解答标准测5(专题微测Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

解答标准测5　“15—17题”　43分测学生用书P217 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 15．(2025·合肥一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＋b＝2ccos B. (1)证明：C＝2B； (2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围． 解　(1)证明：由正弦定理及a＋b＝2ccos B，知sin A＋sin B＝2sin Ccos B，即sin(B＋C)＋sin B＝2sin Ccos B，所以sin B＝sin Ccos B－sin Bcos C＝sin(C－B)，所以B＝C－B或B＋C－B＝π，因为B，C∈(0，π)，所以B＝C－B，即C＝2B. (2)由(1)知C＝2B，A＝π－3B，又△ABC为锐角三角形，所以0<2B<，0<π－3B<，故B∈，所以<tan B<1，得1<<，故＝＝＝＝∈(2，2)． 16．(2025·山西一模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，点A(，)在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l交椭圆C于M，N两点，且线段MN的中点P的横坐标为－2，过P作直线l′⊥l.证明：直线l′恒过定点，并求出该定点的坐标． 解　(1)由点A(，)在椭圆C上，得＋＝1，由椭圆C的焦距为4，得a2－b2＝8，解得a2＝12，b2＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1. (2) 设P(－2，y0)，代入椭圆方程得y0＝±，由题知－<y0<，当y0≠0时，设M(x1，y1)、N(x2，y2)，如图，显然x1≠x2，由得＋＝0，即·＝－，由P为线段MN的中点，得·＝－，直线l的斜率k＝＝，由l′⊥l，得直线l′的方程为y－y0＝－(x＋2)，即y＝－，因此直线l′过定点.当y0＝0时，直线l：x＝－2，此时l′为x轴也过点，所以直线l′恒过定点. 17．(2025·江西上饶一模)已知函数f(x)＝－a(a∈R)． (1)若曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为，求a的值； (2)若x＝0是f(x)的极小值点，求a的取值范围． 解　(1)已知f(x)＝－a(a∈R)，可得f′(x)＝－ax，因为曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为，所以f′(1)＝－a＝，解得a＝－. (2)由(1)可得f′(x)＝－ax，令g(x)＝f′(x)＝－ax，则g′(x)＝－a，若x＝0是f(x)的极小值点，则f′(0)＝－a×0＝0，则f′(x)在x＝0左侧附近小于0，在x＝0右侧附近大于0，这意味着f′(x)在x＝0处的导数g′(x)>0，把x＝0代入g′(x)得g′(0)＝－a＝1－a>0，解得a<1；当a<1时，因为ex＋e－x≥2＝2，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时，等号成立，所以g′(x)＝－a>0恒成立，则f′(x)在R上单调递增，当x<0时，f′(x)<f′(0)＝0，f(x)单调递减；当x>0时，f′(x)>f′(0)＝0，f(x)单调递增，所以x＝0是f(x)的极小值点；当a＝1时，此时g′(0)＝0，令h(x)＝g′(x)＝－1，则h′(x)＝，此时h′(0)＝0，因为h(x)＝－1≥－1＝0，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时，等号成立，所以g′(x)≥0恒成立，则f′(x)在R上单调递增，当x<0时，f′(x)<f′(0)＝0，f(x)单调递减；当x>0时，f′(x)>f′(0)＝0，f(x)单调递增，所以x＝0是f(x)的极小值点；当a>1时，令g′(x)＝0，即－a＝0，设ex＝t(t>0)，则－a＝0，整理得t2－2at＋1＝0，由一元二次方程求根公式t＝＝a±，因为a>1，所以a＋>1,0<a－<1，存在x0≠0(x0＝ln t)，使得在x0附近，当x在x0到0之间或0到x0之间时，g′(x)<0，f′(x)单调递减，此时f′(x)在x＝0两侧不满足左负右正，则x＝0不是f(x)的极小值点．综上a的取值范围是(－∞，1]． 学科网（北京）股份有限公司 $