2.2 一元二次方程的解法（知识梳理+5题型突破）2025-2026学年 浙教版八年级数学下册

本讲义聚焦一元二次方程的解法，系统梳理直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法五种核心方法，明确每种方法的适用条件、原理及步骤，构建从基础到综合的学习支架，帮助学生逐步掌握解法逻辑。 资料特色在于典例与变式结合，如直接开平方法解(2x-3)²=7等题目强化应用，核心技巧指导方法选择培养推理意识，易错提醒规范表达。课中助力教师分层教学，课后学生可通过分题型练习查漏补缺，提升运算能力与应用意识。

2.2 一元二次方程的解法 基础知识梳理 1. 直接开平方法 适用于形如 （）或（）的方程。 原理：若 （），则 。 步骤： ①化：将方程化为“平方项 = 常数”的形式； ②开：两边同时开平方； ③解：得到两个一元一次方程，解之。 2. 配方法 适用于所有一元二次方程，尤其适合二次项系数为1、一次项系数为偶数的方程。 原理：将方程左边配成完全平方式，再用直接开平方法求解。 步骤（以 为例）： ①移：把常数项移到等号右边，； ②配：两边同时加上一次项系数一半的平方，； ③写：左边写成完全平方，； ④开：两边开平方求解。 3. 公式法 适用于所有一元二次方程 （）。 求根公式： 判别式：，根的情况由 决定： ①：方程有两个不相等的实数根； ②：方程有两个相等的实数根； ③：方程没有实数根。 步骤： ①化：将方程化为一般式 ； ②找：确定 ； ③算：计算判别式 ； ④代：若 ，代入求根公式求解。 4. 因式分解法 适用于能因式分解的一元二次方程。 原理：若 ，则 或 。 步骤： ①移：把方程右边化为0； ②分：将左边因式分解为两个一次式的乘积； ③解：令每个一次式分别为0，解一元一次方程。 5. 换元法 适用于结构复杂、可通过换元简化的方程（如双二次方程 ）。 步骤： ①换：设 （或其他合适的整体），将原方程化为关于 的一元二次方程； ②解：解关于 的方程； ③回：将 的值代回，解关于 的方程。 典例精讲 典例1：直接开平方法 题目：解方程 。 变式1解方程 。 典例2：配方法 题目：解方程 。 变式2解方程 。 典例3：公式法 题目：解方程 。 变式3解方程 。 典例4：因式分解法 题目：解方程 。 变式4解方程 。 典例5：换元法解双二次方程（重难） 题目：解方程 。 变式5解方程 。 典例6：根据判别式求参数（重难） 题目：已知关于 的方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围。 变式6已知关于 的方程 有实数根，求 的最小整数值。 【核心技巧】 · 方法选择： · 优先看能否因式分解（十字相乘、提公因式）； · 二次项系数为1、一次项系数为偶数，优先用配方法； · 其他情况优先用公式法； · 结构复杂的方程，优先考虑换元法。 · 判别式优先：解前先算 ，判断根的情况，避免无效计算。 · 换元法：整体代换，化繁为简，注意回代时的根的取舍。 【易错提醒】 · 误区1：直接开平方法中，漏写“”，导致少一个根。 · 误区2：配方法中，两边加的是“一次项系数一半的平方”，不是一次项系数的平方。 · 误区3：公式法中，代入 时忘记带符号，导致判别式计算错误。 · 误区4：因式分解法中，忘记把方程右边化为0，直接分解导致错误。 · 误区5：换元法中，回代后得到的方程无实数根，直接忽略，导致多根或少根。 · 误区6：根据根的情况求参数时，忽略“二次项系数不为0”的条件。 题型一．解一元二次方程-直接开平方法 1．（2025春•杭州校级期中）形如（x+m）2＝n（n≥0）的方程，它的根是（　　） A．x＝± B．x＝±m C．x＝± D．x＝﹣m± 2．（2025春•永康市期末）用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（　　） A．x2＝0 B．x2﹣2＝0 C．﹣x2+2＝0 D．x2+2＝0 3．（2025春•舟山期中）若关于x的一元二次方程a（x﹣h）2+k＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，则a（x﹣h+1）2+k＝0的解是 ．． 4．（2025春•临平区月考）（1）用开平方法解x2＝16，可得x1＝ ．，x2＝ ．； （2）用开平方法解（x+6）2＝5，可得其中一个一元一次方程是，另一个一元一次方程是 ．． 5．（2025•江北区校级开学）解下列方程： （1）x2﹣4＝0； （2）（2x﹣3）2＝7． （3）9x2﹣16＝0； （4）x2﹣16＝0； （5）（x+2）2＝9； （6）x2﹣3＝0； （7）（x﹣1）2＝3； 题型二．解一元二次方程-配方法 1．（2025•富阳区二模）利用“配方法”解方程x2﹣4x﹣7＝0，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝11 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣4）2＝11 D．（x﹣4）2＝3 2．（2025春•杭州期中）用配方法解方程x2+6x＝7，应在方程两边同时加上（　　） A．9 B．6 C．36 D．3 3．（2025春•柯桥区期末）已知一元二次方程x2﹣4x+m＝0可配成（x﹣n）2＝1，则m+n的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5 4．（2025春•杭州期中）若方程x2+mx+9＝0经过配方法转化成（x﹣3）2＝0，则m的值为 ． ． 5．（2025春•宁波期中）如果方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，那么n﹣m＝ ．． 6．（2025春•萧山区期中）解下列方程： （1）2x2﹣8x﹣1＝0． （2）x2﹣2x﹣1＝0； （3）x2﹣4x+2＝0； （4）x2+2x﹣1＝0； 题型三．解一元二次方程-公式法 1．用公式法解方程x2﹣3＝5x时，a，b，c的值依次是（　　） A．0，﹣3，5 B．1，﹣3，5 C．1，5，﹣3 D．1，﹣5，﹣3 2．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根是（　　） A．x＝1 B．x C．x＝﹣1 D．x 3．（2025春•义乌市校级月考）若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A．x2+2x+4＝0 B．x2﹣2x+4＝0 C．x2+2x﹣4＝0 D．x2﹣2x﹣4＝0 4．对于两个互不相等的实数a，b我们规定符号max{a，b}表示a，b两个数中最大的数．按照这个规定则方程max{x，0}＝x2﹣2的解为 ．． 5．（2025秋•台州期中）解方程： （1）x2+3x﹣1＝0． （2）x2﹣3x+1＝0． （3）2x2﹣3x﹣1＝0． 6．（2025春•秀洲区校级月考）嘉嘉解一元二次方程x2﹣3x＝1的过程如下． 解：整理得x2﹣3x﹣1＝0，…① ∴a＝1，b＝3，c＝1，…② ∴Δ＝b2﹣4ac＝5＞0，…③ ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，…④ ∴，．…⑤ （1）嘉嘉解方程的方法是 ．，他的求解过程从第 ．步开始出现错误； （2）请你写出这个方程正确的解题步骤． 题型四．解一元二次方程-因式分解法 1．（2025春•鹿城区校级期中）一元二次方程2x2＝8x的解为（　　） A．x1＝x2＝4 B．x1＝x2＝0 C．x1＝4，x2＝0 D．x1＝﹣4，x2＝0 2．（2025春•嵊州市期末）方程（x﹣1）（x+2）＝0的解是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣1，x2＝2 D．x1＝1，x2＝﹣2 3．方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（　　） A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣1 4．（2025秋•宁波校级期中）若△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣9x+20＝0的根，则△ABC的周长是（　　） A．9 B．10 C．9或10 D．7或10 5．在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为a※b＝3（a+b）﹣5ab，根据这个规则，方程x※（x+1）＝﹣1的解是（　　） A．x B．x＝1 C．x或x＝1 D．x或x＝1 6．（2025•滨江区校级模拟）定义新运算：m⊕n＝mn+m2，若x⊕（x+1）＝0，则x的值为 ．． 7．（2025秋•宁波校级期中）解方程：x2＝2x； 8．（2025春•东阳市期末）解方程： （1）x2+6x﹣7＝0； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）． 9．解方程：（x+4）2＝5x+20． 10．（2025秋•浙江月考）解方程：x2+3x﹣4＝0． 11．（2025春•嵊州市期中）解方程：x（x﹣5）＝2x﹣10． 12．（2025春•宁海县期中）解下列一元二次方程：2x2﹣x﹣3＝0． 13．（2025秋•仙居县期末）解方程：x2﹣4x+3＝0． 14．（2025秋•天台县期末）解方程：x2﹣6x＝0； 15．（2025春•北仑区期中）用适当的方法解下列方程： （1）x2+x﹣12＝0； （2）（x+5）2＝2（x+5）． 16．（2025春•义乌市校级期中）解方程： （1）3x（x+2）＝2x+4； （2）2x2﹣3x﹣5＝0． 题型五．根的判别式 1．（2025春•拱墅区校级月考）一元二次方程x2﹣2x+1＝0根的情况是（　　） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 2．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有实数根，则a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a＜1 C．a≤1 D．a≥1 3．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c； 其中正确的（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 4．（2025秋•临海市期末）已知关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 ．． 5．（2025秋•仙居县期末）若关于x的方程x2﹣x+p＝0有两个不相等的实数根，则p的取值范围是 ． 6．（2025春•上城区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0． （1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）已知等腰三角形的一边为4，另两边恰好是这个方程的两根，求这个三角形的周长． 7．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 一元二次方程的解法 基础知识梳理 1. 直接开平方法 适用于形如 （）或（）的方程。 原理：若 （），则 。 步骤： ①化：将方程化为“平方项 = 常数”的形式； ②开：两边同时开平方； ③解：得到两个一元一次方程，解之。 2. 配方法 适用于所有一元二次方程，尤其适合二次项系数为1、一次项系数为偶数的方程。 原理：将方程左边配成完全平方式，再用直接开平方法求解。 步骤（以 为例）： ①移：把常数项移到等号右边，； ②配：两边同时加上一次项系数一半的平方，； ③写：左边写成完全平方，； ④开：两边开平方求解。 3. 公式法 适用于所有一元二次方程 （）。 求根公式： 判别式：，根的情况由 决定： ①：方程有两个不相等的实数根； ②：方程有两个相等的实数根； ③：方程没有实数根。 步骤： ①化：将方程化为一般式 ； ②找：确定 ； ③算：计算判别式 ； ④代：若 ，代入求根公式求解。 4. 因式分解法 适用于能因式分解的一元二次方程。 原理：若 ，则 或 。 步骤： ①移：把方程右边化为0； ②分：将左边因式分解为两个一次式的乘积； ③解：令每个一次式分别为0，解一元一次方程。 5. 换元法 适用于结构复杂、可通过换元简化的方程（如双二次方程 ）。 步骤： ①换：设 （或其他合适的整体），将原方程化为关于 的一元二次方程； ②解：解关于 的方程； ③回：将 的值代回，解关于 的方程。 典例精讲 典例1：直接开平方法 题目：解方程 。 【解析】化：两边同时除以2，得 ； 开：两边开平方，得 ； 解：，。 【答案】，。 变式1解方程 。 【解析】化：； 开：； 解：，。 【答案】，。 典例2：配方法 题目：解方程 。 【解析】移：； 配：两边加 ，得 ； 写：； 开：； 解：，。 【答案】，。 变式2解方程 。 【解析】移：； 配：； 开：； 解：，。 【答案】，。 典例3：公式法 题目：解方程 。 【解析】一般式：，，； 判别式：； 代入公式：。 【答案】，。 变式3解方程 。 【解析】，，； ； ； ，。 【答案】，。 典例4：因式分解法 题目：解方程 。 【解析】因式分解：； 令每个因式为0：，。 【答案】，。 变式4解方程 。 【解析】因式分解：； ； 。 【答案】，。 典例5：换元法解双二次方程（重难） 题目：解方程 。 【解析】换：设 ，则原方程化为 ； 解：因式分解得 ，解得 ，； 当 时，； 当 时，。 【答案】，，，。 变式5解方程 。 【解析】换：设 ，则 ； 解：，； ，； ，，无实数根。 【答案】，。 典例6：根据判别式求参数（重难） 题目：已知关于 的方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围。 【解析】方程有两个不相等的实数根，需满足： 是一元二次方程：； 判别式 ：。 综合得 且 。 【答案】 且。 变式6已知关于 的方程 有实数根，求 的最小整数值。 【解析】方程有实数根，： 大于 的最小整数是 。 【答案】 的最小整数值为 。 【核心技巧】 · 方法选择： · 优先看能否因式分解（十字相乘、提公因式）； · 二次项系数为1、一次项系数为偶数，优先用配方法； · 其他情况优先用公式法； · 结构复杂的方程，优先考虑换元法。 · 判别式优先：解前先算 ，判断根的情况，避免无效计算。 · 换元法：整体代换，化繁为简，注意回代时的根的取舍。 【易错提醒】 · 误区1：直接开平方法中，漏写“”，导致少一个根。 · 误区2：配方法中，两边加的是“一次项系数一半的平方”，不是一次项系数的平方。 · 误区3：公式法中，代入 时忘记带符号，导致判别式计算错误。 · 误区4：因式分解法中，忘记把方程右边化为0，直接分解导致错误。 · 误区5：换元法中，回代后得到的方程无实数根，直接忽略，导致多根或少根。 · 误区6：根据根的情况求参数时，忽略“二次项系数不为0”的条件。 题型一．解一元二次方程-直接开平方法 1．（2025春•杭州校级期中）形如（x+m）2＝n（n≥0）的方程，它的根是（　　） A．x＝± B．x＝±m C．x＝± D．x＝﹣m± 【答案】D 【分析】因为方程的左边是一个完全平方式，且被开方数n≥0，所以可以利用数的开方直接求解． 【解答】解：因为n≥0，开方得x+m＝±，移项得：x＝﹣m±．故选D． 2．（2025春•永康市期末）用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（　　） A．x2＝0 B．x2﹣2＝0 C．﹣x2+2＝0 D．x2+2＝0 【答案】D 【分析】利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、∵x2＝0， ∴x＝0， ∴此方程有解， 故A不符合题意； B、∵x2﹣2＝0， ∴x2＝2 ∴x1，x2， 故B不符合题意； C、∵﹣x2+2＝0， ∴x2＝2， ∴x1，x2， 故C不符合题意； D、∵x2+2＝0， ∴x2＝﹣2， 故D符合题意； 故选：D． 3．（2025春•舟山期中）若关于x的一元二次方程a（x﹣h）2+k＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，则a（x﹣h+1）2+k＝0的解是x1＝1，x2＝﹣2　 ． 【答案】x1＝1，x2＝﹣2． 【分析】把方程a（x﹣h+1）2+k＝0看作关于（x+1）的一元二次方程，则利用关于x的一元二次方程a（x﹣h）2+k＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1得到x+1＝2或x+1＝﹣1，然后解一次方程即可． 【解答】解：把方程a（x﹣h+1）2+k＝0看作关于（x+1）的一元二次方程， ∵关于x的一元二次方程a（x﹣h）2+k＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1， ∴x+1＝2或x+1＝﹣1， 解得x1＝1，x2＝﹣2， 即关于x的一元二次方程a（x﹣h+1）2+k＝0的解是x1＝1，x2＝﹣2． 故答案为：x1＝1，x2＝﹣2． 4．（2025春•临平区月考）（1）用开平方法解x2＝16，可得x1＝　4　 ，x2＝　﹣4　 ； （2）用开平方法解（x+6）2＝5，可得其中一个一元一次方程是，另一个一元一次方程是x+6　 ． 【答案】（1）4，﹣4； （2）x+6． 【分析】（1）根据直接开平方法可以得到方程的两个根； （2）根据（x+6）2＝5，可以得到x+6或x+6，本题得以解决． 【解答】解：（1）∵x2＝16， ∴x＝±4， ∴x1＝4，x2＝﹣4， 故答案为：4，﹣4； （2）∵（x+6）2＝5， ∴x+6或x+6， 故答案为：x+6． 5．（2025•江北区校级开学）解下列方程： （1）x2﹣4＝0； （2）（2x﹣3）2＝7． （3）9x2﹣16＝0； （4）x2﹣16＝0； （5）（x+2）2＝9； （6）x2﹣3＝0； （7）（x﹣1）2＝3； 【解答】解：（1）x2﹣4＝0， ∴x2＝4， ∴x1＝2，x2＝﹣2； （2）（2x﹣3）2＝7， ∴， ∴． （3）9x2﹣16＝0， x2， ∴x， ∴x1，x2； （4）原方程移项可得： x2＝16， x＝±4； （5）直接开平方法进行解方程可得： ∴， ∴x+2＝3或x+2＝﹣3， 解得x1＝1，x2＝﹣5； （6）x2﹣3＝0， x2＝3， 则x， 所以； （7）（x﹣1）2＝3， 或， ∴； 题型二．解一元二次方程-配方法 1．（2025•富阳区二模）利用“配方法”解方程x2﹣4x﹣7＝0，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝11 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣4）2＝11 D．（x﹣4）2＝3 【答案】A 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【解答】解：x2﹣4x﹣7＝0， x2﹣4x＝7， x2﹣4x+4＝11， （x﹣2）2＝11． 故选：A． 2．（2025春•杭州期中）用配方法解方程x2+6x＝7，应在方程两边同时加上（　　） A．9 B．6 C．36 D．3 【答案】A 【分析】根据完全平方公式求解即可． 【解答】解：∵x2+6x＝7， ∴x2+6x+9＝7+9，即（x+3）2＝16， 故选：A． 3．（2025春•柯桥区期末）已知一元二次方程x2﹣4x+m＝0可配成（x﹣n）2＝1，则m+n的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5 【答案】D 【分析】利用配方法把一元二次方程变形为（x﹣2）2＝4﹣m，所以n＝2，4﹣m＝1，然后求出m、n的值，最后计算它们的和即可． 【解答】解：x2﹣4x+m＝0， x2﹣4x＝﹣m， x2﹣4x+4＝4﹣m， （x﹣2）2＝4﹣m， ∴n＝2，4﹣m＝1， 解得m＝3， ∴m+n＝3+2＝5． 故选：D． 4．（2025春•杭州期中）若方程x2+mx+9＝0经过配方法转化成（x﹣3）2＝0，则m的值为　﹣6　 ． 【答案】﹣6． 【分析】利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【解答】解：（x﹣3）2＝0， x2﹣6x+9＝0， ∵方程x2+mx+9＝0经过配方法转化成（x﹣3）2＝0， ∴m＝﹣6， 故答案为：﹣6． 5．（2025春•宁波期中）如果方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，那么n﹣m＝ 　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【分析】利用配方法对所给一元二次方程进行变形，再对比即可解决问题． 【解答】解：由题知， x2+4x+n＝0， x2+4x+4＝﹣n+4， （x+2）2＝﹣n+4． 又因为方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3， 所以m＝2，﹣n+4＝3， 则n＝1， 所以n﹣m＝1﹣2＝﹣1． 故答案为：﹣1． 6．（2025春•萧山区期中）解下列方程： （1）2x2﹣8x﹣1＝0． （2）x2﹣2x﹣1＝0； （3）x2﹣4x+2＝0； （4）x2+2x﹣1＝0； 【解答】（1）2x2﹣8x﹣1＝0， x2﹣4x， x2﹣4x+44，即（x﹣2）2， ∴x﹣2＝±， ∴x1＝2，x2＝2． （2）x2﹣2x﹣1＝0， x2﹣2x+1＝2， （x﹣1）2＝2， x﹣1， x＝1， 故方程的解是：或； （3）由题意得，x2﹣4x＝﹣2， x2﹣4x+4＝2， （x﹣2）2＝2， ， 解得：，； （4）x2+2x﹣1＝0， ∴x2+2x＝1， ∴x2+2x+1＝2， 即（x+1）2＝2， ∴， 解得：，； 题型三．解一元二次方程-公式法 1．用公式法解方程x2﹣3＝5x时，a，b，c的值依次是（　　） A．0，﹣3，5 B．1，﹣3，5 C．1，5，﹣3 D．1，﹣5，﹣3 【答案】D 【分析】整理成一般式即可得出答案． 【解答】解：整理成一般式得：x2﹣5x﹣3＝0， ∴a＝1，b＝﹣5，c＝﹣3， 故选：D． 2．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根是（　　） A．x＝1 B．x C．x＝﹣1 D．x 【答案】D 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义可判断方程根的情况． 【解答】解：∵Δ＝12﹣4×（﹣1）＝5＞0， ∴方程有两个不相等的两个实数根， 即x． 故选：D． 3．（2025春•义乌市校级月考）若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A．x2+2x+4＝0 B．x2﹣2x+4＝0 C．x2+2x﹣4＝0 D．x2﹣2x﹣4＝0 【答案】C 【分析】根据解一元二次方程﹣公式法，即可解答． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程的根为， ∴a＝1，b＝2，c＝﹣4， ∴这个方程是x2+2x﹣4＝0， 故选：C． 4．对于两个互不相等的实数a，b我们规定符号max{a，b}表示a，b两个数中最大的数．按照这个规定则方程max{x，0}＝x2﹣2的解为 x＝2或　 ． 【答案】x＝2或． 【分析】分两种情况讨论：当x≥0和x＜0时，根据新定义列出关于x的方程，解方程即可． 【解答】解：当x≥0时，x2﹣2＝x， x2﹣x﹣2＝0， a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝1+8＝9， ， ∴x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）； 当x＜0时，x2﹣2＝0， a＝1，b＝0，c＝﹣2， Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×（﹣2）＝8 ， （不合题意，舍去）， ∴方程max{x，0}＝x2﹣2的解为：x＝2或， 故答案为：x＝2或． 5．（2025秋•台州期中）解方程： （1）x2+3x﹣1＝0． （2）x2﹣3x+1＝0． （3）2x2﹣3x﹣1＝0． 【解答】解：（1）Δ＝9+4＝13， ， ，． （2）x2﹣3x+1＝0， Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝9﹣4＝5＞0， ∴x， ∴x1，x2． （3）a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1， b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17， ， ∴． 6．（2025春•秀洲区校级月考）嘉嘉解一元二次方程x2﹣3x＝1的过程如下． 解：整理得x2﹣3x﹣1＝0，…① ∴a＝1，b＝3，c＝1，…② ∴Δ＝b2﹣4ac＝5＞0，…③ ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，…④ ∴，．…⑤ （1）嘉嘉解方程的方法是 　公式法　 ，他的求解过程从第 　②　 步开始出现错误； （2）请你写出这个方程正确的解题步骤． 【分析】（1）根据题意可得解方程的方法是公式法，根据一次项的系数与常数项错误可得答案； （2）先求解Δ＝b2﹣4ac＝13＞0，再利用公式法求解即可． 【解答】解：（1）嘉嘉解方程的方法是公式法，他的求解过程从第②步开始出现错误 故答案为：公式法，②； （2）整理得x2﹣3x﹣1＝0， ∴a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝13＞0， ∴， ∴． 题型四．解一元二次方程-因式分解法 1．（2025春•鹿城区校级期中）一元二次方程2x2＝8x的解为（　　） A．x1＝x2＝4 B．x1＝x2＝0 C．x1＝4，x2＝0 D．x1＝﹣4，x2＝0 【答案】C 【分析】用因式分解法解一元二次方程即可． 【解答】解：2x2＝8x， 2x2﹣8x＝0， 2x（x﹣4）＝0， ∴x1＝0，x2＝4， 故选：C． 2．（2025春•嵊州市期末）方程（x﹣1）（x+2）＝0的解是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣1，x2＝2 D．x1＝1，x2＝﹣2 【答案】D 【分析】方程利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【解答】解：方程（x﹣1）（x+2）＝0， 可得x﹣1＝0或x+2＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣2， 故选：D． 3．方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（　　） A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣1 【答案】B 【分析】先移项得到（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，再利用因式分解法把方程转化为x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣2﹣2x）＝0， x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0， 所以x1＝2，x2＝﹣2． 故选：B． 4．（2025秋•宁波校级期中）若△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣9x+20＝0的根，则△ABC的周长是（　　） A．9 B．10 C．9或10 D．7或10 【答案】A 【分析】利用因式分解法解出方程，根据三角形的三边关系确定第三边的长，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：x2﹣9x+20＝0， 则（x﹣4）（x﹣5）＝0， ∴x﹣4＝0或x﹣5＝0， 则x1＝4，x2＝5， ∵2+3＝5， ∴第三边的长为4， ∴△ABC的周长＝2+3+4＝9， 故选：A． 5．在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为a※b＝3（a+b）﹣5ab，根据这个规则，方程x※（x+1）＝﹣1的解是（　　） A．x B．x＝1 C．x或x＝1 D．x或x＝1 【答案】C 【分析】分析题意，按新定义的运算对方程变形可得3[x+（x+1）]﹣5x（x+1）＝﹣1；对以上方程整理，先化为一般形式，再因式分解，可得（5x+4）（x﹣1）＝0；接下来用一元一次方程的解法求出方程的两个解即可． 【解答】解：∵a※b＝3（a+b）﹣5ab， ∴方程x※（x+1）＝﹣1变形为3[x+（x+1）]﹣5x（x+1）＝﹣1， ∴5x2﹣x﹣4＝0， ∴（5x+4）（x﹣1）＝0， ∴5x+4＝0，x﹣1＝0， ∴x或x＝1． 故选：C． 6．（2025•滨江区校级模拟）定义新运算：m⊕n＝mn+m2，若x⊕（x+1）＝0，则x的值为　0或﹣0.5　 ． 【答案】0或﹣0.5． 【分析】根据题意，可得x（x+1）+x2＝0，解方程即可． 【解答】解：由条件可知x⊕（x+1）＝x（x+1）+x2， ∴x（x+1）+x2＝0， ∴2x2+x＝0， ∴x（2x+1）＝0， ∴x＝0或x＝﹣0.5， 故答案为：0或﹣0.5． 7．（2025秋•宁波校级期中）解方程：x2＝2x； 【解答】解：原方程移项可得：x2﹣2x＝0， x（x﹣2）＝0， x＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝0，x2＝2； 8．（2025春•东阳市期末）解方程： （1）x2+6x﹣7＝0； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）． 【分析】（1）利用因式分解法（十字相乘）求解比较简便； （2）把2x+1看成一个整体，运用因式分解法（提公因式）求解比较简便． 【解答】解：（1）x2+6x﹣7＝0， （x+7）（x﹣1）＝0， ∴x+7＝0或x﹣1＝0． ∴x1＝﹣7，x2＝1； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）， 移项，得4x（2x+1）﹣3（2x+1）＝0， ∴（2x+1）（4x﹣3）＝0． ∴2x+1＝0或4x﹣3＝0． ∴x1，x2． 9．解方程：（x+4）2＝5x+20． 【解答】解：（x+4）2＝5x+20， x2+8x+16＝5x+20， x2+3x+﹣4＝0， （x﹣1）（x+4）＝0， x﹣1＝0或x+4＝0， 解得：x＝1或x＝﹣4． 10．（2025秋•浙江月考）解方程：x2+3x﹣4＝0． 【解答】解：原方程分解因式可得： ∴（x+4）（x﹣1）＝0， 解得x1＝﹣4，x2＝1． 11．（2025春•嵊州市期中）解方程：x（x﹣5）＝2x﹣10． 【解答】解：由题意得，x（x﹣5）＝2（x﹣5）， x（x﹣5）﹣2（x﹣5）＝0， （x﹣2）（x﹣5）＝0， x﹣2＝0或x﹣5＝0， 解得：x1＝5，x2＝2． 12．（2025春•宁海县期中）解下列一元二次方程：2x2﹣x﹣3＝0． 【解答】解：2x2﹣x﹣3＝0 ∴（x+1）（2x﹣3）＝0， ∴x+1＝0，2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，． 13．（2025秋•仙居县期末）解方程：x2﹣4x+3＝0． 【解答】解：x2﹣4x+3＝0， （x﹣1）（x﹣3）＝0， 则x﹣1＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝1，x2＝3． 14．（2025秋•天台县期末）解方程：x2﹣6x＝0； 【解答】解：x2﹣6x＝0， x（x﹣6）＝0， x＝0或x﹣6＝0， x1＝0，x2＝6； 15．（2025春•北仑区期中）用适当的方法解下列方程： （1）x2+x﹣12＝0； （2）（x+5）2＝2（x+5）． 【分析】（1）方程的左边利用十字相乘法因式分解后求解可得； （2）移项后，提取公因式（x+5），因式分解法求解可得． 【解答】解：（1）原方程因式分解得： （x﹣3）（x+4）＝0， ∴x﹣3＝0或x+4＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣4； （2）原方程整理得（x+5）2﹣2（x+5）＝0， （x+5）（x+3）＝0， ∴x+5＝0或x+3＝0， 解得x1＝﹣5，x2＝﹣3． 16．（2025春•义乌市校级期中）解方程： （1）3x（x+2）＝2x+4； （2）2x2﹣3x﹣5＝0． 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可求得答案． 【解答】解：（1）3x（x+2）＝2x+4， 3x（x+2）＝2（x+2）， （3x﹣2）（x+2）＝0， ∴3x﹣2＝0或x+2＝0， ∴x1，x2＝﹣2； （2）2x2﹣2x﹣5＝0， （2x﹣5）（x+1）＝0， ∴2x﹣5＝0或x+1＝0， ∴x1，x2＝﹣1． 题型五．根的判别式 1．（2025春•拱墅区校级月考）一元二次方程x2﹣2x+1＝0根的情况是（　　） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】B 【分析】先进行判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 2．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有实数根，则a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a＜1 C．a≤1 D．a≥1 【答案】C 【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4a≥0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4a≥0， 解得：a≤1． 故选：C． 3．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c； 其中正确的（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】①a+b+c＝0说明原方程有根是1，即可判断； ②判断方程的根的情况，根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号即可判断； ③c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，整理后即可判断； ④根据am2+bm+c﹣（an2+bn+c）＝（m﹣n）[a（m+n）+b]．得到当a（m+n）+b＝0时，am2+bm+c﹣（an2+bn+c）＝0．于是得到结论． 【解答】解：①若a+b+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0必有一个根为1， ∴b2﹣4ac≥0，正确； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则﹣4ac＞0，可知b2﹣4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，正确； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0， 若c＝0时，ac+b+1＝0不成立，错误； ④am2+bm+c﹣（an2+bn+c）＝a（m2﹣n2）+b（m﹣n）＝a（m+n）（m﹣n）+b（m﹣n）＝（m﹣n）[a（m+n）+b]． ∵m≠n． ∴m﹣n≠0． ∴当a（m+n）+b＝0时，am2+bm+c﹣（an2+bn+c）＝0． ∴存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c．正确． 故选：B． 4．（2025秋•临海市期末）已知关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为　1　 ． 【答案】1． 【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝0， ∴4﹣4k＝0， 解得k＝1． 故答案为：1． 5．（2025秋•仙居县期末）若关于x的方程x2﹣x+p＝0有两个不相等的实数根，则p的取值范围是p　 ． 【答案】p． 【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+p＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， 即：1﹣4p＞0， 解得：p， 故答案为：p． 6．（2025春•上城区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0． （1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）已知等腰三角形的一边为4，另两边恰好是这个方程的两根，求这个三角形的周长． 【分析】（1）根据根的判别式的意义得Δ的值，于是得到结论； （2）分两种情况：当腰为4时，当底为4时，解方程即可得到结论． 【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2． ∵（m﹣3）2≥0，即Δ≥0， ∴无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）解：当腰为4时， 把x＝4代入x2﹣（m+3）x+3m＝0， 得，16﹣4m﹣12+3m＝0， 解得m＝4； 方程的另一个解为x＝3， 此时三角形的周长为：3+4+4＝11， 当底为4时，则程x2﹣（m+3）x+3m＝0有两相等的实数根， ∴Δ＝0， ∴（m﹣3）2＝0， ∴m＝3，此时方程的解为3， 三角形的周长为：3+3+4＝10 综上所述，三角形的周长为：11或10． 7．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝1＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根； （2）利用因式分解法可求出AB，AC的长，分BC为直角边及BC为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于k的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出k值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0， 解得：x1＝k，x2＝k+1． 当BC为直角边时，k2+52＝（k+1）2， 解得：k＝12； 当BC为斜边时，k2+（k+1）2＝52， 解得：k1＝3，k2＝﹣4（不合题意，舍去）． 答：k的值为12或3． 学科网（北京）股份有限公司 $