2.进阶点1 和差化积与积化和差公式及应用(专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

该高中数学讲义聚焦三角函数和差化积与积化和差公式，按公式梳理、题型分类（直接应用与融合应用）组织内容，结合2021全国乙卷等真题，通过考点解析、方法归纳、真题训练环节，帮助学生构建转化化简思路，突破三角计算难点。 资料以真题为导向，采用分层角度设计例题，如例2利用和差化积求最值，培养数学思维与推理能力。设置基础应用到综合融合的递进训练，配合即时方法总结，助力学生高效掌握公式应用，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

进阶点1　和差化积与积化和差公式及应用 和差化积与积化和差公式在数学中，特别是在三角函数的计算和化简过程中，是非常有用的工具，能将复杂的三角函数和差或乘积形式转化为更简单的形式，从而简化计算过程．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．和差化积公式 sin θ＋sin φ＝2sincos sin θ－sin φ＝2cossin cos θ＋cos φ＝2coscos cos θ－cos φ＝－2sinsin 2．积化和差公式 sin α·cos β＝ cos α·sin β＝ cos α·cos β＝ sin α·sin β＝－ 题型一　和差化积公式的应用 角度1：和差化积公式的直接应用 例1　(1)(2021·全国乙卷)cos2－cos2＝(D) A. B. C. D. 解析　　cos 2－cos 2＝＝2coscos·＝－sinsin＝，故选D. (2)已知sin α＋sin β＝，tan＝，则cos α＋cos β＝ . 解析　　依题意，sin α＋sin β＝2sincos＝，则sincos＝，又tan＝＝，则coscos＝，所以cos α＋cos β＝2coscos＝. 角度2：和差化积公式的融合应用 例2　(1)若A＋B＝，则sin A＋sin B的最大值是 . 解析　　sin A＋sin B＝2sincos＝cos≤，当且仅当A＝B＝时取等号，则sin A＋sin B的最大值为. (2)已知x1，x2是函数f(x)＝cos 3x－cos 2x，x∈(0，π)的两个零点，则|x1－x2|＝ . 解析　　f(x)＝cos 3x－cos 2x＝－2sin·sin＝－2sinsin，则令－2sinsin＝0，当sin＝0时，因为x∈，则∈，此时无解，当sin＝0，因为x∈，则∈，则＝π或2π，解得x＝或x＝，则＝－＝. 题型二　积化和差公式的应用 角度1：积化和差公式的直接应用 例3　(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos(2α＋2β)＝(B) A. B. C．－ D．－ 解析　　由积化和差公式得cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]＝，又sin(α－β)＝，所以sin(α＋β)＝，所以cos(2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝. (2)若coscos＝－，则sin 2α＝(C) A. B．－ C. D．－ 解析　　因为coscos＝×＝×＝＝－，所以sin 2α＝. 角度2：积化和差公式的融合应用 例4　(1)(2025·湖北联考)(多选题)如图所示，已知角α，β 的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为A，B，M为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则下列说法正确的是(ACD) A．∠BOC＝ B.·＋1＝||2 C.·＝|| D．点M的坐标为 解析　因为角α，β的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为A，B，且M为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，所以OA＝OB，所以∠BOC＝∠BOA＝，故A正确；易知A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)，所以·＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(β－α)，所以·＋1＝cos(β－α)＋1＝2cos2，||2＝||2cos2∠BOC＝cos2，所以·＋1≠||2，故B错误；因为·＝||||cos∠AOC＝cos＝||，故C正确；因为xM＝(xA＋xB)＝(cos α＋cos β)＝cos·cos，yM＝(yA＋yB)＝(sin α＋sin β)＝sincos，故D正确．故选ACD. (2)1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法， 要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等分，高斯基碑上刻着如图所示的图案．设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为α，则＝_15_. 解析　　由题意可知：α＝.又＝＝＝2cos 2＝1＋cos kα. 所以＝16＋os kα＝16＋os， 又os＝＝＝＝＝－1.所以＝16＋os＝16－1＝15. 学科网（北京）股份有限公司 $