微练(25) 圆锥曲线中的常用结论(专题微练Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

微练(二十五)　圆锥曲线中的常用结论 一、单项选择题 1．已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为(C) A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝8x D．y2＝4x 解析　设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，得·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12，得p＝4，即抛物线C的方程为y2＝8x.故选C. 2．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为(D) A. B. C. D. 解析　抛物线C：y2＝3x中，2p＝3，p＝，故S△OAB＝＝＝. 3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点为F1，F2，若点P在椭圆上，且满足|PO|2＝|PF1|·|PF2|(其中O为坐标原点)，则点P的个数为(C) A．0 B．2 C．4 D．7 解析　设P(x0，y0)，则＋＝1，由椭圆的第二定义可知|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0，所以|PF1|·|PF2|＝a2－e2x，而|PO|2＝|PF1|·|PF2|，所以x＋y＝a2－e2x，即x＋b2＝a2－e2x，而e2＝1－，解得x0＝±，所以满足条件的点P有4个．故选C. 4．抛物线E：y2＝4x的焦点为F，曲线l：y＝|x－1|交抛物线E于A，B两点，则△ABF的面积为(D) A．4 B．6 C．3 D．8 解析　 作出图形如图所示，曲线l：y＝|x－1|关于直线x＝1对称，且曲线l过抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，设直线FA的倾斜角为θ，即∠AFx＝θ，所以∠OFB＝θ，所以直线FB的倾斜角为π－θ，由题意可知，tan θ＝，则|AF|＝＝，|BF|＝＝.又∠AFB＝π－2θ，所以S△ABF＝|AF|·|BF|·sin(π－2θ)＝×××sin 2θ＝＝＝＝＝8.故选D. 5．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过原点O的直线交C于A，B两点(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足·＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为(A) A. B．2 C. D．3 解析　 如图，因为·＝0，所以BA⊥BP，令kAB＝k，因为∠ADO＝∠AOD，所以kAP＝－kAB＝－k，又BA⊥BP，所以kPB＝－，依题意知kPB·kPA＝，所以－·(－k)＝，所以＝1，即e＝. 6．(2025·江苏模拟)已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(A) A．16 B．14 C．12 D．10 解析　 如图，设直线l1的倾斜角为θ，θ∈，则直线l2的倾斜角为＋θ，由抛物线的焦点弦弦长公式知|AB|＝＝，|DE|＝＝，所以|AB|＋|DE|＝＋＝≥＝16，当且仅当sin2θ＝cos2θ，即sin θ＝cos θ，即θ＝时取“＝”． 7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别是A1，A2，离心率为2，点P在C上．若直线A1P，A2P的斜率之和为，△PF1F2的面积为，则a＝(A) A．1 B. C. D．2 解析　 由双曲线C的离心率e＝＝2，c2＝a2＋b2，得c＝2a,3a2＝b2，又S△PF1F2＝×2c|yP|＝，所以|yP|＝＝，则|xP|＝，因为kA1P＋kA2P＝>0　①，所以结合双曲线知点P在第一象限或第三象限，不妨设点P在第一象限，如图，则P.而kA1P·kA2P＝e2－1＝3　②，联立①②并解得kA1P＝，kA2P＝，所以kA1P＝＝，解得a＝1.故选A. 8．希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线：当0<e<1时，轨迹为椭圆；当e＝1时，轨迹为抛物线；当e>1时，轨迹为双曲线．现有方程m(x2＋y2＋2y＋1)＝(2x－y＋3)2表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为(C) A．(0,8) B．(8，＋∞) C．(0,5) D．(5，＋∞) 解析　方程m(x2＋y2＋2y＋1)＝(2x－y＋3)2，m>0，即为m[x2＋(y＋1)2]＝(2x－y＋3)2，可得·＝|2x－y＋3|，则＝，可得动点P(x，y)到定点(0，－1)和定直线2x－y＋3＝0的距离的比为常数，由双曲线的定义，可得>1，解得0<m<5.故选C. 二、多项选择题 9．已知斜率为的直线l经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AB|＝8，则以下结论正确的是(BCD) A.＋＝1 B．|AF|＝6 C．|BD|＝2|BF| D．F为AD的中点 解析　设直线AB的倾斜角为θ，利用抛物线的焦点弦的性质，由|AB|＝＝8，则p＝3，|AF|＝＝6，|BF|＝＝2，＋＝＝，过点B作准线的垂线，垂足为B′，在Rt△DBB′中，cos θ＝＝＝，所以|BD|＝4，|DF|＝|BF|＋|BD|＝6，因此F为AD的中点．故选BCD. 10．已知双曲线C：＋＝1(0<k<1)，则(ACD) A．双曲线C的焦点在x轴上 B．双曲线C的焦距等于4 C．双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于 D．双曲线C的离心率的取值范围为 解析　对A：因为0<k<1，所以9－k>0，k－1<0，所以双曲线C：－＝1(0<k<1)表示焦点在x轴上的双曲线，故选项A正确；对B：由A知a2＝9－k，b2＝1－k，所以c2＝a2＋b2＝10－2k，所以c＝，所以双曲线C的焦距等于2c＝2(0<k<1)，故选项B错误；对C：设焦点在x轴上的双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，焦点坐标为(±c,0)，则渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，所以焦点到渐近线的距离d＝＝b，所以双曲线C：－＝1(0<k<1)的焦点到其渐近线的距离等于，故选项C正确；对D：双曲线C的离心率e＝＝＝，因为0<k<1，所以1<2－<，所以e＝∈，故选项D正确．故选ACD. 11．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是C上异于A1，A2的一点，则下列结论正确的是(BD) A．若C的离心率为，则直线PA1与PA2的斜率之积为－ B．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为b2 C．若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，则C的离心率的取值范围是 D．若|PF1|≤2b恒成立，则C的离心率的取值范围是 解析　设P(x0，y0)，所以＋＝1，因为e＝＝，所以a＝2c，所以a2＝b2，所以kPA1·kPA2＝－＝－，所以选项A错误；若PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为b2tan＝b2，所以选项B正确；若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，即C上存在四个点P使得△PF1F2的面积为b2，所以·2c·b>b2，所以c>b，所以c2>a2－c2，所以e∈，所以选项C错误；若|PF1|≤2b恒成立，所以a＋c≤2b，所以a2＋c2＋2ac≤4b2＝4(a2－c2)，所以5e2＋2e－3≤0，所以0<e≤，所以选项D正确． 三、填空题 12．(2025·广东茂名模拟)设F1，F2为椭圆Γ：＋＝1的两个焦点，P为Γ上一点且在第二象限．若|PF1|＝|F1F2|，则点P的坐标为 . 解析　椭圆＋＝1，则a＝5，b2＝21，c＝＝2，所以F1(－2,0)，F2(2,0)，|PF1|＝|F1F2|＝2c＝4，由题意设P(x0，y0)，x0<0，y0>0，因为|PF1|＝|F1F2|，所以a＋ex0＝2c，即x0＝－，代入椭圆方程得：P. 13．(2025·徐州模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为2a2，则双曲线的离心率为 . 解析　如图，设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′，因为以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F(c,0)，所以S△AF′F＝S△ABF＝2a2且∠F′AF＝θ＝， 根据双曲线焦点三角形面积公式， 得S△AF′F＝.所以2a2＝b2，即＝2，e＝＝. 14．(2025·四川模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，经过原点O的直线交C于A，B两点．P是C上一点(异于点A，B)，直线BP交x轴于点D.若直线AB，AP的斜率之积为，且∠BDO＝∠BOD，则椭圆C的离心率为 . 解析　设P(x0，y0)，A(m，n)，B(－m，－n)，则直线AP的斜率为，BP的斜率为，由题知两式相减得＝－，即＝－×，即＝－×kAP，即kAP·kBP＝－，又∠BDO＝∠BOD，则kAB＝－kBP，即kAP·kAB＝，即＝，则b2＝a2，所以c2＝a2－b2＝a2－a2＝a2，即＝，则椭圆C的离心率为＝. 学科网（北京）股份有限公司 $