微专题12 专项1 离散型随机变量的均值与方差(专题微讲PPT)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

该高中数学高考复习课件聚焦“概率与统计”专题，围绕随机变量及其分布核心考点，依据高考评价体系梳理了离散型随机变量的分布列、期望、方差及二项分布、超几何分布等特殊分布，通过真题分析明确分布列性质应用、均值方差计算等高频考点，归纳选择、填空、解答题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+方法提炼”策略，如2025全国一卷真题例2用定义法求期望，结合“分布列性质应用”“均值方差步骤”等方法，培养学生数学思维与数据表达能力。通过实例解析帮助学生掌握建模与计算技巧，助力教师精准教学，提升高考冲刺效率。

赢在微点 考前顶层设计 数学 专题四　 概率与统计 专题四 概率与统计 微专题12 随机变量及其分布 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 核心整合 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 核心整合 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 核心整合 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 专题四 概率与统计 专项1　 离散型随机变量的均值与方差 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 方法提炼 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 方法提炼 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 奖项组别 个人赛 团体赛获奖 一等奖 二等奖 三等奖 高一 20 20 60 50 高二 16 29 105 50 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 本部分内容讲解结束 把握高考微点，实现素能提升，完成微练（十八） 1.若离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，且X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n)，则： (1)pi≥0，i＝1，2，…，n； (2)i＝1； (3)E(x)＝ipi； (4)D(X)＝(xi－E(X))2pi. 2．随机变量的数学期望与方差的相关公式 (1)若E(η)和E(ξ)都存在，则E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η). (2)若η＝aξ＋b，则E(η)＝aE(ξ)＋b，D(η)＝a2D(ξ). (3)期望与方差的转化：D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2. 3．几个特殊分布的期望与方差 (1)二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). (2)超几何分布：假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，X表示抽取的n件产品中的次品数，则随机变量X服从超几何分布，E(X)＝＝np(p为N件产品的次品率)，D(X)＝(1－). (3)正态分布：若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 微点一　分布列的性质及应用 例1　(1)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1，2，5)，a∈R，E(ξ)，D(ξ)分别为随机变量ξ的数学期望与方差，则下列结论正确的是 (　　) A．P(0<ξ<3.5)＝ B．E(3ξ＋2)＝7 C．D(ξ)＝2 D．D(3ξ＋1)＝6 随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1，2，5)，由分布列的性质可知，P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝5)＝＋＋＝1，解得a＝1.对于A，P(0<ξ<3.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝＋＝，故A不正确；对于B，因为E(ξ)＝1×＋2×＋5×＝2，所以E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2＝3×2＋2＝8，故B不正确；对于C，D(ξ)＝×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(5－2)2＝2，故C正确；对于D，因为D(ξ)＝2，所以D(3ξ＋1)＝9×D(ξ)＝18，故D不正确． (2)(多选题)已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 则下列结论正确的是 (　　) A．m＝ B．E(X)＝ C．E(2X－1)＝ D．D(X)＝ 由＋m＋＝1，得m＝，A正确．E(X)＝0×＋1×＋2×＝，E(2X－1)＝2E(X)－1＝，B不正确，C正确．D(X)＝×(0－)2＋×(1－)2＋×(2－)2＝，D正确．故选ACD. 分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性． (2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率． 训练1　(1)(多选题)设离散型随机变量X的分布列为 若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结论正确的有 (　　) A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4 C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2 因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，A正确．由题意，得E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，所以D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，B错误，C正确．因为Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝2×2＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝4×1.8＝7.2，D正确．故选ACD. (2)(多选题)随机变量ξ的分布列如表，其中xy≠0，则下列说法正确的是 (　　) A.x＋y＝1 B．E(ξ)＝ C．D(ξ)有最大值 D．D(ξ)随y的增大而减小 ξ 0 1 2 P x 由题意可知x＋＋＝1，即x＋y＝1，故A正确；E(ξ)＝0×x＋1×＋2×＝，故B正确；D(ξ)＝x(0－)2＋(1－)2＋(2－)2＝(1－y)＋(1－)2＋(2－)2＝－y2＋3y，因为xy≠0，x＋y＝1，所以0<y<1，设f(y)＝－y2＋3y，易知f(y)在(0，)上单调递增，在(，1)上单调递减，所以D(ξ)随着y的增大先增大后减小，当y＝时，D(ξ)取得最大值，故C正确，D错误．故选ABC. 微点二　定义法求离散型随机变量的均值与方差 例2　(1)(2025·全国一卷)有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球．记X为这5个球中至少被取 出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)＝________. X的所有可能取值为1，2，3，则P(X＝1)＝C()3＝＝，P(X＝2)＝C()3×6＝＝，P(X＝3)＝C×()3×6＝＝，所以X的分布列为 X 1 2 3 P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝. (2)(2025·梅河口模拟)某校高一年级开设建模，写作，篮球，足球，音乐，朗诵，素描7门选修课，每位同学须彼此独立地选3门课程，其中甲选择篮球，不选择足球，丙同学不选素描，乙同学没有要求． ①求甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率； 由题意，甲选择篮球，并在建模，写作，音乐，朗诵，素描5门里再选2门，则选中建模的概率为＝；乙同学没有要求，则选中建模的概率为＝.故甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率为×＝. ②用X表示甲、乙、丙选中建模的人数之和，求X的分布列和数学期望． 由①知，甲选中建模的概率为，乙选中建模的概率为，丙选中建模的概率为＝，由题意X可能的取值有0，1，2，3，故P(X＝0)＝(1－)×(1－)×(1－)＝，P(X＝1)＝×(1－)×(1－)＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1－)×＝，P(X＝2)＝××(1－)＋×(1－)×＋(1－)××＝，P(X＝3)＝××＝.故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 求随机变量X的均值与方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X的所有可能值； (2)求X取每个值时对应的概率； (3)写出X的分布列； (4)由均值定义求出E(X)； (5)由方差定义求出D(X). 训练2　为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项．根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下： (1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率； 记“任取1名学生，该生获得一等奖”为事件A，“任取1名学生，该生为高一学生”为事件B，P(A)＝，P(AB)＝，故P(B|A)＝＝＝. (2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中团体赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望； 由已知可得，X的可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝×＋×＝，P(X＝2)＝×＝，所以X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝. (3)从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自高一的人数为ξ，来自高二的人数为η，试判断D(ξ)与D(η)的大小关系．(结论不要求证明) D(ξ)＝D(η).理由：因为ξ＋η＝3，故ξ＝3－η，D(ξ)＝D(3－η)＝(－1)2D(η)＝D(η). $