微练(35) 导数与不等式恒成立(有解)问题(专题微练Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

微练(三十五)　导数与不等式恒成立(有解)问题 1．(2025·唐山一模)已知函数f(x)＝ax2－x＋sin x. (1)当a＝1时，求f(x)的极小值； (2)当x≥0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围． 解　(1)当a＝1时，f(x)＝x2－x＋sin x，则f′(x)＝2x－1＋cos x，令g(x)＝f′(x)＝2x－1＋cos x，则g′(x)＝2－sin x>0，所以g(x)在R上单调递增，又因为g(0)＝0，所以当x<0时，g(x)＝f′(x)<0，此时f(x)单调递减；当x>0时，g(x)＝f′(x)>0，此时f(x)单调递增；故f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增．所以x＝0为f(x)的极小值点，极小值f(0)＝0. (2)当x＝0时，符合题意；当x∈(0，π]时，得a≥.令t(x)＝，t′(x)＝，令h(x)＝－xcos x－x＋2sin x，则h′(x)＝cos x＋xsin x－1，令z(x)＝h′(x)，则z′(x)＝xcos x，当x∈时，z′(x)>0，h′(x)单调递增，当x∈时，z′(x)<0，h′(x)单调递减，因为h′(0)＝0，h′＝－1>0，h′(π)＝－2，所以存在x0∈，使得h′(x0)＝0，且在(0，x0)上h′(x)>0，在(x0，π]上h′(x)<0，h(x)在(0，x0)单调递增，在(x0，π]单调递减，又因为h(0)＝0，h(π)＝0，即当x∈(0，π)时，t′(x)>0，t(x)单调递增；所以当x∈(0，π]时，t(x)≤t(π)＝.当x∈(π，＋∞)时，令M(x)＝x2－x＋sin x，M′(x)＝x－1＋cos x>×π－1＋cos π＝0，则M(x)在(π，＋∞)上单调递增，此时M(x)>M(π)＝0，故当x∈(π，＋∞)时，<.所以≤，故a的取值范围为. 2．(2025·蚌埠一模)已知函数f(x)＝(ax＋1)ex－1(a∈R)． (1)若a＝－2，求f(x)的极值； (2)若f(x)≤(a＋1)x对任意的x∈[0，＋∞)恒成立，求a的取值范围． 解　(1)若a＝－2，则f(x)＝(－2x＋1)ex－1，所以f′(x)＝(－2x＋1)ex－2ex＝(－2x－1)ex，令f′(x)＝0，解得x＝－，令f′(x)>0，解得x<－，令f′(x)<0，解得x>－，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)的极大值为f＝2e－－1，无极小值． (2)f(x)≤(a＋1)x对任意的x∈[0，＋∞)恒成立，即(a＋1)x－(ax＋1)ex＋1≥0对任意的x∈[0，＋∞)恒成立，令g(x)＝(a＋1)x－(ax＋1)ex＋1，x≥0，所以g′(x)＝(a＋1)－(ax＋a＋1)ex，令u(x)＝g′(x)，所以u′(x)＝－(ax＋2a＋1)ex，x≥0，当a≤－时，2a＋1≤0，又x≥0，所以(ax＋2a＋1)≤0，所以u′(x)＝－(ax＋2a＋1)ex≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以u(x)即g′(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以g′(x)≥g′(0)＝0，所以g(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(0)＝0，符合题意；当－<a<0时，令u′(x)<0，解得0≤x<－，则u(x)即g′(x)在区间上单调递减；所以当x∈时，g′(x)<g′(0)＝0，所以g(x)在区间上单调递减，所以当x∈时，g(x)<g(0)＝0，不符合题意；当a≥0时，又x≥0，所以u′(x)≤0，所以u(x)即g′(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，所以g′(x)≤g′(0)＝0，所以g(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，所以g(x)≤g(0)＝0，不符合题意．综上，a的取值范围为. 3．(2025·石家庄一模)已知函数f(x)＝ln x＋x2－2mx(m∈R)． (1)若m＝，求f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)且f(x1)≥ax2恒成立，求实数a的取值范围． 解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由m＝，求导得f′(x)＝＋x－3＝，令f′(x)＝0，得x2－3x＋1＝0，解得x1＝，x2＝，所以当0<x<x1或x>x2时，f′(x)>0，当x1<x<x2时，f′(x)<0，故f(x)在，上单调递增，在上单调递减． (2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)＝＋x－2m＝，f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)时，等价于方程x2－2mx＋1＝0有两个不等正根，所以所以x2＝，0<x1<1<x2，此时不等式f(x1)－ax2≥0恒成立，等价于ln x1＋x－x1≥a对x1∈(0,1)恒成立，可化为a≤x1ln x1－x13－x1对x1∈(0,1)恒成立，令g(x)＝xln x－x3－x，x∈(0,1)，则g′(x)＝ln x－x2，令h(x)＝ln x－x2，得h′(x)＝－3x＝0，得x1＝或x2＝－(舍去)，所以当x∈时，h′(x)>0，当x∈时，h′(x)<0，故h(x)≤h＝ln－×2＝ln－<0，所以g′(x)<0在(0,1)恒成立，所以g(x)在(0,1)上单调递减，所以g(x)>g(1)＝－，所以a≤－.故实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $