微专题15 圆锥曲线方程与性质(专题微讲PPT)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

该高中数学高考复习课件聚焦平面解析几何中的圆锥曲线专题，覆盖椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及性质等核心考点，对接高考评价体系，通过近五年新课标卷、天津卷等真题分析，明确离心率、渐近线、轨迹方程等高频考点权重，归纳定义法求轨迹、几何性质应用等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题精讲+方法提炼+素养培养”，如以2024新课标Ⅱ卷双曲线题为例，示范利用定义和勾股定理建立a,c关系求方程，培养数学思维与逻辑推理能力。提炼离心率计算“找a,b,c等量关系”、渐近线应用“方程转化”等技巧，帮助学生掌握得分关键，教师可依托课件精准定位考点，提升复习效率。

赢在微点 考前顶层设计 数学 专题五　 平面解析几何 专题五 平面解析几何 微专题15 圆锥曲线方程与性质 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 核心整合 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 核心整合 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 核心整合 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 核心整合 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 方法提炼 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 方法提炼 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 方法提炼 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 本部分内容讲解结束 把握高考微点，实现素能提升，完成微练（二十三） 1.圆锥曲线的定义(点M为曲线上一点) (1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|). (2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|). (3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离). 2．圆锥曲线中的重要性质 (1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系 ①在椭圆中：a2＝b2＋c2，e＝＝. ②在双曲线中：c2＝a2＋b2，e＝＝. (2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标 ①双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±x，焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0). ②双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为F1(0，－c)，F2(0，c). (3)抛物线的焦点坐标与准线方程 ①抛物线y2＝±2px(p>0)： 焦点坐标(±，0)，准线方程为x＝∓. ②抛物线x2＝±2py(p>0)： 焦点坐标(0，±)，准线方程为y＝∓. 微点一　椭圆、双曲线方程及其应用 例1　(1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为 (　　) A．＋＝1(y>0) B．＋＝1(y>0) C．＋＝1(y>0) D．＋＝1(y>0) 设M(x0，y0)，则P(x0，2y0)，因为点P在曲线C上，所以x＋(2y0)2＝16(y0>0)，即＋＝1(y0>0)，所以线段PP′的中点M的轨迹方程为＋＝1(y>0).故选A. (2)(2024·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为 (　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 由题意可知，∠F1PF2＝90°，又直线PF2的斜率为2，可得tan ∠PF2F1＝＝2，根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，＝|PF1||PF2|＝×4a×2a＝4a2，又＝8，所以a2＝2，所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝(4a)2＋(2a)2＝20a2＝40.又|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10，又a2＋b2＝c2，所以b2＝8，所以双曲线的方程为－＝1.故选C. 椭圆与双曲线的方程问题的求解策略 (1)当条件中涉及曲线上的点到焦点的距离时，就要考虑应用椭圆或双曲线的定义求解，要注意二者定义中，一个是“和”一个是“差的绝对值”． (2)对于焦点无法确定时，常设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)；双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0). 训练1　(1)(2025·山西太原模拟)已知点F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，P(4，3)是C上一点，△PF1F2的内切圆的圆心为I(m，1)，则椭圆C的标准方程是 (　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 依题意，设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，由P(4，3)在C上，得＋＝1，如图，显然△PF1F2的内切圆与直线F1F2相切，则该圆半径为1，而S△PF1F2＝(2a＋2c)·1＝a＋c，又S△PF1F2＝ ·2c·3＝3c，于是a＝2c，b2＝a2－c2＝a2， 因此＋＝1，解得a2＝28，b2＝21，所以 椭圆C的标准方程是＋＝1.故选B. (2)过双曲线C：－y2＝1的左焦点F1作倾斜角为θ的直线l交C于M，N两点．若＝3，则|cos θ|＝ (　　) A． B． C． D． 设双曲线的右焦点为F，连接MF，NF，如图，由题意可得a＝2，b＝1，c＝，设||＝3||＝3t，||＝2a＋3t＝4＋3t，||＝2a＋t＝4＋t，由余弦定理可得cos ∠NF1F＋cos ∠MF1F＝＋＝0，即＋ ＝0，解得t＝， 所以cos ∠MF1F＝＝ －，故|cos θ|＝. 微点二　椭圆、双曲线的性质及其应用 考向1　离心率 例2　(1)(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为 (　　) A．4 B．3 C．2 D． 根据焦点坐标可知c＝4，根据焦点在y轴上，可设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则得所以离心率e＝＝2.故选C. (2)(2025·深圳一模)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于原点对称，若直线AP，AQ的斜率之积为－，则C的离心率为 (　　) A． B． C． D． 设P(x0，y0)，则Q(－x0，－y0)，A(－a，0)，由题意知kAP·kAQ＝·＝－，即＝，又＋＝1，则y＝b2(1－)，所以＝，得到＝，所以C的离心率为e＝＝＝＝，故选A. 考向2　渐近线 例3　(1)(2023·全国甲卷)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝ (　　) A． B． C． D． 根据双曲线的离心率e＝＝，得c＝a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交． 由消去y，得5x2－16x＋12＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.所以|AB|＝|x1－x2|＝×＝，故选D. (2)(2025·全国二卷)(多选题)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且∠NA1M＝，则 (　　) A．∠A1MA2＝ B．|MA1|＝2|MA2| C．C的离心率为 D．当a＝时，四边形NA1MA2的面积为8 根据双曲线和圆的对称性，知四边形A1MA2N为平行四边形，因为∠NA1M＝，所以∠A1MA2＝，A项正确. 如图，在△A1MO中，|MA1|2＝|A1O|2＋ |OM|2－2|A1O||OM|cos ∠MOA1＝a2＋c2－ 2ac cos ∠MOA1＝a2＋c2＋2ac×＝3a2＋c2， 在△A2MO中，|MA2|2＝a2＋c2－2ac cos ∠MOA2＝a2＋c2－2ac×＝c2－a2， 在△A1MA2中，|A2A1|2＝|MA1|2＋|MA2|2－2|MA1||MA2|cos ，即4a2＝2c2＋2a2－2××，则13a2＝c2，所以 |MA1|2＝16a2，|MA2|2＝12a2，所以|MA1|≠2|MA2|， B项错误．根据13a2＝c2，得e＝，C项正确． 当a＝时，|MA1|＝4，|MA2|＝2，所以 四边形NA1MA2的面积为|MA1||MA2|sin ＝4× 2×＝8，D项正确． 1．椭圆、双曲线的离心率(范围)的求法：关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值(范围). 2．双曲线的渐近线的求法及用法： (1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为0，分解因式可得； (2)用法：①可得或的值； ②利用渐近线方程设所求双曲线的方程． 训练2　(1)(多选题)已知双曲线C：－＝1(b>0)的右焦点为F，直线l：x＋by＝0是C的一条渐近线，P是l上一点，则 (　　) A．C的虚轴长为2 B．C的离心率为 C．|PF|的最小值为2 D．直线PF的斜率不等于－ 双曲线C：－＝1的渐近线方程为bx±2y＝0，依题意，－＝－，解得b＝，对于A，C的虚轴长2b＝2，A正确；对于B，C的离心率e＝＝，B错误；对于C，点F(，0)到直线l：x＋y＝0的距离＝，即|PF|的最小值为，C错误；对于D，直线l：x＋y＝0的斜率为－，而点F不在l上，点P在l上，则直线PF的斜率不等于－，D正确． (2)已知双曲线C：－＝1(a>0)过点(－2，1)，则其渐近线方程为________． x±y＝0 因为双曲线C：－＝1(a>0)过点(－2，1)，即有－＝1，解得a＝或a＝－(舍去)，而b＝，故渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0. 微点三　抛物线方程与性质及其应用 例4　(1)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝ (　　) A．2 B．2 C．3 D．3 解法一：设点A(m，n)，因为点A在C：y2＝4x上，所以n2＝4m　①，又F(1，0)，B(3，0)，则|AF|＝|BF|＝2，则有＝2　②，联立①②式，解得m＝1，n2＝4，不妨设点A在x轴上方，所以n＝2，则A(1，2)，所以|AB|＝＝2，故选B. 解法二：设点A(m，n)，由题意得F(1，0)，又B(3，0)，则|AF|＝|BF|＝2，即点A到准线x＝－1的距离为2，则m－(－1)＝2，m＝1.将(1，n)代入y2＝4x得n2＝4，不妨设点A在x轴上方，所以n＝2，则A(1，2)，所以|AB|＝＝2，故选B. (2)(2024·新课标Ⅱ卷)(多选题)抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上的动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B，则 (　　) A．l与⊙A相切 B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝ C．当|PB|＝2时，PA⊥AB D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个 对于A，易知l：x＝－1，故l与⊙A相切，A正确；对于B，A(0，4)，⊙A的半径r＝1，当P，A，B三点共线时，P(4，4)，所以|PA|＝4，|PQ|＝＝＝，故B正确；对于C，当|PB|＝2时，P(1，2)，B(－1，2)或P(1，－2)，B(－1，－2)，易知PA与AB不垂直，故C错误；对于D，记抛物线C的焦点为F，连接AF，PF，易知F(1，0)，由抛物线定义可知|PF|＝|PB|，因为|PA|＝|PB|，所以|PA|＝|PF|，所以点P在线段AF的中垂线上，线段AF的中垂线方程为y＝x＋，即x＝4y－，代入y2＝4x可得y2－16y＋30＝0，解得y＝8±，易知满足条件的点P有且仅有两个，故D正确．故选ABD. 利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来建立已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算量. 训练3　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，射线FM与y轴交于点A(0，2)，与抛物线C的准线交于点N，＝，则p的值等于 (　　) A． B．2 C． D．4 依题意F点的坐标为(，0)，设M在准线上的射影为K，如图，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，因为＝，所以＝，可得＝，则|KN|∶|KM|＝2∶1，所以kFN＝＝－，所以－＝ －2，解得p＝2.故选B. 1．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝ (　　) A． B． C． D． 由e2＝e1，得e＝3e，因此＝3×，而a>1，所以a＝.故选A. 2．(2022·新课标Ⅰ卷)(多选题)已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则 (　　) A．C的准线为y＝－1 B．直线AB与C相切 C．|OP|·|OQ|>|OA|2 D．|BP|·|BQ|>|BA|2 将点A(1，1)的坐标代入x2＝2py(p>0)，解得p＝.所以抛物线C：x2＝y，其准线方程为y＝－，所以A错误．由y＝x2，得y′＝2x.当x＝1时，y′＝2，所以抛物线在点A(1，1)处的切线方程为y＝2x－1.令x＝0，得y＝－1，即切线y＝2x－1过点B，所以B正确．设直线PQ：y＝kx－1，P(x1，x)，Q(x2，x).将PQ：y＝kx－1与C：x2＝y联立，得x2－kx＋1＝0，所以Δ＝k2－4>0，x1＋x2＝k，x1x2＝1，所以|OP|·|OQ|＝·＝|x1x2|·＝>＝2＝|OA|2，所以C正确．因为|BP|·|BQ|＝|x1|·|x2|＝1＋k2>5＝|BA|2，所以D正确．故选BCD. 3．(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13， |AB|＝10，则C的离心率为________． 由|AB|＝10及双曲线的对称性得|AF2|＝＝5，因为|AF1|＝13，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝13－5＝8，2c＝|F1F2|＝＝＝12，所以a＝4，c＝6，则C的离心率e＝＝＝. 4．(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为____________． 依题意，得F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x0，y0)，B(0，t)，因为＝－，所以(x0－c，y0)＝－(－c，t)，则x0＝c，y0＝－t，所以A.又可知点A在双曲线右支，所以由双曲线的定义得2a＝－，整理得2a＝－　①.因为⊥，所以·＝(c，－t)·(c，t)＝c2－t2＝0，整理得t2＝4c2　②，将②代入①式得2a＝－，则2a＝c－c＝c，所以＝，即e＝. $