专题2.2 一元二次方程的解法（高效培优讲义）数学浙教版八年级新教材下册

专题2.2 一元二次方程的解法 教学目标 1.掌握一元二次方程的常见解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），能根据方程特点选择合适解法求解。 2.理解每种解法的核心原理，熟练完成解题步骤，能检验方程的解是否正确，规避计算、配方等常见错误。 3.能运用一元二次方程的解法解决简单的实际问题，初步实现知识的应用迁移。 教学重难点 1.重点 （1） 四种解法的步骤与应用：掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的完整解题程，能根据方程特点选择合适解法 （2） 公式法的推导与应用：理解配方法推导求根公式的过程，熟记求根公式和判别式的计 算方法。 （3）因式分解法的核心思想：掌握 “降次” 转化的思想（将一元二次方程转化为两个一元一次方程）。 （4）判别式的作用：会用 Δ=b2−4ac 判断一元二次方程实数根的情况。 2.难点 （1）配方法的配方过程：尤其是二次项系数不为 1 时，如何正确 “化 1” 和 “配方”，理解 “一次项系数一半的平方” 的由来。 （2）十字相乘法的因式分解：对系数搭配的敏感度低，难以快速找到合适的两个数进行分解。 （3）含参数方程的分类讨论：判断参数对二次项系数的影响，以及结合判别式求参数取值范围的逻辑。 （4）“降次” 数学思想的理解：让学生明白四种解法的本质都是将 “二次” 转化为 “一次”，体会转化思想在数学中的应用。 知识点01 解一元二次方程-直接开平方 注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数 （2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 （3）方法是根据平方根的意义开平方 【即学即练】 1．方程的解是(    ) A． B． C． D． 2．解方程：． 3．求的值： (1)； (2)． 知识点02 解一元二次方程-配方法 一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 【即学即练】 1．用配方法解一元二次方程，此方程可化为（　　） A． B． C． D． 2．解方程：． 知识点03 解一元二次方程-公式法 一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 ①b²-4ac≥0 时，方程有两个不相等的实数根； ② b²-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根； ③b²-4ac＜0时，方程无实数根，反之亦成立 【即学即练】 1．一元二次方程根的情况是（  ） A．根的情况无法判断 B．无实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 2.若关于的方程有实数解，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 3．若一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 4．解方程：． 5．解方程 (1) (2) 知识点04 解一元二次方程-因式分解 （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 【即学即练】 1．方程的解是（  ） A．，B．C．， D． 2．方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 知识点05 一元二次方程的根与系数关系 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 解题技巧： 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理 【即学即练】 1．已知一元二次方程的一个根为．则另一个根为（    ） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程的两个根是，，则的值为（   ） A．8 B． C． D．2 题型01 解一元二次方程-直接开平方 【典例1】解方程： (1)； (2)． 【变式1】求下列各式中的值： (1)； (2)． 【变式2】解下列方程： (1)； (2) 【变式3】用开平方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 题型02 解一元二次方程-配方法 【典例2】用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式1】用配方法解方程：． 【变式2】下面是刘老师讲解一元二次方程的解法时，在黑板上的板书过程． 请认真阅读并完成相应的任务． 解方程：． 解：第一步 第二步 第三步 第四步 ，第五步 任务： (1)刘老师解方程的方法是_____． A．直接开平方法        B．配方法        C．公式法        D．因式分解法 (2)利用刘老师的解法解方程：． 【变式3】用配方法解方程：； 题型03 根据一元二次方程判断根的情况 【典例3】利用判别式判断方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程有一个实数根 D．方程无实数根 【变式1】一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【变式2】关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 【变式3】一元二次方程的根的情况为（    ） A．无实数根 B．有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 题型04 根据一元二次方程根的情况求参数 【典例4】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【变式2】若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【变式3】若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可能是（   ） A．9 B．1 C．0 D． 题型05 解一元二次方程-公式法 【典例5】解方程：（公式法） 【变式1】用公式法解方程：． 【变式2】用公式法解方程： (1)； (2)； (3)． 【变式3】用公式法解方程： (1)． (2) 题型06 解一元二次方程-因式分解法 【典例5】解方程：． 【变式1】解方程：． 【变式2】解方程： (1)； (2)． 【变式3】解方程 (1) (2) 题型07 根与系数的关系 【典例7】已知，分别是方程的两个实数根，则的值是（   ） A． B． C．3 D．1 【变式1】已知一元二次方程的两根分别为，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 【变式2】已知方程有两个实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3】若，分别是一元二次方程 的两个根，则 的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 1．一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断根的情况 3．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知关于的一元二次方程，根据，可得“”内的数是（） A． B．1 C． D．3 5．对于实数a、b，定义运算“★”：，关于x的方程恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（） A． B． C． D． 6．已知，是方程的两根，则的值为（   ） A．5 B．10 C．13 D．14 7．一元二次方程的根是 ． 8．若关于x的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是 ． 9．已知关于的方程，若等腰三角形的底边长为4，两腰长恰好是这个方程的两实数根，则这个三角形的周长为 ． 10．解一元二次方程： (1)； (2)． 11．解下列一元二次方程 (1) (2) 12．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，求方程的根． 13．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例如：分解因式：； 又例如：求代数式的最小值：， 又； 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知实数，满足，求的值； 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 一元二次方程的解法 教学目标 1.掌握一元二次方程的常见解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），能根据方程特点选择合适解法求解。 2.理解每种解法的核心原理，熟练完成解题步骤，能检验方程的解是否正确，规避计算、配方等常见错误。 3.能运用一元二次方程的解法解决简单的实际问题，初步实现知识的应用迁移。 教学重难点 1.重点 （1） 四种解法的步骤与应用：掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的完整解题程，能根据方程特点选择合适解法 （2） 公式法的推导与应用：理解配方法推导求根公式的过程，熟记求根公式和判别式的计 算方法。 （3）因式分解法的核心思想：掌握 “降次” 转化的思想（将一元二次方程转化为两个一元一次方程）。 （4）判别式的作用：会用 Δ=b2−4ac 判断一元二次方程实数根的情况。 2.难点 （1）配方法的配方过程：尤其是二次项系数不为 1 时，如何正确 “化 1” 和 “配方”，理解 “一次项系数一半的平方” 的由来。 （2）十字相乘法的因式分解：对系数搭配的敏感度低，难以快速找到合适的两个数进行分解。 （3）含参数方程的分类讨论：判断参数对二次项系数的影响，以及结合判别式求参数取值范围的逻辑。 （4）“降次” 数学思想的理解：让学生明白四种解法的本质都是将 “二次” 转化为 “一次”，体会转化思想在数学中的应用。 知识点01 解一元二次方程-直接开平方 注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数 （2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 （3）方法是根据平方根的意义开平方 【即学即练】 1．方程的解是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．先移项，然后直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：C． 2．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 整理后根据直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 3．求的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的关键． （）根据等式的性质以及平方根的定义进行计算即可； （）根据等式的性质以及立方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：， 移项得，， 两边都除以得，， 由平方根的定义得，； （2） 移项得，， 两边都除以得，， 由立方根的定义得，， 解得． 知识点02 解一元二次方程-配方法 一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 【即学即练】 1．用配方法解一元二次方程，此方程可化为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟知配方法是解答的关键．使用配方法，将常数项移项后，加上一次项系数一半的平方，完成配方即可． 【详解】解：∵方程， ∴移项得， ∴方程两边加16得， 即， ∴此方程可化为． 故选：A． 2．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程等知识．用配方法解一元二次方程即可求解，本题也可以采用公式法，因式分解法解方程． 【详解】解： 移项得 ， 配方得 ， 即， ∴， ∴． 知识点03 解一元二次方程-公式法 一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 ①b²-4ac≥0 时，方程有两个不相等的实数根； ② b²-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根； ③b²-4ac＜0时，方程无实数根，反之亦成立 【即学即练】 1．一元二次方程根的情况是（  ） A．根的情况无法判断 B．无实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键． 当 时，有两个不相等的实数根；当 时，有两个相等的实数根；当 时，无实数根． 通过计算判别式的值来判断方程根的情况即可． 【详解】解：∵对于一元二次方程，，，， ∴， ∴方程无实数根． 故选B． 2.若关于的方程有实数解，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查根据一元二次方程的根的情况求参数．分类讨论方程是一元一次方程和一元二次方程的情况，结合判别式求解． 【详解】解：当 即 时，方程化为 ， 解得 ，有实数解； 当 即 时，方程为一元二次方程， 判别式 ， ∴ ； 综上，． 故选：A． 3．若一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握“一元二次方程有实数根需满足二次项系数不为0且根的判别式”是解题的关键． 先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式确定实数根的条件，综合求解k的范围． 【详解】解：方程是一元二次方程， ， ， 方程有实数根， ， 解得， 且， 故选： 4．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，利用一元二次方程的判别式求出的值，再利用求根公式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 5．解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程： （1）采用公式法求解即可； （2）采用公式法求解即可． 【详解】（1），， ∵ ∴ 即， （2）将方程化为一般形式，得 ，， ∵ ∴ 即， 知识点04 解一元二次方程-因式分解 （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 【即学即练】 1．方程的解是（  ） A．，B．C．， D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解法-因式分解法，通过因式分解法求解一元二次方程． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 即或， ∴方程的解为，， 故选：A． 2．方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，将方程移项后，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， 解得， 故选：C． 4 知识点05 一元二次方程的根与系数关系 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 解题技巧： 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理 【即学即练】 1．已知一元二次方程的一个根为．则另一个根为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，即根的和等于，代入已知根求解另一个根即可． 【详解】∵方程 的一个根为， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．关于x的一元二次方程的两个根是，，则的值为（   ） A．8 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 根据根与系数的关系得到，，代入计算即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个根是，， ∴，， ∴． 故选：A． 题型01 解一元二次方程-直接开平方 【典例1】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以2，接着把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 【变式1】求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了平方根，先移项，得，根据平方根的定义，算出的平方根； （2）本题考查了立方根，先移项，得，两边同时除以，得，将看作整体，求出的立方根，再解关于的一元一次方程． 【详解】（1）， ； （2）， ， ， ． 【变式2】解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键； （1）利用直接开方法解方程即可； （2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ∴ 或 ， ∴ ，． （2）解： ∴ 或 ∴ ，． 【变式3】用开平方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程． （1）先通过移项得，再将系数化为1得，最后开方得出结果； （2）将式子直接开方即可得出结果； （3）先移项得，再开方得，最后即可得出结果； （4）两边同时开方得，分别解出两个式子的值即可得出结果． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得，． （2）解：， ， 解得，． （3）解：， ， ， 解得，． （4）解：， ， ∴或， 解得，． 题型02 解一元二次方程-配方法 【典例2】用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 两边同除以3，得 移项，得 配方，得，即 两边开平方，得，即或 ∴，； （2）解： 两边同除以2，得 移项，得 配方，得，即 两边开平方，得，即或． ∴，． 【变式1】用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方；④再直接开平方求解．据此解答即可． 【详解】解： 或 ∴，． 【变式2】下面是刘老师讲解一元二次方程的解法时，在黑板上的板书过程． 请认真阅读并完成相应的任务． 解方程：． 解：第一步 第二步 第三步 第四步 ，第五步 任务： (1)刘老师解方程的方法是_____． A．直接开平方法        B．配方法        C．公式法        D．因式分解法 (2)利用刘老师的解法解方程：． 【答案】(1)B； (2)，． 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的求解过程是解答的关键． （1）根据解方程过程可得结论； （2）仿照例题中的配方法求解过程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，刘老师解方程的方法是配方法， 故选：B； （2）解： 解得，． 【变式3】用配方法解方程：； 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 先把3移到方程的右边，两边都除以2，然后方程两边都加，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，两边同时开平方即可． 【详解】解：， ， ， 配方得：，即， 开方得： ， 解得：， ． 题型03 根据一元二次方程判断根的情况 【典例3】利用判别式判断方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程有一个实数根 D．方程无实数根 【答案】A 【分析】计算判别式的值判断二次方程根的情况即可，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的情况是解题的关键． 【详解】解：对于方程 ， ， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选：A． 【变式1】一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的根的判别式解答即可． 【详解】解：∵方程的判别式， ∴方程没有实数根； 故选：A． 【变式2】关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：一元二次方程为 ，其中二次项系数，一次项系数，常数项， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【变式3】一元二次方程的根的情况为（    ） A．无实数根 B．有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况，利用判别式判断根的情况是解题的关键． 通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况即可． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴， 当时，，此时方程有两个相等的实数根； 当时，，此时方程有两个不相等的实数根； ∴方程有实数根， 故选：B． 题型04 根据一元二次方程根的情况求参数 【典例4】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，得到判别式大于零，从而求解不等式． 【详解】解∵ 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 判别式， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 【变式1】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；一元二次方程有两个相等实数根的条件是判别式为零且二次项系数不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵方程有两个相等实数根， ∴， 解得， 又∵，满足条件， ∴实数的值为4． 故选：D． 【变式2】若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，根据一元二次方程有实数根的条件：二次项系数不为零且判别式非负，列不等式求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 其中， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 【变式3】若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可能是（   ） A．9 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 将方程化为标准形式，利用判别式小于零求解． 【详解】解：∵方程可化为， ∴判别式， ∵方程没有实数根， ∴，即， ∴， 选项中只有满足． 故选：D． 题型05 解一元二次方程-公式法 【典例5】解方程：（公式法） 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：，． 【变式1】用公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键；先化为一元二次方程的一般形式，再计算出判别式，最后用公式法即可求解． 【详解】解：原方程化为：， ∵， ∴， ∴． 【变式2】用公式法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，； (2)方程没有实数解； (3)，． 【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到 ，然后利用求根公式得到方程的解； （2）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值得到 ，然后利用根的判别式的意义判断方程没有实数解； （3）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值得到 ，然后利用求根公式得到方程的解． 【详解】（1）解：， ，，， ， ， ，； （2）， 方程化为一般式为， ，，， ， 方程没有实数解； （3）， 方程化为一般式为， ，，， ， ， ，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 【变式3】用公式法解方程： (1)． (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）利用公式法解答即可求解； （）利用公式法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握公式法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 题型06 解一元二次方程-因式分解法 【典例5】解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， 因式分解，得， 所以或， 解得，． 【变式1】解方程：． 【答案】 ， 【分析】本题考查了一元二次方程的求法，熟练掌握因式分解法是解决本题的关键． 先因式分解，化成两个一元一次方程，再解一元一次方程即可． 【详解】解：， 因式分解，得， ∴或， ∴，． 【变式2】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）先化简成一般形式，再进行因式分解，即可求解； （2）先化简成一般形式，再进行因式分解，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 解得． （2）解：， ， ， ， 解得． 【变式3】解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）根据因式分解法解一元二次方程即可 （2）根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， 解得：． （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 题型07 根与系数的关系 【典例7】已知，分别是方程的两个实数根，则的值是（   ） A． B． C．3 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系：，直接计算两根之积即可解答． 【详解】解：∵，分别是方程的两个实数根，其中，，， ∴两根之积． 故选：B． 【变式1】已知一元二次方程的两根分别为，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握两根之和与两根之积的公式是解题关键.根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算即可. 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为,, ∴ ,, ∴ . 故选：A 【变式2】已知方程有两个实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程和韦达定理，掌握解一元二次方程的方法和韦达定理是解题关键． 本题所给一元二次方程较简单，可解出方程的根，再代入求解即可；也可通分所求式子，再用韦达定理求解即可． 【详解】解：法一：方程 因式分解，得 ， ∴ ，， ∴ ； 法二：由韦达定理，可得，， ∴， 故选：C． 【变式3】若，分别是一元二次方程 的两个根，则 的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，若，是一元二次方程的两根时，，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】∵，是方程的根， ∴，， 即，， ∴． 故选：B． 1．一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程，通过因式分解法求解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 即，， ∴一元二次方程的解是，． 故选：A． 2．一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，准确的计算是解决本题的关键． 通过计算判别式的值来判断根的情况进而分析选项即可． 【详解】解：在中，， ∴ ， ∴方程有两个相等的实数根． 故选A． 3．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据所给式子，找到对应完全平方式的常数项是解题关键． 由，判断出配方后方程左边的式子应为，将原方程通过移项、合并同类项配方即可． 【详解】∵ ， 移项，得 ， 方程两边同时加4，得 ，即 ， 故选：A． 4．已知关于的一元二次方程，根据，可得“”内的数是（） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知是解题的关键． 根据题目中给出的判别式计算过程，可得“”内的数是3． 【详解】解：∵一元二次方程为，其中,, 判别式为， ∴，即“”内的数是3， 故选：D． 5．对于实数a、b，定义运算“★”：，关于x的方程恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义运算，由于恒成立，因此运算使用第二种情况，将方程化为二次方程，根据判别式大于零求解即可． 【详解】解：∵， ，且， ∴， ∴， ∴方程化为，即， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故选：D． 6．已知，是方程的两根，则的值为（   ） A．5 B．10 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程的根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再通过恒等变形计算所求代数式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴， 故选：C． 7．一元二次方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 通过因式分解法求解一元二次方程． 【详解】解：方程， 提取公因式，得， 因此或， 即，． 故答案为：， 8．若关于x的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 9．已知关于的方程，若等腰三角形的底边长为4，两腰长恰好是这个方程的两实数根，则这个三角形的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了一元二次方程的判别式，解一元二次方程，掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键，由腰长恰好是这个方程的两实数根得，求出k值，代入方程求出两根，最后求出周长即可． 【详解】解：∵两腰长恰好是这个方程的两实数根， ∴ ， 解得 ， 代入方程得 ， 解得 ， 即腰长为3， ∵， ∴符合三角形三边要求， ∴周长为 ， 故答案为：10． 10．解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及因式分解法解一元二次方程等知识，熟练掌握因式分解法解一元二次方程，是解题的关键． （1）由提公因式因式分解法直接求解即可得到答案； （2）由十字相乘因式分解法直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， ∴或, ∴； （2）解：， 因式分解，得， ∴或， ∴． 11．解下列一元二次方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法． （1）使用配方法解方程； （2）通过移项和因式分解法解方程． 【详解】（1）解： 移项得 配方得 即 开方得 ∴ ， （2）解： 移项得 提取公因式得 ∴ 或 ∴ ， 12．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，求方程的根． 【答案】(1) (2), 【分析】本题主要考查了根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）代入，再利用因式分解法解该方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得：． （2）解：当时，原方程为： ∴ 解得 ，． 13．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例如：分解因式：； 又例如：求代数式的最小值：， 又； 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知实数，满足，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，平方差公式，非负数的性质，解题时要注意配方的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． ()根据阅读材料，先将配方后，再利用平方差公式分解即可； ()利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质求出的值，代入计算即可； 【详解】（1）（1）解： ； （2）， ， ， ， ， 解得：， ； 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $