精品解析：广东珠海市斗门区2025-2026学年第一学期期末考试八年级数学试题

2025—2026学年度第一学期期末考试 八年级数学试题 说明： 1．全卷共4页．满分120分，考试用时120分钟． 2．答案写在答题卷上，在试卷上作答无效． 3．用黑色字迹钢笔或签字笔按各题要求写在答题卷上，不能用铅笔和红色字迹的笔． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 长度分别为2，4，x的三条线段，能组成一个三角形，则x的值可以是（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 9 3. 小智不小心把一块三角形模具摔坏了，他带了图中阴影部分所示的那一半去商店就买回了和原来一模一样的三角形模具，这两个三角形模具完全相同的依据是（ ） A. B. C. D. 4. 近期，洰水国家湿地公园陆续迎来大批候鸟越冬，其中中华秋沙鸭是第9年来此过冬，它的嘴峰有米长．“米”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 平分 8. 昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（ ） A. B. C. D. 9. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式“)”时，得到了各不相同的四个结果：甲，；乙，；丙，；丁，．已知四位同学中只有1人计算正确，且“”处的数字是正数．则计算结果正确的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若分式有意义，则的取值范围是_________________． 12. 分解因式：________． 13. 一副含30°角和45°角的直角三角板如图摆放，则∠1的度数为__________． 14. 如图，已知，若要用“”证明，则还需补充条件______． 15. 如图，等边中，是的中点， 于点，，则 ___________． 三、解答题（一）：本大题3小题，每小题7分，共21分． 16. 已知．求： （1）的值； （2）的值． 17. 某学生化简分式出现了错误，解答过程如下： 原式（第一步） （第二步） ．（第三步） （1）该学生解答过程是从第________步开始出错的； （2）请写出此题正确的解答过程． 18. 如图，已知． （1）用尺规作图作出的垂直平分线，垂足为点，交于点； （2）连接，若，，则___________． 四、解答题（二）：本大题3小题，每小题9分，共27分． 19. 在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来可拼成一个平角和度量，计算验证了三角形的内角和等于 ．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于 ．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将 撕下，按图2的方式拼摆，使 与的顶点重合， 的一边与重合． 理由：， ___________． 即． （1）任务一：补全小颖的说理过程； （2）任务二：小聪受小颖的启发，如图3，一个角也不撕，延长且过点 作，也能说明三角形的内角和等于 ，请你帮助小聪写出说理过程． 20. 如图，为等边三角形，点 是线段上的任意一点，点是线段上任意一点，且，直线 与交于点． （1）求证：； （2）求的大小． 21. 甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件． （1）求这种商品的单价； （2）甲、乙两人第二次再去果购该商品时，单价比上改少了20元．甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相网，则甲两次购买这种商品的平均单价是______元，乙两次购买这种商品的平均单价是_________元． 五、解答题（三）：本大题2小题，22题13分，23题14分，共27分． 22. 【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如： 因此8，16，24，32都是“神秘数”． （1）【数学理解】根据“神秘数”规律填空：（____）；（____）（____）； （2）【知识技能】斗门广播电台频率为“FM928”，928是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差？如果不是，请说明理由； （3）【深入探究】试说明“神秘数”一定是8的倍数； （4）【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼叠到正方形，正方形的边长99，求阴影部分面积的和． 23. 【问题背景】如图1，与均为等腰直角三角形，其中，， ． 【构建联系】 （1）如图2，连接交于点，探究与数量和位置关系； 【深入探究】 （2）如图3，在（1）的基础上连接，连接 并延长 交于点， ①求证：平分； ②若，，则的面积为___________； 【知识拓展】 （3）如图4，连接，是 的中点，连接 ，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末考试 八年级数学试题 说明： 1．全卷共4页．满分120分，考试用时120分钟． 2．答案写在答题卷上，在试卷上作答无效． 3．用黑色字迹钢笔或签字笔按各题要求写在答题卷上，不能用铅笔和红色字迹的笔． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，关键是利用定义进行判断；根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：∵轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合， ∴B是轴对称图形， 故选：B ． 2. 长度分别为2，4，x的三条线段，能组成一个三角形，则x的值可以是（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系定理，掌握相关知识是解决问题的关键．三角形三边中任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式求解 的取值范围即可得解． 【详解】解：∵ 三边长度分别为2，4， ， ∴ ， ∴ x的取值范围为． 选项中只有5满足条件． 故选：B． 3. 小智不小心把一块三角形模具摔坏了，他带了图中阴影部分所示的那一半去商店就买回了和原来一模一样的三角形模具，这两个三角形模具完全相同的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和应用． 根据题干图判断即可． 【详解】解：由图可知，阴影部分底边两边及其夹角是完整的， 即这两个三角形模具完全相同的依据是． 故选：C． 4. 近期，洰水国家湿地公园陆续迎来大批候鸟越冬，其中中华秋沙鸭是第9年来此过冬，它的嘴峰有米长．“米”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中， 为整数，表示时关键要正确确定的值以及 的值． 用科学记数法将，表示为即可． 【详解】解：∵， ∴ 选项B正确， 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法等运算，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 利用合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法等运算法则，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，不是同类项，无法合并，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、 ，该选项错误，不符合题意； D、 ，该选项正确，符合题意； 故选：D． 6. 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、是单项式，不符合题意因式分解的定义，不是因式分解，不符合题意； B、是因式分解，符合题意； C、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； D、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意． 故选：B． 7. 如图，中，，是 中点，下列结论中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角和三线合一定理，根据等边对等角可判断A，根据三线合一定理可判断B、D，根据现有条件无法推出C中的结论，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴； ∵是 中点， ∴， 平分， 根据现有条件无法得到 ， ∴四个选项中只有C选项中的结论不一定成立， 故选：C． 8. 昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最短路径，先作点A关于街道的对称点，再连接 ，与街道的所在直线的交点即为点 ，此时，满足A、B两小区到学校的距离之和最小，即可作答． 【详解】解：∵要使A、B两小区到学校的距离之和最小， ∴先作点A关于街道的对称点，再连接 ，与街道的所在直线的交点即为点 ，学校C的位置如图所示： ∴此时， 故选：C． 9. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，据此求解即可． 【详解】解：=， 故选A． 【点睛】本题考查了分式的除法，要熟练掌握，分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 10. 甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式“)”时，得到了各不相同的四个结果：甲，；乙，；丙，；丁，．已知四位同学中只有1人计算正确，且“”处的数字是正数．则计算结果正确的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法运算及多项式各项系数的特征，解题的关键是通过设未知数表示多项式展开式，结合常数项和一次项系数的符号及数值特征排除错误选项． 设 “” 为正数a，展开多项式得，根据常数项符号排除丙、丁；对于甲与乙，可根据一次项系数、常数项对应相等分别求得a值，保持一致性的确定为正确结果． 【详解】解：设 “” 为正数a，则， ∴常数项，但丙与丁的常数项均为正数，故排除丙与丁． 若，得且， 均解得，故甲符合题意； 若，得且， 解得与，矛盾，无解，故乙不符合题意； 综上，只有甲符合题意， 故选：A． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若分式有意义，则 的取值范围是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件． 根据分式有意义的条件作答即可． 【详解】解： 分式有意义， ， 解得，． 故答案为：． 12. 分解因式：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分解因式，利用完全平方公式分解即可，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 一副含30°角和45°角的直角三角板如图摆放，则∠1的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键；根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：如图； 由题意得： ∴ 故答案为：． 14. 如图，已知，若要用“”证明，则还需补充条件______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，熟记定理是解此题的关键． 已知公共边为斜边，再添加一组直角边相等，即可求解． 【详解】补充， 在 和 中， ， ∴， 补充， 在 和 中， ， ∴． 故答案为：或． 15. 如图，等边中，是的中点， 于点，，则 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质以及线段中点的定义，熟练掌握在直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 利用等边三角形的性质，得到，由，在中，求得，从而得到因为是 中点，且 ，所以，进而推出．结合，列方程求出的长度． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， 是 的中点， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 三、解答题（一）：本大题3小题，每小题7分，共21分． 16. 已知．求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值、完全平方公式的变形，关键是灵活应用公式进行求解； （1）将代数式去括号后，整体代入求值即可； （2）将完全平方公式变形后，求值即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 某学生化简分式出现了错误，解答过程如下： 原式（第一步） （第二步） ．（第三步） （1）该学生解答过程是从第________步开始出错的； （2）请写出此题正确的解答过程． 【答案】（1）一，分式的基本性质用错； （2） 解：原式 ． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，解题的关键是掌握分式通分的正确方法．本题需先找出原解答过程中的错误步骤及原因，再按照分式化简的正确步骤进行计算． 【小问1详解】 解：该学生解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是分式的基本性质用错．通分是将两个或多个分式的分母化为相同的形式，依据分式的基本性质，分子分母要同时乘以同一个不为零的整式．在本题中，对通分，需要给分子分母同时乘以 ，应得到，而该学生只对分母进行了变形，分子未做相应变化． 故答案为：一； 【小问2详解】 略 18. 如图，已知． （1）用尺规作图作出 的垂直平分线，垂足为点，交于点； （2）连接，若，，则___________． 【答案】（1） 见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、等腰三角形的性质，关键是熟练应用作图方法作图； （1）根据作已知线段的垂直平分线的作法即可求解； （2）根据等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示：即为所求； 【小问2详解】 解：∵ ，， ∴， ∵垂直平分 ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 四、解答题（二）：本大题3小题，每小题9分，共27分． 19. 在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来可拼成一个平角和度量，计算验证了三角形的内角和等于 ．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于 ．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将 撕下，按图2的方式拼摆，使 与的顶点重合， 的一边与重合． 理由：， ___________． 即． （1）任务一：补全小颖的说理过程； （2）任务二：小聪受小颖的启发，如图3，一个角也不撕，延长且过点 作，也能说明三角形的内角和等于 ，请你帮助小聪写出说理过程． 【答案】（1） 、 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和性质，平行线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合题意，得，证明，所以 ，即； （2）理解题意，由得，，又因为，得 ，即可作答． 【小问1详解】 解： ， 即． 【小问2详解】 解：∵， ，， ∵， ． 20. 如图，为等边三角形，点 是线段 上的任意一点，点是线段上任意一点，且，直线 与交于点． （1）求证：； （2）求的大小． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）的大小为 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质，可得，，由等角的补角相等，可得，即可证得结论； （2）由三角形全等的性质，可得，结合三角形外角的性质，即可得的大小． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ ． ∴的大小为． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等角的补角相等，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质． 21. 甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件． （1）求这种商品的单价； （2）甲、乙两人第二次再去果购该商品时，单价比上改少了20元．甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相网，则甲两次购买这种商品的平均单价是______元，乙两次购买这种商品的平均单价是_________元． 【答案】（1）这种商品的单价为60元/件 （2）48；50 【解析】 【分析】本题考查了分式方式方程的应用： （1）设这种商品的单价为x元/件．根据“甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件”找到相等关系，列出方程，解出方程即可得出答案； （2）先计算出第二次购买该商品时甲购买的数量和乙购买的总价，再用两次总价和除以两次的数量和即可得出两次的平均单价． 【小问1详解】 设这种商品的单价为x元/件．由题意得： ， 解得： ， 经检验： 是原方程的根． 答：这种商品的单价为60元/件． 【小问2详解】 第二次购买该商品时的单价为：（元/件）， 第二次购买该商品时甲购买的件数为：（件），第二次购买该商品时乙购买的总价为：（元）， ∴甲两次购买这种商品的平均单价是：（元/件），乙两次购买这种商品的平均单价是：（元/件）． 故答案为：48；50． 五、解答题（三）：本大题2小题，22题13分，23题14分，共27分． 22. 【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如： 因此8，16，24，32都是“神秘数”． （1）【数学理解】根据“神秘数”规律填空：（____）；（____）（____）； （2）【知识技能】斗门广播电台频率为“FM928”，928是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差？如果不是，请说明理由； （3）【深入探究】试说明“神秘数”一定是8的倍数； （4）【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼叠到正方形 ，正方形 的边长99，求阴影部分面积的和． 【答案】（1）40，13，11 （2）是， （3）证明见解析 （4）5000 【解析】 【分析】本题考查了新定义问题的理解与应用及平方差公式的应用． （1）根据“神秘数”的定义，通过计算两个连续奇数的平方差来填空，再设较小的奇数为x，则较大的奇数为，列出方程求解x的值即可得出结果； （2）先假设928是神秘数，设出两个连续奇数，根据神秘数的定义列出方程，求解方程看是否能得到符合条件的连续正奇数即可； （3）设出两个连续奇数，根据平方差公式计算它们的平方差，然后分析结果是否为8的倍数； （4）利用平方差公式求和，结合“神秘数”的规律分析阴影面积之和即可． 【小问1详解】 解：， 设较小的奇数为x，则较大的奇数为， ∴， 解得， ∴， 故答案为：40，13，11． 【小问2详解】 解：928是神秘数， 设较小的奇数为m，则较大的奇数为， 根据“神秘数”的定义可得：， 解得， ∴另一个奇数为， ∴， ∴928是“神秘数”，它是233和231这两个连续正奇数的平方差． 【小问3详解】 证明：设较大的奇数为，则较小的奇数为， 依题意得：， ∴“神秘数”一定是8的倍数． 【小问4详解】 解： ． 23. 【问题背景】如图1，与均为等腰直角三角形，其中，， ． 【构建联系】 （1）如图2，连接交于点，探究与数量和位置关系； 【深入探究】 （2）如图3，在（1）的基础上连接，连接 并延长 交于点， ①求证：平分； ②若，，则的面积为___________； 【知识拓展】 （3）如图4，连接， 是 的中点，连接 ，求证：． 【答案】（1）， ；（2）见解析，；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）先利用，推出，再结合、 ，用证明，得到 ． 再由全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和或外角性质，证明，从而得到． （2）①过 作、，由得面积相等，结合 推出，再根据角平分线的判定定理证明平分． ②先由、及，求出的面积；再根据角平分线的性质，设点到 、的距离均为，利用列方程求出，进而计算 的面积． （3）延长至点 ，使，连接 ，先由证明，得到且，再推出，结合 证明，从而得到． 【详解】解：（1）， ， ， 在 和中， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）①过 分别作垂足分别为 ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， 点在的平分线上， 平分； ②，，， ， 平分，在上， 点到 和的距离相等，设为， ， ， ， ， ； （3）延长至点使得连接 ， 是 的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 和中 ， ， ， ， 。 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、三角形面积的计算，熟练掌握全等三角形的构造方法（如倍长中线法）和角平分线相关性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $