6.进阶点3 “爪型”三角形及应用(专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

该高中数学讲义聚焦解三角形“爪型”结构热点，按中线、高线、角平分线及拓展类型系统梳理考点，通过真题精讲（如2023新课标Ⅱ卷、Ⅰ卷）、方法归纳（向量法、正余弦定理）、分层训练（例题+训练题），帮助学生构建解题框架，突破数学运算与逻辑推理难点。 讲义以核心素养为导向，创新采用“真题案例+多法对比”教学，如中线问题中通过向量法与余弦定理对比，培养逻辑推理与数学运算能力。设置基础例题到拓展训练的分层练习，配合即时方法总结，确保学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习进度、提升学生应考能力提供有力支持。

进阶点3　“爪型”三角形及应用 在解三角形中，“爪型”结构三角形问题是近几年高考的热点．所谓“爪型”结构三角形是指在给定的一个三角形中，连接一个顶点和对边上的任意一点构成的图形，这类问题可分为三角形的中线，高线以及角平分线问题，主要考查学生的数学运算，逻辑推理和直观想象等数学核心素养． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一　中线问题 例1　(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. 解　(1)因为D为BC的中点，所以S△ABC＝2S△ADC＝2××AD×DCsin∠ADC＝2××1×DC×＝，解得DC＝2，所以BD＝DC＝2，a＝4.因为∠ADC＝，所以∠ADB＝.在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以c＝. 解法一：在△ADC中，由余弦定理，得b2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC＝1＋4－2＝3，所以b＝.在△ABC中，由余弦定理，得cos B＝＝＝，所以sin B＝＝，所以tan B＝＝. 解法二：在△ABD中，由正弦定理，得＝，所以sin B＝＝，所以cos B＝＝.所以tan B＝＝. (2)解法一：(平面向量法) 如图，因为S△ABC＝bcsin∠BAC＝，所以sin∠BAC＝，由题意得＝(＋)，||＝1，所以4＝b2＋c2＋2bccos∠BAC，又因为b2＋c2＝8，所以cos∠BAC＝，因为sin2∠BAC＋cos2∠BAC＝1，所以bc＝4，所以b＝c＝2. 解法二：(利用“背靠背角”互补关系)因为D为BC的中点，所以BD＝DC.因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，则在△ABD与△ADC中，由余弦定理，得＋＝0，得1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)，所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝，所以a＝2. (另解)因为D为BC的中点，所以BC＝2BD.在△ABD与△ABC中，由余弦定理，得cos B＝＝，整理，得2BD2＝b2＋c2－2＝6，得BD＝，所以a＝2. 在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC＝＝＝－，所以S△ABC＝bcsin∠BAC＝bc＝bc＝＝，解得bc＝4.则由解得b＝c＝2. 训练1　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，S＝b2. (1)求A； (2)若△ABC的面积为3，a＝，D为边BC的中点，求AD的长． 解　(1)由题意得S＝·b2＝·b2＝·b2＝·b2，由正弦定理，得S＝·b2，即×bc sin A＝2bc cos A，所以tan A＝.又A∈(0，π)，所以A＝. (2)因为△ABC的面积为3，所以bc sin＝3，所以bc＝12.因为a＝，所以b2＋c2－2bc cos＝13，即b2＋c2－bc＝13，所以b2＋c2＝25.因为D是边BC的中点，所以＝(＋)，所以||2＝(b2＋c2＋2bc·cos∠BAC)＝(b2＋c2＋bc)＝，所以||＝，所以AD的长为. 类型二　高线问题 例2　(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C,2sin(A－C)＝sin B. (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 解　(1)因为A＋B＝3C，A＋B＋C＝π，所以4C＝π，所以C＝，因为2sin(A－C)＝sin B，所以2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，所以2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C，所以sin Acos C＝3cos Asin C，所以sin A＝3×cos A，所以sin A＝3cos A，即cos A＝sin A，又因为sin2A＋cos2A＝1，所以sin2A＋sin2A＝1，解得sin2A＝，又因为A∈(0，π)，所以sin A>0，所以sin A＝. (2)解法一：(结合三角函数求解) 如图，过点C作CD⊥AB于点D.由(1)可知∠ACB＝，sin A＝，cos A＝，所以sin B＝sin(A＋∠ACB)＝.因为＝＝5，所以BC＝3，所以CD＝BCsin B＝6. 解法二：(结合等面积法求解)由(1)可知sin A＝，cos A＝sin A＝，所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝，所以＝＝＝5，所以AC＝5sin B＝5×＝2，设AB边上的高为h，则AB·h＝×AC×AB×sin A，解得h＝6，即AB边上的高为6. 解法三：(结合两个直角三角形求解)过点C作CD⊥AB于点D，设CD＝h.由(1)可得∠ACB＝，tan A＝3，所以tan B＝－tan(A＋∠ACB)＝2，AD＝，所以BD＝.因为AB＝＋＝5，所以h＝6，即CD＝6. 训练2　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝sin Atan. (1)求C； (2)若a＝8，b＝5，CH是边AB上的高，且＝m＋n，求. 解　(1)△ABC中，＝sin Atan，由正弦定理和同角三角函数的商数关系，得＝，由倍角公式得＝.又因为A，C为△ABC的内角，所以A，C∈(0，π)，∈，所以sin A≠0，cos≠0.所以sin2＝，sin＝，则有＝，得C＝. (2)如图，a＝8，b＝5，∠ACB＝，·＝||||·cos∠ACB＝abcos∠ACB＝5×8×cos＝20，所以2＝b2＝25，2＝a2＝64，由题意知CH⊥AB，所以·＝0，即(m＋n)·(－)＝(m－n)(·)－m2＋n2＝20(m－n)－25m＋64n＝0.所以5m＝44n，所以＝. 类型三　角平分线问题 例3　(2025·江西一模)如图，在△ABC中，∠ACB的平分线与AB交于点D，AD∶AC∶CD＝3∶5∶7. (1)求cos∠ACB； (2)若BC＋BD＝8，求的值． 解　(1)在△ACD中，由题意得AD∶AC∶CD＝3∶5∶7，设AD＝3t，则AC＝5t，CD＝7t，则由余弦定理得cos∠ACD＝＝，因为CD是∠ACB的平分线，所以∠ACB＝2∠ACD，∠BCD＝∠ACD，由二倍角公式得cos∠ACB＝2cos2∠ACD－1＝2×2－1＝. (2)由(1)知cos∠ACD＝，易得sin∠ACD>0，所以sin∠BCD＝sin∠ACD＝＝，由余弦定理得cos∠ADC＝＝，结合诱导公式得sin∠BDC＝sin(π－∠ADC)＝sin∠ADC＝＝，在△BCD中，由正弦定理得＝＝＝，因为BC＋BD＝8，所以BD＝3，BC＝5，由余弦定理得cos A＝＝－，因为A∈(0，π)，所以A＝，由正弦定理得＝＝＝. 训练3　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B＋bcos A＝2ccos A. (1)求∠BAC的大小； (2)若b＝4，c＝6，设AD为△ABC的角平分线，求AD的长． 解　(1)由acos B＋bcos A＝2ccos A得sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos A，又因为sin Acos B＋sin Bcos A＝sin(A＋B)＝sin C，所以2sin Ccos A＝sin C，又因为C∈(0，π)，sin C>0，所以cos A＝，又因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)因为S△BAD＋S△DAC＝S△BAC，所以AB×ADsin∠BAD＋AD×ACsin∠DAC＝AB×ACsin∠BAC，又因为AB＝c＝6，AC＝b＝4，∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝，所以6AD×＋4AD×＝6×4×，所以AD＝. 类型四　“爪型”三角形的拓展 例4　(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝ －1 . 解析　解法一：(利用两次余弦定理列方程求解，即代数法)设BD＝x，CD＝2x，△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，在△ACD中，b2＝4x2＋4－2·2x·2·cos 60°，可得，b2＝4x2－4x＋4，在△ABD中，c2＝x2＋4－2·x·2·cos 120°，可得，c2＝x2＋2x＋4，要使得最小，即最小，＝＝4－，其中x＋1＋≥2，此时≥4－2，当且仅当x＋1＝，即x＝－1时，等号成立，即BD＝－1时，取得最小值－1. ① 解法二：(利用平面向量坐标法求解，即几何法)以D为坐标原点建立如图①所示平面直角坐标系，设BD＝x(x>0)，则D(0，0)，B(－x，0)，C(2x,0)，A(1，)，则有＝(2x－1，－)，＝(－x－1，－)，所以||＝＝，||＝＝，则有＝＝＝4－，其中x＋1＋≥2，此时≥4－2，当且仅当x＋1＝，即x＝－1时，等号成立，即BD＝－1时，取得最小值－1. 解法三：(利用等面积法求解，即代数法)设BD＝x，CD＝2x，如图②，过顶点A作AE⊥BC于点E，因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以BC×AE＝BD×ADsin 120°＋CD×ADsin 60°⇒×3x×AE＝×x×2×＋×2x×2×，化简得，AE＝.所以在Rt△ADE中，DE＝＝1，则BE＝x＋1，CE＝2x－1，在Rt△ACE中，AC2＝CE2＋AE2＝(2x－1)2＋3＝4x2－4x＋4，在Rt△ABE中，AB2＝BE2＋AE2＝(x＋1)2＋3＝x2＋2x＋4，则有＝＝＝4－，其中x＋1＋≥2，此时≥4－2，当且仅当x＋1＝，即x＝－1时，等号成立，即BD＝－1时，取得最小值－1. 训练4　记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 AD⊥BC，交BC边于D点，∠BAC＝120°，AD＝2，则S△ABC的最小值为 4 . 解析　(等面积法和余弦定理求解)如图，因为S△ABC＝bcsin∠BAC＝a×AD，∠BAC＝120°，AD＝2，所以a＝bc.在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc×cos 120°，化简得，b2c2＝b2＋c2＋bc≥2bc＋bc＝3bc，当且仅当b＝c时，等号成立，所以bc≥16，所以S△ABC＝bc×sin 120°≥4. 学科网（北京）股份有限公司 $