代入已知条件得， 约去得. 因为，故.​ 【小问2详解】 由于， 分别对和平方展开，代入得 ​； ​​. 由，得，代入化简得. 由余弦定理，，代入，得  . 因此. 16. 如图，在几何体中，平面平面，，，，，为中点，点，在直线两侧． （1）求证：平面； （2）已知，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）因为平面平面， 平面平面，平面，， 所以平面. 取的中点，连接. 因为，所以， 因为，所以， 因为为的中点，所以， 可知三点共线，所以， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直得平面；取中点，由得，结合中位线可证共线，从而，故平面 ； （2）建系，利用已知长度求出各点坐标，分别计算平面与平面的法向量，代入夹角公式计算可得结果. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）知平面，平面，所以. 又因为，， 则以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 连接，由（1）知平面 ，平面， 所以 ，，又， 所以. 又， 所以，，. 因此，. 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，则. 易得平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知函数，，当时，曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为． （1）当时，求证：与的交点位于轴右侧； （2）已知，与轴交于点，与轴交于点，若存在（为自然对数的底数），使得，求的最大值． 【答案】（1）证明：，，，， 直线的方程为， 直线的方程为， 联立，解得， 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 当时，，所以，又，所以， 所以当时，与的交点位于y轴右侧； （2） 【解析】 【分析】（1）联立与的方程，求出交点横坐标，令，判断交点横坐标的正负； （2）求出坐标，根据求出的值，利用导数研究函数的单调性，求出最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题可知，，， 则， 若，则，解得， 设，则， 令，则恒成立， 所以在上单调递增，又， 所以当时，，，当时，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以b的最大值为. 18. 已知点，，点是直线外的一个动点，直线，的斜率之积为3，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）已知直线交于，两点，关于轴的对称点为，若直线和的斜率之商为，证明： 以下问题： （ⅰ）直线过定点； （ⅱ）为钝角三角形． 【答案】（1），； （2）（ⅰ）设，，，显然的斜率不为零，否则有，，直线，此时， 而直线和的斜率之商为2，故矛盾，故设直线， 由，得， 依题意，，且， 所以，且，，，，， 因为直线和的斜率之商为2，所以， 因为点在上，所以，即， 所以，即， 即，化简可得，解得：， 此时恒成立，所以，过定点； （ⅱ）由（ⅰ）知，，，，当，即时， ， 所以点均在的右支，如图， 此时， 所以是钝角，是钝角三角形； 当时，即或，， 所以分别在的两支，不妨设在的右支，则，如图， 设，则， 所以，因为过点，所以, 所以是钝角，是钝角三角形.综上可知，是钝角三角形. 【解析】 【分析】（1）先设动点坐标，，再根据条件转化为坐标关系式，求曲线方程； （2）（ⅰ）设直线方程并联立，代入双曲线方程得到关于的一元二次方程，利用韦达定理化简目标代数式后，可得定点；（ⅱ）利用向量的数量积可判断三角形的形状. 【小问1详解】 设，， 由题意可知，，整理为，， 所以双曲线的方程为，； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 19. 已知数列的前项和为，，且． （1）证明：数列为等差数列； （2）设； （ⅰ）求数列的前项和； （ⅱ）当时，设集合，集合中所有元素的和记为，求数列的通项公式． 【答案】（1）证明：由，， 则， 所以，故是首项、公差均为1的等差数列； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据已知递推关系得，结合等差数列的定义即可证； （2）（i）由（1）得，利用关系求得，根据已知及组合数性质、二项式定理得，若数列的前项和为，再应用错位相减法、等比数列的前n项和公式求；（ii）根据已知得到，再由不等关系有，则，最后应用分组求和求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由（1）得， 当时，， 显然满足，所以， 所以， 又，， 所以， 所以， 若数列的前项和为， 则，， 所以 ， 所以； （ii）当时， ， 与矛盾，所以， 当时，， 与矛盾，所以， 综上，此时， 所以，可得，即， 所以，则 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $