1.微专题10 排列组合与二项式定理(专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

该高中数学高考复习讲义围绕排列组合与二项式定理核心考点，以公式性质为基础，按两个计数原理、排列组合、二项式定理分微点系统梳理，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建知识网络，突破解题难点。 资料采用分层训练与方法提炼策略，如排列组合中用“捆绑法”“插空法”培养数学思维，二项式定理中通过赋值法强化数学语言表达，结合近年高考真题设计练习，助力学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

微专题10　排列组合与二项式定理 1.排列数与组合数的公式和性质 排列数 组合数 =n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)= == = 0!=1,=n! =1,=,+=,n=k 2.二项式定理 (1)二项式定理: (a+b)n=an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn(n∈N*) (2)二项式系数: (k=0,1,2,…,n). (3)二项展开式的通项: Tk+1=an-kbk,它表示第k+1项. 3.二项式系数的性质 (1)对称性:=. (2)增减性:当k<时,二项式系数递增;当k>时,二项式系数递减. (3)最大值:当n是偶数时,中间一项的二项式系数取得最大值,为;当n是奇数时,中间两项的二项式系数相等,且同时取得最大值,为与. (4)各二项式系数的和为+++…+=2n. (5)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即+++…=+++…=2n-1. 微点一　两个计数原理 例1　(1)(2023·全国甲卷)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(B) A．120种 B．60种 C．30种 D．20种 解析　不妨记五名志愿者为a，b，c，d，e，假设a两天都参加了公益活动，再从剩余的4人中抽取2人各参加星期六与星期日的公益活动，共有A＝12种方法，同理：b，c，d，e两天都参加了公益活动，也各有12种方法，所以恰有1人在这两天都参加的不同安排方法共有5×12＝60种．故选B. (2)(2024·新课标Ⅱ卷)在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有_24_种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是_112_. 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 解析　第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同的选法；第二步，从第二行选一个与第一个数不同列的数，共有3种不同的选法；第三步，从第三行选一个与第一、二个数均不同列的数，共有2种不同的选法；第四步，从第四行选一个与第一、二、三个数均不同列的数，只有1种选法．由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为4×3×2×1＝24.先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上的数字分别为1,2,3,4.再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1,3,3,5，故从第一行选21，从第二行选33，从第三行选43，从第4行选15，此时个位上的数字之和最大．故选中方格中的4个数之和的最大值为21＋33＋43＋15＝112. 训练1　(1)(2025·荆州模拟)电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0～255.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为(A) A．2563 B．27 C．2553 D．6 解析　分三步取色，第一步、第二步、第三步都有256种取法，根据分步乘法计数原理得，共可配成256×256×256＝2563(种)颜色．故选A. (2)编号为A，B，C，D，E的5种蔬菜种在如图所示的五块实验田里，每块只能种一种蔬菜，要求A品种不能种在1,2试验田里，B品种必须与A品种在相邻的两块田里，则不同的种植方法种数为(B) A．24 B．30 C．36 D．54 解析　当A种在4号田时，B只能种在3号，其余三种蔬菜在三个位置全排列，共有A＝6种结果，当A种在5号田时，结果相同，也有6种；当A种在3号田时，B有3种结果，余下的三种蔬菜在三个位置全排列，有3A＝18种结果；根据分类加法计数原理，共有6＋6＋18＝30种结果．故选B. 微点二　排列与组合 例2　(1)(2025·长春模拟)某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为(C) A．12 B．18 C．20 D．60 解析　根据题意，可分为两类：①当新节目插在中间的四个空隙中的一个时，有CA＝4×2＝8种方法；②当新节目插在中间的四个空隙中的两个时，有A＝4×3＝12种方法，由分类加法计数原理得，共有8＋12＝20种不同的插法． (2)2025年4月24日神舟二十号发射成功，神十九与神二十乘组航天员在太空会师，6名航天员分两排合影留念，若从神十九和神二十每组的3名航天员中各选1人站在前排，后排的4人要求同组的2人必须相邻，则不同的站法有(B) A．72种 B．144种 C．180种 D．288种 解析　因为第一排的站法有CCA＝18(种)，第二排的站法有AAA＝8(种)，所以不同的站法有18×8＝144(种)．故选B. ,, 求解排列与组合问题的方法 (1)直接法：相邻问题采用“捆绑法”，不相邻问题采用“插空法”．解决定序问题，可先不考虑顺序限制，排好后，再除以定序元素的全排列数． (2)间接法：对于分类过多的问题，一般利用间接法求解． 训练2　(1)将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额，则不同的分配方案种数为(B) A．15 B．35 C．56 D．70 解析　将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额，可类比为用3个隔板插入8个小球中间的空隙中，将球分成4堆，由于8个小球中间共有7个空隙，因此共有C＝35种不同的分法． (2)某校大一新生A，B，C，D欲加入该校的文学社、书法社、羽毛球社．已知这4名大一新生每人只加入了1个社团，则这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有(C) A．21种 B．30种 C．42种 D．60种 解析　4名大一新生分成2个组，一组1人另一组3人或2个组各2人，有C＋种方案，3个社团选择2个社团，有C种方案，把2个组分配给2个社团，有A种方案，由题意可得这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有CA＝42(种)．故选C. 微点三　二项式定理 例3　(1)(2025·泰安一模)若n的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为(C) A．－240 B．－60 C．60 D．240 解析　由题意2n＝64，解得n＝6.展开式通项为Tr＋1＝C6－r(－2x)r＝C(－2)r·xr－3，由题意得r－3＝0，解得r＝2，所以常数项为T3＝C(－2)2·x0＝60.故选C. (2)(2025·北京高考)已知(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，则a0＝_1_；a1＋a2＋a3＋a4＝_15_. 解析　令x＝0，则a0＝1，又(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，故(1－2x)4＝a0＋a1(－2x)＋a2(－2x)2＋a3(－2x)3＋a4(－2x)4，令t＝－2x，则(1＋t)4＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4，令t＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝24，故a1＋a2＋a3＋a4＝15，故答案为1,15. (3)(x＋y)7的展开式中x2y5的系数为36，则a的值为 . 解析　因为(x＋y)7的二项展开式为Tr＋1＝Cx7－ryr，r＝0,1,2，…，7，令r＝5，可得T6＝Cx2y5＝21x2y5；令r＝6，可得T7＝Cxy6＝7xy6；可得a×T6－·T7＝a×21x2y5－×7xy6＝x2y5，所以21a－7＝36，解得a＝. ,, (1)求(a＋b)n的展开式中的特定项一般要应用通项Tk＋1＝Can－kbk(k＝0,1,2，…，n)． (2)求两个因式积的特定项，一般对某个因式用通项，再结合因式相乘，分类讨论求解． (3)求三项展开式的特定项，一般转化为二项式求解或用定义法． (4)求解系数和问题应用赋值法． 训练3　(1)(2025·赣州一模)(多选题)已知(2x＋1)(x－2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7(a7≠0)，则(ACD) A．n＝6 B．a5＝－108 C．a0＋a1＋a2＋…＋a7＝3 D．a0＋a2＋a4＋a6＝－363 解析　由(2x＋1)(x－2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，所以(x－2)n的展开式中最高次项为6次项，即n＝6，故A正确；(x－2)6的展开式中，x4的系数为C(－2)2＝60，x5的系数为C(－2)1＝－12，则a5＝2×60＋1×(－12)＝108，故B错误；令x＝1，得(2＋1)×(1－2)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a7＝3，故C正确；令x＝－1，得(－2＋1)×(－1－2)6＝a0－a1＋a2＋…＋a6－a7＝－729，所以，a0＋a2＋a4＋a6＝＝－363，故D正确．故选ACD. (2)(2025·湖北一模)已知在n，n∈N*的展开式中，有且只有第4项的二项式系数最大，则展开式中x3的系数为_60_. 解析　依题意可知n＝6，6的展开式通项为Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－2)rx6－r(r＝0,1,2,3,4,5,6)，令6－r＝3，则r＝2，故x3的系数为C(－2)2＝60. 1．(2023·新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(D) A．C·C种 B．C·C种 C．C·C种 D．C·C种 解析　根据分层随机抽样的定义知初中部共抽取60×＝40(名)，高中部共抽取60×＝20(名)，根据组合数公式和分步乘法计数原理得，不同的抽样结果共有C·C种．故选D. 2．(2022·新课标Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(B) A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 解析　解法一(直接法)：第一种情况：甲站在最中间，丙丁站在甲的左边或右边有2种选择，然后丙丁两个内部全排，乙戊在剩下的两个位置全排列，有2AA＝8种站法．第二种情况：甲站在左二或右二有2种选择，以甲站左二位置为例，丙丁在甲的右侧三个位置中相邻有2种选择，然后丙丁两个内部全排列，乙戊在剩下的两个位置全排列，有2×2AA＝16种站法．所以甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式共有8＋16＝24种．故选B. 解法二：(间接法)丙和丁相邻共有A·A种站法，甲站在两端且丙和丁相邻共有C·A·A种站法，所以甲不站在两端且丙和丁相邻共有A·A－C·A·A＝24种站法，故选B. 3．(2025·天津高考)在(x－1)6的展开式中，x3项的系数为_－20_. 解析　(x－1)6展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx6－k(－1)k＝(－1)kCx6－k，令6－k＝3，得k＝3，所以x3项的系数为(－1)3C＝－20. 4．(2024·全国甲卷)10的展开式中，各项系数中的最大值为_5_. 解析　10的展开式的通项为Tr＋1＝C10－rxr，则各项的系数分别为C10，C9，C8，C7，C6，C5，C4，C3，C2，C1，C0，观察发现二项式系数先增大后减小，且前后对称，指数式递增，分别计算C5，C4，C3，C2，C1，C0，比较可得，C2＝5最大． 5．(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有_64_种(用数字作答)． 解析　当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有CC＝16种．当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有CC＝24种；②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有CC＝24种．综上所述，不同的选课方案共有16＋24＋24＝64种． 6．(2022·新课标Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中，x2y6的系数为_－28_(用数字作答)． 解析　(x＋y)8展开式的通项为Tr＋1＝C·x8－ryr，r＝0,1，…，7,8.令r＝6，得T6＋1＝Cx2y6；令r＝5，得T5＋1＝Cx3y5，所以(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为C－C＝－28. 学科网（北京）股份有限公司 $