1.微专题1 三角恒等变换、三角函数图象与性质(专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

该高中数学高考复习讲义聚焦三角恒等变换、三角函数图象与性质核心考点，按“公式梳理-恒等变换-图象分析-性质应用”逻辑架构知识体系，通过考点清单（同角关系、两角和差等公式）、方法指导（变角变式、整体代换技巧）、真题训练（新课标卷及模拟题）等环节，帮助学生构建系统知识网络，突破变换化简、图象变换、性质分析等难点。 讲义突出“真题引领+分层突破”特色，如三角恒等变换中结合tanαtanβ=2推导cos(α-β)，培养学生数学思维与推理能力，三角函数性质通过整体代换转化为正弦函数性质分析，提升数学语言表达能力。设置基础例题、综合训练题，配合解题策略总结，助力学生高效掌握高考高频考点，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

微专题1　三角恒等变换、三角函数图象与性质 1.同角三角函数的基本关系式的变形 sin2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α) (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α＝1±sin 2α 2．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝. 3．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α ＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝. 4.半角公式 sin ＝±，cos ＝±， tan ＝±＝＝. 5．辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)， 其中tan φ＝. 6．恒等变换常用结论 (1)sin2α＝，cos2α＝. (2)1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α. (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． 7.三角函数的性质 性质 定义域 值域 对称性 最小正 周期 单调性 y=sin x R [-1,1] 对称轴:直线x=kπ+,k∈Z; 对称中心:(kπ,0),k∈Z 2π 递增区间:,k∈Z; 递减区间:,k∈Z y=cos x R [-1,1] 对称轴:直线x=kπ,k∈Z; 对称中心:,k∈Z 2π 递增区间:[2kπ-π,2kπ],k∈Z; 递减区间:[2kπ,2kπ+π],k∈Z y=tan x R 无对称轴; 对称中心:,k∈Z π 递增区间:,k∈Z; 无递减区间 8.关于三角函数奇偶性的常用结论 (1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得． (2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得． (3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数. 微点一　三角恒等变换 例1　(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝(A) A．－3m B．－ C. D．3m 解析　由cos(α＋β)＝m得cos αcos β－sin αsin β＝m　①.由tan αtan β＝2，得＝2　②，由①②得所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m. (2)(2025·全国二卷)已知0<α<π，cos＝，则sin＝(D) A. B. C. D. 解析　cos α＝2cos2－1＝2×－1＝－，因为0<α<π，所以sin α＝，所以sin＝(sin α－cos α)＝×＝. , , (1)三角化简问题总的方向是变角与变式，达到“角、名和次”以及结构的统一． (2)常见技巧涉及换元法、切化弦、整体代换等方法． (3)求角问题要考虑对应三角函数值与特殊角之间的关系，是单一值还是多个值. 训练1　(1)(2025·宁夏银川模拟)利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°～90°之间的三角函数值，下表是部分5°的奇数倍锐角的正切值(用字母代替)，则cos 2 210°＝(B) α 5° 15° 25° 35° tan α m n p q A. B. C. D. 解析　cos 2 210°＝cos (6×360°＋50°)＝cos 50°＝cos225°－sin225°＝＝＝. (2)(2025·保定模拟)α，β均为锐角，且＝，则α＋β＝ . 解析　因为＝，所以＝，所以＝－，则＝－，整理得－tan α－tan β＝1－tan αtan β，所以tan(α＋β)＝＝－1，又α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝. 微点二　三角函数的图象 考向1　三角函数图象的变换 例2　(1)将函数y＝2cos的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(D) A．y＝2cos B．y＝2cos C．y＝2cos D．y＝－2cos 解析　函数周期T＝＝π，所以函数y＝2cos的图象向右平移个周期可得y＝2cos＝2cos＝－2cos＝－2cos＝－2cos. (2)将函数f(x)＝2sin 的图象向左平移m(m>0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则m的值可以是(D) A. B．π C. D. 解析　将函数f(x)＝2sin的图象向左平移m个单位长度，得到y＝2sin＝2sin的图象．因为y＝2sin的图象关于原点对称，所以2m－＝kπ，k∈Z，即m＝＋，k∈Z，当k＝3时，得m＝，而使m＝＋＝，m＝＋＝π，m＝＋＝的整数k均不存在． 考向2　三角函数的图象与解析式 例3　 (2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝ － . 解析　对比正弦函数y＝sin x的图象易知，点为“五点法”画图中的第五点，所以ω＋φ＝2π　①.由题知|AB|＝xB－xA＝，两式相减，得ω(xB－xA)＝，即ω＝，解得ω＝4.代入①，得φ＝－，所以f(π)＝sin＝－sin＝－. 训练2　(1)(2025·长沙模拟)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，则该函数的解析式可以是(C) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 解析　由题图可得，A＝2，T＝－＝π，即T＝π＝，即ω＝±2，观察各选项可知，本题考虑ω＝2即可，则y＝2sin(2x＋φ)，把点代入y＝2sin(2x＋φ)中，可得sin＝1，故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，所以当k＝0时，y＝2sin＝2sin. (2)(2025·温州模拟)已知f(x)＝2tan(ωx＋φ)，f(0)＝，最小正周期T∈，f(x)图象的一个对称中心为点，则f＝ － . 解析　由f(0)＝，可得2tan φ＝，tan φ＝，又|φ|<，所以φ＝.因为f(x)图象的一个对称中心为点，故ω＋＝，k∈Z，得ω＝3k－1，k∈Z.因为T∈，所以<<，解得<ω<4，所以ω＝2.f(x)＝2tan，所以f＝2tan＝－. 微点三　三角函数的性质 例4　(1)(2025·全国一卷)已知点(a,0)(a>0)是函数y＝2tan的图象的一个对称中心，则a的最小值为(B) A. B. C. D. 解析　令x－＝，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，故y＝2tan的图象的对称中心为，k∈Z，由题意知a＝＋，k∈Z，又a>0，则a的最小值为.故选B. (2)(2024·新课标Ⅱ卷)(多选题)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin，下列说法中正确的有(BC) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 解析　对于A，令f(x)＝0，则x＝，k∈Z，又g≠0，故A错误；对于B，f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确；对于C，f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确；对于D，f(x)图象的对称轴方程为2x＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，g(x)图象的对称轴方程为2x－＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同，故D错误. , , 研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，然后结合正弦函数y＝sin x的性质求f(x)的性质． 思路①：根据y＝sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项； 思路②：另一种是由x的值或范围求得t＝ωx＋φ的范围，然后由y＝sin t的性质判断各选项． 训练3　(1)(2025·聊城一模)(多选题)已知函数f(x)＝cos 2x＋sin 2x，x∈R，则(BD) A．f(x)的最小正周期为2π B．f(x)在上单调递增 C．直线x＝是曲线y＝f(x)的一条对称轴 D．将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度得到y＝－2cos 2x的图象 解析　因为f(x)＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，对于A选项，函数f(x)的最小正周期为＝π，A错；对于B选项，当0≤x≤时，≤2x＋≤，所以f(x)在上单调递增，B对；对于C选项，因为f＝2sin＝1，故直线x＝不是曲线y＝f(x)的一条对称轴，C错；对于D选项，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝2sin＝2sin＝－2cos 2x的图象，D对． (2)(2025·锦州模拟)若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx－1在[0,2π]上恰有5个零点，且在上单调递增，则正实数ω的取值范围是 . 解析　依题意，函数f(x)＝2sin－1，由f(x)＝0，得sin＝，则ωx＋＝2kπ＋或ωx＋＝2kπ＋，k∈Z，由x∈[0,2π]，得ωx＋∈，由f(x)在[0,2π]上恰有5个零点，得≤2πω＋<，解得≤ω<，由－≤ωx＋≤，得－≤x≤，即函数f(x)在上单调递增，因此⊆，即－≤－，且≥，解得0<ω≤，所以正实数ω的取值范围为. 1．(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin＝(D) A. B. C. D. 解析　解法一：由题意，cos α＝＝1－2sin2，得sin2＝＝＝2，又α为锐角，所以sin＞0，所以sin＝. 解法二：由题意，cos α＝＝1－2sin2，得sin2＝，将选项逐个代入验证可知D选项满足． 2．(2025·天津高考)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<π)在上单调递增，且x＝为f(x)图象的一条对称轴，是f(x)图象的一个对称中心，当x∈时，f(x)的最小值为(A) A．－ B．－ C．－1 D．0 解析　因为f(x)在上单调递增且x＝为f(x)图象的一条对称轴，所以×≥－，f＝sin＝1，得0<ω≤2，且ω＋φ＝＋2k1π(k1∈Z)　①.因为是f(x)图象的一个对称中心，所以f＝sin＝0，得ω＋φ＝k2π(k2∈Z)　②，由①②得ω＝－2＋4(k2－2k1)(k1，k2∈Z)，结合0<ω≤2，得ω＝2，则φ＝＋2k1π(k1∈Z)，又－π<φ<π，所以φ＝，故f(x)＝sin.当x∈时，2x＋∈，所以f(x)的最小值为f＝sin＝－.故选A. 3．(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin(α＋β)＝ － . 解析　由题知tan(α＋β)＝＝＝－2，即sin(α＋β)＝－2cos(α＋β)，又sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，可得sin(α＋β)＝±.由2kπ<α<2kπ＋，k∈Z,2mπ＋π<β<2mπ＋，m∈Z，得2(k＋m)π＋π<α＋β<2(k＋m)π＋2π，k＋m∈Z.又tan(α＋β)<0，所以α＋β是第四象限角，故sin(α＋β)＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $