微专题5 数列求和(专题微讲PPT)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

该高中数学高考复习课件聚焦“数列求和”专题，覆盖错位相减法、裂项相消法、分组（并项）法三大核心考点，对接高考评价体系，通过2023全国甲卷、2024全国甲卷等真题分析，明确错位相减占比45%、裂项相消占比30%的高频考查权重，归纳通性通法与典型题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“教材溯源+真题实战+素养提升”设计，如以人教A版教材例题为基础，结合2023甲卷错位相减真题提炼“乘公比错位相减四步法”，培养数学思维；裂项相消总结三大常用公式，分组法解析含(-1)^n数列求和，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此系统规划复习，助力学生高效冲刺高考。

赢在微点 考前顶层设计 数学 专题二 数列 专题二　数列 微专题5 数列求和 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 方法提炼 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 方法提炼 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 证明 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 方法提炼 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 证明 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 本部分内容讲解结束 把握高考微点，实现素能提升，完成微练（八） 微点一　错位相减法求和—— 教材·研析 例1　(人教A版选择性必修第二册P56·11题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； 设等差数列{an}的公差为d，则由S4＝4S2，a2n＝2an＋1(n∈N*)，得解得所以an＝2n－1(n∈N*). (2)若bn＝3n-1，令cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn. 由(1)及bn＝3n-1，知cn＝(2n－1)·3n-1，所以Tn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)·3n-1，3Tn＝1×31＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)·3n，两式相减，得－2Tn＝1＋2×(31＋32＋33＋…＋3n-1)－(2n－1)·3n＝－2－2(n－1)·3n，所以Tn＝(n－1)·3n＋1. 真题·链接 真题　(2023·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan. (1)求{an}的通项公式； 当n＝1时，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0.当n≥2时，由2Sn＝nan，得2Sn－1＝(n－1)an－1，两式相减得2an＝nan－(n－1)an－1，即(n－1)an－1＝(n－2)an，当n＝2时，可得a1＝0，故当n≥3时，＝，则··…·＝··…·，整理得＝n－1，因为a2＝1，所以an＝n－1(n≥3).当n＝1，n＝2时，均满足上式，所以an＝n－1. (2)求数列的前n项和Tn. 令bn＝＝，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝＋＋…＋＋　①，Tn＝＋＋…＋＋　②，由①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－，即Tn＝2－. 创新·变式 变式　已知各项为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝a＋2an＋1. (1)求数列{an}的通项公式； 当n＝1时，4a1＝a＋2a1＋1，解得a1＝1.当n≥2时，由4Sn＝a＋2an＋1，得4Sn－1＝a＋2an－1＋1，两式相减，得4an＝a－a＋2an－2an－1，整理得a－a＝2(an＋an－1).又an>0，所以an－an－1＝2，即{an}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N*). (2)若b1＝1，bn＝3bn＋1，求数列{anbn}的前n项和Tn，并证明1≤Tn<3. 因为b1＝1≠0，bn＝3bn＋1，所以＝，所以数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列，所以bn＝，即anbn＝，则Tn＝＋＋＋＋…＋，Tn＝＋＋＋…＋＋，两式相减，得Tn ＝1＋2(＋＋＋…＋)－＝1＋2×－＝2－，解得Tn＝3－，则Tn＋1－Tn＝－＝>0，所以Tn＋1>Tn，所以Tn单调递增，所以当n＝1时，Tn取得最小值，且最小值为1.又>0，所以Tn<3，故1≤Tn<3. 微点二　裂项相消法求和 例2　(2025·榆林模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a6＝7，S6＝27. (1)求数列{an}的通项公式； 设等差数列{an}的公差为d，则由题意得即解得所以数列{an}的通项公式为an＝2＋(n－1)×1＝n＋1. (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 因为an＝n＋1，则an＋1＝n＋2，所以bn＝＝－，所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋＋＋…＋＝－＝. (1)“裂项相消法”的解题流程：一项裂开两项→互相抵消→计算余下的项→得结果． (2)利用裂项相消法求和时，既要注意检验裂项前后是否等价，又要注意求和时正负项相消后消去了哪些项，保留了哪些项． (3)常用的裂项公式 ①＝－； ②＝； ③＝－. 微点三　分组(并项)法求和 例3　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝. (1)求证：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式； 显然an≠0，由an＋1＝得＝＋，又a1＝1，则数列是首项为1，公差为的等差数列．由＝1＋(n－1)×，得an＝. (2)设bn＝，求数列{bn}的前20项和T20. 由(1)可知bn＝(－1)n+1××＝×[(－1)n+1·(3n＋1)(3n＋4)]，所以T20＝×[4×7－7×10＋10×13－13×16＋…＋(－1)21×61×64]＝×(－6)×(7＋13＋19＋…＋61)＝×(－6)××10＝－. 分组法求数列前n项和的关键 (1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，或cn＝ 且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和． (2)若数列的通项公式中有(－1)n等特征，根据正负号分组求和． 1．(2024·全国甲卷)设Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝3an＋4. (1)求{an}的通项公式； 因为4Sn＝3an＋4　①，所以当n≥2时，4Sn－1＝3an－1＋4　②.则当n≥2时，①－②得4an＝3an－3an－1，即an＝－3an－1.当n＝1时，由4Sn＝3an＋4得4a1＝3a1＋4，所以a1＝4≠0，所以数列{an}是以4为首项，－3为公比的等比数列，所以an＝4×(－3)n-1. (2)设bn＝(－1)n-1nan，求数列{bn}的前n项和Tn. 因为bn＝(－1)n-1nan＝(－1)n-1n×4×(－3)n-1＝4n·3n-1，所以Tn＝4×30＋8×31＋12×32＋…＋4n·3n-1，所以3Tn＝4×31＋8×32＋12×33＋…＋4n·3n，两式相减得－2Tn＝4＋4(31＋32＋…＋3n-1)－4n·3n＝4＋4×－4n·3n＝－2＋(2－4n)·3n，所以Tn＝1＋(2n－1)·3n. 2．(2022·新课标Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列． (1)求{an}的通项公式； 因为a1＝1，所以＝1，又是公差为的等差数列，所以＝1＋(n－1)×＝.因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，所以＝ (n≥2)，所以＝(n≥2)，整理得＝(n≥2)，所以××…××＝××…××＝(n≥2)，所以Sn＝(n≥2)，又S1＝1也满足上式，所以Sn＝(n∈N*)，则Sn－1＝(n≥2)，所以an＝－＝(n≥2)，又a1＝1也满足上式，所以an＝(n∈N*). (2)证明：＋＋…＋<2. 因为an＝，所以＝＝2(－)，所以＋＋…＋＝2[＋＋…＋＋]＝2<2. $