精品解析：江西赣州市大余县2025-2026学年上学期期末检测九年级数学试卷

2025～2026学年度上学期期末检测 九年级数学试题卷 说明： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请将答案写在答题卷上，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义逐项进行判断即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A.该图形不是中心对称图形，不符合题意； B. 该图形是中心对称图形，符合题意； C. 该图形不是中心对称图形，不符合题意； D. 该图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 3. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 从只有红球的袋子中摸出黄球 C. 任意画一个圆，它是轴对称图形 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是事件的分类以及不可能事件的含义，根据不可能事件的定义，即在一定条件下必然不会发生的事件，对各选项逐一分析. 【详解】解：选项A：投掷硬币可能出现正面或反面，是随机事件，不合题意； 选项B：袋子中仅有红球，无黄球，因此摸出黄球不可能发生，属于不可能事件，符合题意； 选项C：圆无论大小或位置，始终是轴对称图形，属于必然事件，不合题意； 选项D：射击可能命中或脱靶，是随机事件，不合题意； 综上，只有选项B符合不可能事件的定义， 故选：B． 4. 已知是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴． 故选：C 5. 如图，四边形内接于，若，则它的外角的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质．熟悉圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形的性质：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（即与它相邻的内角的对角），是解题的关键． 首先根据圆周角定理，得到，再根据圆内接四边形的外角性质，得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 6. 已知二次函数的图象如图所示，以下结论中：①；②；③；④（的任意实数）；⑤．正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由图象得：，，，即可判断①；利用函数图象与x轴的交点个数即可判断②；利用对称轴判断③；利用函数的最值判断④；利用函数的对称性得到与时的函数值相等，由此判断⑤． 【详解】解：由图象得：，，， ∴，故①正确； 由图象知：二次函数图象与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ∵图象对称轴为直线， ∴，故③正确； 当时，该函数图象有最高点，即函数有最大值，此时， 当（的任意实数）时，， ∴，即，故④正确； ∵图象对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∴当时函数值大于零，即，故⑤错误； 综上分析可知，正确的有4个，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查根据二次函数的图象判断式子的符号正负，正确理解二次函数的图象与字母系数的关系是解题的关键． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. 将一元二次方程化成一般形式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式． 将一元二次方程化为一般形式，需通过移项使方程右边为0，并按降幂排列左边各项． 【详解】解：， 移项得， 故答案为：． 8. 已知点关于原点的对称点是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标规律． 点关于原点的对称点坐标是原坐标的相反数． 【详解】解：点关于原点的对称点是， 故答案为：． 9. 如图，是的切线，A、B为切点，且，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】运用切线长定理可得是等边三角形，解题即可． 【详解】解：∵是的切线， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查切线长定理，等边三角形的判定和性质，掌握切线长定理是解题的关键． 10. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，解题的关键是掌握函数图象平移的规律． 根据二次函数的平移规律进行解答． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，得到；再向上平移3个单位长度，得到． 故答案为：． 11. 大余县“南安板鸭”闻名遐迩，现在有3袋标有“香辣味”的板鸭和2袋标有“原味”的板鸭，随机选1袋，恰好选到1袋香辣味的概率是______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查简单概率计算，总袋数为5，香辣味袋数为3，直接利用概率公式即可求解． 【详解】解：总袋数为：，其中香辣味的袋数为3， 故随机选1袋，恰好选到1袋香辣味的概率是， 故答案为：． 12. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是线段BO上的一个动点，点F为射线DC上一点，若，，，则EF可能的整数值是_____． 【答案】2，3，4． 【解析】 【分析】先讨论点E分别在点O和点B处EF的取值，求出EF的取值范围，从而得出EF可能的整数值．当点E和点B重合时，根据菱形边平行的性质和得到，推出，根据推出，推出是等边三角形，；当点E和点O重合时，推出，得到，再推出，得到，推出，得到；就可以确定EF可能的整数值 【详解】∵菱形ABCD中，，，， ∴，， 当点E和点B重合时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴； 当点E和点O重合时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴EF可能的整数值为2、3、4． 【点睛】本题主要考查了菱形，等腰三角形，等边三角形，解决问题的关键是熟练掌握菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法．解题的关键是根据方程的特点选择合适的方法． （1）根据完全平方公式求值； （2）将方程展开整理成一般形式后，用求根公式求解． 【小问1详解】 解：， 原方程可化为， 解得； 【小问2详解】 解：， 原方程可化为， ， ． ，． 14. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，且，求旋转角的度数． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了图形的旋转、等边三角形的判定和性质，根据旋转的性质证明是等边三角形，则，即可得到答案． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴≌， ∴． 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴旋转角的度数为． 15. 如图，点C是以为直径的半圆上任意一点，连接，，点是的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求画图（保留作图痕迹）． （1）在图中，画出的中线； （2）在图中，画出的角平分线． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了无刻度直尺作图与圆的有关性质，解题的关键是利用直径所对圆周角为直角、三角形重心、中位线及等腰三角形性质等知识，找到作图所需的关键点． （）连接，利用是中点，是中点，故三角形中线交于一点，确定为中点，从而得到中线； （）先在等腰三角形中三线合一连接并延长，找到的中点，再连接交于，利用“等弧所对圆周角相等”的性质，得到为的角平分线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 2025年10月，第二届越野族江西大余森林英雄会在大余县未来汽车新媒体中心举办，活动设置了3个官方指定沉浸式体验项目（A：星空露营，B：南安家宴品鉴，C：汽车影院观影），甲、乙两人从3个项目中随机抽取1个项目参与． （1）“甲抽到南安家宴品鉴项目”是______事件（随机、必然、不可能）； （2）请用列表或画树状图的方法，求两人抽到同一种项目的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据随机事件的定义进行判断即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵甲从3个项目中随机抽取1个项目参与， ∴“甲抽到南安家宴品鉴项目”是随机事件， 故答案为：随机； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中两人抽到同一种项目的结果数有3种， ∴两人抽到同一种项目的概率是． 17. 如图，内接于，点O在上，平分交于点D，连接，延长，相交于点E，求证：． 【答案】 证明：∵是直径， ∴，即， ∴，． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定等知识点． 由是直径得到，则，．再由角平分线得到，那么，即可得到． 【详解】略 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共计24分） 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，求此时方程的根． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据两个不相等的实数根列不等式即可； （2）根据m为正整数，确定m的值，解方程即可． 【详解】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． （2）∵为正整数，又， ∴． 当时，原方程为， 解得． 因此，原方程的根为，． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法，解题关键是熟记一元二次方程根的判别式与根的关系，列出不等式；熟练解一元二次方程． 19. 已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上． （1）求抛物线解析式； （2）若抛物线上有一动点P，使三角形的面积为8，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或或． 【解析】 【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数与几何综合，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程的关系． （1）将，代入二次函数中求解，即可解题； （2）利用抛物线解析式求出点B坐标，进而得到，设点P坐标为，结合的面积为8，建立方程求解，即可解题． 【小问1详解】 解：因为二次函数的图象经过，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：设点P坐标为， 令，则， 解得或1， ∴点B坐标， ∴． ∵的面积为8， ∴， ∴或， 解得或， ∴点P坐标为或或． 20. 如图，在中，是直径，点C是圆上一点．在的延长线上取一点D，连接，使． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线 【小问1详解】 证明：如图，连接． ∵是直径， ∴， ∴． ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴． 又是的半径， ∴直线是的切线． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共计18分） 21. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 大余县交警部门提醒广大市民朋友：“出门戴头盔，安全常相随．”某商店统计了某品牌头盔的销售量，七月份售出200个，九月份售出288个，且从七月份到九月份月增长率相同． 素材2 经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销量400个；若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个． 完成下列任务 任务1 求该品牌头盔销售量的月增长率． 任务2 根据市场调研情况，该品牌头盔每个涨价多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】任务1：该品牌头盔销售量的月增长率为． 任务2：每个涨价元时，月销售利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在增长率问题中的实际应用以及二次函数在销售利润最值问题中的应用，关键是根据题意找准等量关系，分别列出一元二次方程与二次函数解析式，再通过解方程、配方法求二次函数最值解决问题． （1）设出月增长率，利用连续两个月的增长关系列一元二次方程求解； （2）设出涨价金额，根据“总利润=单个利润×销售量”列出二次函数，再通过配方求出函数的最大值及对应涨价金额． 【详解】任务一： 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为． 由题意得， 解得，(舍去)． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 任务二： 解：设每个头盔涨价元，月销售利润为元． 根据题意．得． ∵， ∴二次函数图象开口向下，当时，取得最大值． 答：每个涨价元时，月销售利润最大，最大利润是元． 22. 如图，已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）点与点关于原点对称，且点恰好在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，分类讨论等知识点，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）根据二次函数对称轴为求出的值，再把点代入二次函数解析式进而求出的值即可； （2）根据关于原点对称的坐标特征可得的坐标，把的坐标代入二次函数表达式即可求解； （3）分，，三种情况进行讨论即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数对称轴为直线， ∴， 解得， 把代入得， 解得， ∴二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：点关于原点对称的点， 把代入二次函数表达式得， 解得． 【小问3详解】 解：当或时，；当时，；当时，， ①当时，则在对称轴的左边， ∵二次函数的图象开口向上， ∴当时取得最大值，时取得最小值， ∴， 解得，不合题意，舍去； ②当时，则包含对称轴在内， ∴当时取得最大值，时取得最小值， ∴，符合题意； 当时，则在对称轴的右边， ∵二次函数的图象开口向上， ∴当时取得最大值，时取得最小值， ∴， 解得或，不合题意，舍去； 综上所述，n的取值范围为． 六、解答题（本大题共1小题，每小题12分，共计12分） 23. 综合与实践： 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在和中，，，连接，延长交于点D．则与的数量关系：______， ______°； （2）类比探究：如图2，在和中，，，连接，延长交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； （3）拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，且点B，E，F在一条直线上，过点A作，垂足为点M．则之间的数量关系：______； （4）实践应用：正方形中，，若平面内存在点P满足，，则______． 【答案】（1）； （2）， 理由如下：如图所示： 证明：， ，即， 又和都是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ； （3）； （4）或3． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明即可得出结论； （4）根据直径所对的圆周角是直角，先找到点P，利用勾股定理计算出，再利用第3小题的结论得到三角形的高，的面积即可求出． 【小问1详解】 解：，理由如下： 如图所示： 和都是等腰三角形， ， 又， ， ， ， ， ； 故答案为：；30； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，理由如下：如图所示： 和都是等腰三角形， ， ，即：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问4详解】 解：如图所示： 连接，以为直径作圆， 由题意，取满足条件的点P，，则．， ， ， 连接，作于点F，在上截取， ， ， ， ， 由（3）可得：， ， ， 同理可得：， 故的面积为：或3． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度上学期期末检测 九年级数学试题卷 说明： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请将答案写在答题卷上，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 从只有红球的袋子中摸出黄球 C. 任意画一个圆，它是轴对称图形 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 4. 已知是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 20 D. 25 5. 如图，四边形内接于，若，则它的外角的度数为（ ）． A. B. C. D. 6. 已知二次函数的图象如图所示，以下结论中：①；②；③；④（的任意实数）；⑤．正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. 将一元二次方程化成一般形式为______． 8. 已知点关于原点的对称点是______． 9. 如图，是的切线，A、B为切点，且，若，则______． 10. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为______． 11. 大余县“南安板鸭”闻名遐迩，现在有3袋标有“香辣味”的板鸭和2袋标有“原味”的板鸭，随机选1袋，恰好选到1袋香辣味的概率是______． 12. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是线段BO上的一个动点，点F为射线DC上一点，若，，，则EF可能的整数值是_____． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 14. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，且，求旋转角的度数． 15. 如图，点C是以为直径的半圆上任意一点，连接，，点是的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求画图（保留作图痕迹）． （1）在图中，画出的中线； （2）在图中，画出的角平分线． 16. 2025年10月，第二届越野族江西大余森林英雄会在大余县未来汽车新媒体中心举办，活动设置了3个官方指定沉浸式体验项目（A：星空露营，B：南安家宴品鉴，C：汽车影院观影），甲、乙两人从3个项目中随机抽取1个项目参与． （1）“甲抽到南安家宴品鉴项目”是______事件（随机、必然、不可能）； （2）请用列表或画树状图的方法，求两人抽到同一种项目的概率． 17. 如图，内接于，点O在上，平分交于点D，连接，延长，相交于点E，求证：． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共计24分） 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，求此时方程的根． 19. 已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上． （1）求抛物线解析式； （2）若抛物线上有一动点P，使三角形的面积为8，求点P的坐标． 20. 如图，在中，是直径，点C是圆上一点．在的延长线上取一点D，连接，使． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共计18分） 21. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 大余县交警部门提醒广大市民朋友：“出门戴头盔，安全常相随．”某商店统计了某品牌头盔的销售量，七月份售出200个，九月份售出288个，且从七月份到九月份月增长率相同． 素材2 经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销量400个；若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个． 完成下列任务 任务1 求该品牌头盔销售量的月增长率． 任务2 根据市场调研情况，该品牌头盔每个涨价多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 22. 如图，已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）点与点关于原点对称，且点恰好在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，求n的取值范围． 六、解答题（本大题共1小题，每小题12分，共计12分） 23. 综合与实践： 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在和中，，，连接，延长交于点D．则与的数量关系：______， ______°； （2）类比探究：如图2，在和中，，，连接，延长交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； （3）拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，且点B，E，F在一条直线上，过点A作，垂足为点M．则之间的数量关系：______； （4）实践应用：正方形中，，若平面内存在点P满足，，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $