7.进阶点9 导数中常见的放缩技巧(专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

该高中数学高考复习讲义聚焦导数中常见的放缩技巧，覆盖指数、对数、三角不等式等高考核心考点，按放缩类型系统梳理原理、例题及应用，通过考点分类梳理、解题方法指导、真题案例精讲和分层练习巩固，帮助学生构建放缩技巧的知识网络与解题框架。 讲义以高考真题为载体设计教学活动，如通过例1引导学生用数学思维分析指数放缩的推理过程，微练题设置基础证明到综合应用的分层训练，培养学生的逻辑推理与创新意识，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生在函数与导数综合题中的应考能力。

进阶点9　导数中常见的放缩技巧 高考试题中的函数与导数的综合应用中，涉及函数或方程中的不等式恒成立以及综合应用问题，特别是与之相关的指数切线不等式ex≥x＋1、对数切线不等式ln x≤x－1及三角不等式sin x<x<tan x等，成为解题中非常有用的放缩技巧，对于问题的快捷切入、解题的思路优化、过程的简化精减等都非常有效果． 1．指数放缩 (1)放缩成一次函数：ex≥x＋1，ex>x，ex≥ex. (2)放缩成反比例函数：ex≤(x<1)，ex<－(x<0)． 2．对数放缩 (1)放缩成一次函数：ln x≤x－1，ln x<x，ln(1＋x)≤x. (2)放缩成反比例函数：ln x≥1－，ln (1＋x)≥. 3．三角放缩 sin x<x(x>0)，x<tan x；sin x≥x－x2；1－x2≤cos x≤1－sin2x. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一　指数放缩 例1　(2025·上饶二模)已知函数f(x)＝ex－x－1. (1)求证：f(x)≥0； (2)当m≤1时，求证：不等式ex－mx＋cos x－2≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立． 证明　(1)依题意得，f′(x)＝ex－1.当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减．所以f(x)min＝f(0)＝0，即ex－x－1≥0，当且仅当x＝0时取等号，所以f(x)≥0. (2)令函数g(x)＝ex－mx＋cos x－2，则g′(x)＝ex－m－sin x．由(1)可得ex－x－1≥0，即ex≥x＋1.又因为m≤1，所以g′(x)≥x＋1－1－sin x＝x－sin x．令函数h(x)＝x－sin x，则h′(x)＝1－cos x．当x≥0时，h′(x)≥0，所以h(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以当x∈[0，＋∞)时，h(x)≥h(0)＝0.所以g′(x)≥0，则g(x)在x∈[0，＋∞)上单调递增，所以当x∈[0，＋∞)时，g(x)≥g(0)＝0，即ex－mx＋cos x－2≥0.所以当m≤1时，不等式ex－mx＋cos x－2≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立. ,, 指数切线不等式ex≥x＋1(当且仅当x＝0时取等号)及其对应的变形不等式，是函数与导数的综合应用中指数放缩的一大重要方向．此类问题往往基于指数式ex的应用场景，结合不等式的构建，合理放缩成一次函数或类反比例函数等形式，给问题的深入与应用创造条件． 类型二　对数放缩 例2　已知函数f(x)＝ex－ax的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝(e－1)x. (1)求a的值； (2)当x>0且x≠1时，求证：f(x)>. 解　(1)f(x)＝ex－ax，则f′(x)＝ex－a，f′(1)＝e－a＝e－1.解得a＝1. (2)证明：要证f(x)>，即证ex－x>.令h(x)＝x－1－ln x(x>0)，则h′(x)＝(x>0)．当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．所以h(x)≥h(1)＝1－1－ln 1＝0恒成立，即x－1≥ln x，当且仅当x＝1时等号成立．当x∈(0,1)时，由x－1>ln x，得<1.易知f′(x)＝ex－1，f′(x)>0在(0,1)上恒成立，所以f(x)在(0,1)上单调递增，所以f(x)>e0－0＝1(x>0)．所以f(x)>在(0,1)上成立．当x∈(1，＋∞)时，由x－1>ln x，可得－1>ln，即ln x>1－，可得<x.令g(x)＝ex－x－x，则g′(x)＝ex－2，g′(x)>0在(1，＋∞)上恒成立，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，可得g(x)＝ex－x－x>e－2>0，即ex－x>x(x∈(1，＋∞))．所以f(x)>在(1，＋∞)上成立．综上所述，f(x)>在x>0且x≠1时成立. ,, 对数切线不等式ln x≤x－1(当且仅当x＝1时取等号)及其对应的变形不等式是函数与导数的综合应用中对数放缩的一大重要方向．此类问题往往基于对数式ln x的应用场景，结合不等式的构建，合理放缩成一次函数或类反比例函数等形式，实现问题的切入与深入应用． 类型三　三角放缩 例3　(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝ax－，x∈. (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)＋sin x<0，求a的取值范围． 解　(1)(cos2x)′＝(cos xcos x)′＝－sin xcos x＋cos x·(－sin x)＝－2sin xcos x，f′(x)＝a－＝a－＝a－＝a－.当a＝1时，f′(x)＝1－＝＝.因为x∈，所以cos x∈(0,1)，故f′(x)<0，故当a＝1时，f(x)在上单调递减． (2)依题意，f(x)＋sin x＝ax－＋sin x＝ax＋sin x，x∈. ①当a≤0时，易知f(x)＋sin x<0；②当a>0时，先证x∈时，sin x<x，令g(x)＝x－sin x，则g′(x)＝1－cos x>0，g(x)在上单调递增，所以g(x)>g(0)＝0，故有当x∈时，x>sin x成立．所以f(x)＋sin x＝ax＋sin x>asin x＋sin x＝sin x，因为函数y＝的值域为(1，＋∞)，a＋1>1，所以对于任意大于0的参数a，一定存在x0∈，使得<a＋1，即存在x0∈，使得f(x0)＋sin x0>0，故a>0不能确保f(x)＋sin x<0，与题意矛盾，故a>0不成立．综上，a的取值范围为(－∞，0]. ,, 三角不等式sin x<x<tan x及其对应的变形不等式是函数与导数的综合应用中三角放缩的一大重要方向．此类问题往往基于三角函数式的应用场景，结合三角恒等变形及对应的三角关系式，借助不等式的构建，合理放缩成与之对应的其他函数等形式，从而完成不等式的证明或转化． 微练(三十七)　导数中常见的放缩技巧 1．已知函数f(x)＝cos x，x∈. (1)求证：tan x·f(x)≤x； (2)求证：2ex·f(x)≥(1＋x)(2－x2)． 证明　(1)依题意，tan x·f(x)＝sin x．记函数g(x)＝sin x－x，则当x∈时，g′(x)＝cos x－1≤0，所以g(x)在上是减函数，所以g(x)≤g(0)＝0，即tan x·f(x)≤x. (2)要证2ex·f(x)≥(1＋x)(2－x2)，即证ex·cos x≥，x∈.因为ex≥x＋1，又由(1)可知，当x∈时，sin x≤x，所以excos x＝ex≥(x＋1)＝(1＋x).故2ex·f(x)≥(1＋x)(2－x2)． 2．(2025·正定模拟)已知函数f(x)＝xln x＋ax＋1(a∈R)． (1)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围； (2)当x>1时，证明：exln x>e(x－1)． 解　(1)由已知得，－a≤ln x＋在(0，＋∞)上恒成立，设g(x)＝ln x＋，则g′(x)＝－＝，令g′(x)>0，得x>1，令g′(x)<0，得0<x<1，所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1)＝1，即－a≤1，所以a≥－1，即a的取值范围为[－1，＋∞)． (2)证明：由(1)知a≥－1时，f(x)≥0恒成立，取a＝－1，得ln x≥，当且仅当x＝1时等号成立．所以当x>1时，exln x>，设h(x)＝ex－ex，则h′(x)＝ex－e，当x>1时，h′(x)>0，所以h(x)＝ex－ex在(1，＋∞)上单调递增，所以当x>1时，h(x)>h(1)＝0，所以ex>ex.所以当x>1时，>e，>e(x－1)．由此可证，当x>1时，exln x>e(x－1)成立． 3．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝. (1)若f(x)<g(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围； (2)求证：··…·<. 解　(1)依题意得，f(x)<g(x)等价于ln x－<0.记函数h(x)＝ln x－，则h′(x)＝－＝.若a≤0，则h′(x)>0，h(x)在(1，＋∞)上单调递增．又h(1)＝0，则h(x)>h(1)＝0，即f(x)<g(x)不恒成立．若0<a<2，则>1，当x∈时，h′(x)>0，所以h(x)在上单调递增，则h(x)>h(1)＝0，所以f(x)<g(x)不恒成立．若a≥2，因为x∈(1，＋∞)，所以h′(x)<0，则h(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以h(x)<h(1)＝0，即f(x)<g(x)在(1，＋∞)上恒成立．综上，实数a的取值范围是[2，＋∞)． (2)由(1)可知，当a＝2时，f(x)<g(x)在(1，＋∞)上成立，即ln x<x－1.令x＝1＋>1，k＝1,2，…，n，则ln<.所以n＝ln<＋＋…＋＝＝<.所以··…·<. 学科网（北京）股份有限公司 $