微练(37) 导数中常见的放缩技巧(专题微练PPT)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

该高中数学高考复习课件聚焦导数中常见放缩技巧，覆盖不等式证明、函数恒成立求参数范围等核心考点，对接高考评价体系，分析导数解答题中放缩应用占比达60%的高频考情，归纳构造函数、分步放缩等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于真题模拟与技巧融合，如以正定模拟题为例，通过“结论迁移+函数构造”破解e^x ln x > e(x-1)等证明题，培养数学思维的逻辑推理能力，指导学生运用lnx ≤ x-1等放缩结论，助力掌握得分技巧，教师可依此精准突破考点，提升复习效率。

微练(三十七) 导数中常见的放缩技巧 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 3 证明 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 3 证明 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 3 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 3 证明 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 3 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 3 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 3 证明 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1 2 3 证明 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 本部分内容讲解结束 1．已知函数f(x)＝cos x，x∈. (1)求证：tan x·f(x)≤x； 依题意，tan x·f(x)＝sin x．记函数g(x)＝sin x－x，则当x∈时，g′(x)＝cos x－1≤0，所以g(x)在上是减函数，所以g(x)≤g(0)＝0，即tan x·f(x)≤x. (2)求证：2ex·f(x)≥(1＋x)(2－x2). 要证2ex·f(x)≥(1＋x)(2－x2)，即证ex·cos x≥，x∈.因为ex≥x＋1，又由(1)可知，当x∈时，sin x≤x，所以ex cos x＝ex≥(x＋1)＝(1＋x).故2ex·f(x)≥(1＋x)(2－x2). 2．(2025·正定模拟)已知函数f(x)＝x ln x＋ax＋1(a∈R). (1)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围； 由已知得，－a≤ln x＋在(0，＋∞)上恒成立，设g(x)＝ln x＋，则g′(x)＝－＝，令g′(x)>0，得x>1，令g′(x)<0，得0<x<1，所以g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1)＝1，即－a≤1，所以a≥－1，即a的取值范围为[－1，＋∞). (2)当x>1时，证明：ex ln x>e(x－1). 由(1)知a≥－1时，f(x)≥0恒成立，取a＝－1，得ln x≥，当且仅当x＝1时等号成立．所以当x>1时，ex ln x>，设h(x)＝ex－ex，则h′(x)＝ex－e，当x>1时，h′(x)>0，所以h(x)＝ex－ex在(1，＋∞)上单调递增，所以当x>1时，h(x)>h(1)＝0，所以ex>ex.所以当x>1时，>e，>e(x－1).由此可证，当x>1时，ex ln x>e(x－1)成立． 3.已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝. (1)若f(x)<g(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围； 依题意得，f(x)<g(x)等价于ln x－<0.记函数h(x)＝ln x－，则h′(x)＝－＝.若a≤0，则h′(x)>0，h(x)在(1，＋∞)上单调递增．又h(1)＝0，则h(x)>h(1)＝0，即f(x)<g(x)不恒成立．若0<a<2， 则>1，当x∈时，h′(x)>0，所以h(x)在上单调递增，则h(x)>h(1)＝0，所以f(x)<g(x)不恒成立．若a≥2，因为x∈(1，＋∞)，所以h′(x)<0，则h(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以h(x)<h(1)＝0，即f(x)<g(x)在(1，＋∞)上恒成立．综上，实数a的取值范围是[2，＋∞). (2)求证：··…·<. 由(1)可知，当a＝2时，f(x)<g(x)在(1，＋∞)上成立，即ln x<x－1.令x＝1＋>1，k＝1，2，…，n，则ln [1＋]<.所以ln ＝ln {[1＋]··…·}<＋ ＋…＋＝＝<. 所以··…·<. $