课时测评11 多面体与棱柱-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

课时测评11　多面体与棱柱 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．下列几何体中是棱柱的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C 解析：棱柱的定义：有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体叫做棱柱．观察图形满足棱柱概念的几何体有①③⑤，共3个．故选C． 2．下列关于棱柱的说法中，错误的是(　　) A．三棱柱的底面为三角形 B．一个棱柱至少有五个面 C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等 D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形 答案：C 解析：有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体叫做棱柱，底面是三角形的棱柱叫做三棱柱，显然A正确； 底面边数最少的棱柱是三棱柱有五个面 ，故B正确； 若斜棱柱的底面是正方形，有一对侧面垂直于底面，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，故C错误； 根据五棱柱的定义，显然D正确．故选C． 3．设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，这些集合间的关系是(　　) A．Q⊇N⊇M⊇P B．Q⊇M⊇N⊇P C．P⊇M⊇N⊇Q D．P⊇N⊇M⊇Q 答案：D 解析：正方体是侧棱长等于底面边长的正四棱柱，正四棱柱的上、下两个底面都是正方形，其余各面都是矩形，因此正四棱柱一定是长方体，长方体的侧棱和上、下两底面垂直，因此长方体一定是直四棱柱，故M，N，P，Q的关系为P⊇N⊇M⊇Q.故选D． 4．已知长方体所有棱的长度之和为28，一条体对角线的长度为，则该长方体的表面积为(　　) A．32 B．20 C．16 D．12 答案：A 解析：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由题意可知，a＋b＋c＝＝7，＝⇒a2＋b2＋c2＝17，则(a＋b＋c)2＝49⇒a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝49，得2ab＋2bc＋2ac＝49－(a2＋b2＋c2)＝49－17＝32，即表面积为S＝2(ab＋bc＋ac)＝32．故选A． 5．下列说法正确的是(　　) A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形 答案：D 解析：有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱，故A、B错误； 对于C，各侧面都是正方形，底面也是正方形的四棱柱是正方体，故C错误； 对于D，九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形，故D正确．故选D． 6．若一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱的长为________ cm. 答案：12 解析：依题意知该棱柱是五棱柱，所以每条侧棱的长为60÷5＝12(cm). 7．如图所示，是一个正方体的表面展开图，则图中“2”所对的面是________． 答案：7 解析：由已知中的正方体表面展开图可得：2和7对面，0和快对面，1和乐对面． 8．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________． 答案：8 解析：如图①为棱长为1的正方体礼品盒，把正方体的表面展开后拼成如图②所示的大正方形，则大正方形的面积即所求面积，由图知大正方形的边长为2，其面积为8． 9．(10分)如图，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，且AB＝BC＝，A1A＝2． (1)求该直三棱柱的表面积；(4分) (2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，求大棱柱表面积的最小值．(6分) 解：(1)该直三棱柱底面的面积为××＝1， 侧面积为2×(＋＋2)＝4＋4，故其表面积S＝6＋4. (2)设两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱时重合的面的面积为S1， 则大棱柱的表面积为2S－2S1，所以当重合的面的面积最大时，大棱柱的表面积最小． 因为侧面AA1C1C的面积最大， 所以大棱柱表面积的最小值为2S－2S四边形AA1C1C＝4＋8. 10．(10分)如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6 m，底面外接圆的半径是0.46 m，问：制造这个滚筒需要多少铁板(精确到0.1 m2)? 解：因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46 m， 所以底面正六边形的边长是0.46 m. 所以S侧＝ch＝6×0.46×1.6＝4.416(m2). 所以S表＝S侧＋S上底＋S下底＝4.416＋2××0.462×6≈5.5(m2). 故制造这个滚筒约需要5.5 m2铁板． 11．(5分)已知一个底面是菱形、侧面是矩形的四棱柱，侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是(　　) A．30 B．60 C．30＋135 D．135 答案：A 解析：由菱形的对角线长分别是9和15， 得菱形的边长为 ＝，则这个直棱柱的侧面积为4× ×5＝30.故选A． 12．(5分)如图①所示，已知正方体的面对角线长为a，沿阴影面将正方体切割成两块，拼成如图②所示的几何体，那么此几何体的表面积为________． 答案：(2＋)a2 解析：由已知得正方体的棱长为a，则正方体的表面积为3a2，新几何体的表面积比原来多了两个阴影部分的面积，少了正方体两个面的面积，故所求几何体的表面积为3a2＋2×a2－2×a2＝(2＋)a2． 13．(13分)已知正方体ABCD -A1B1C1D1． (1)正方体ABCD -A1B1C1D1是直棱柱吗？是正棱柱吗？(5分) (2)如图，平面BCEF将正方体ABCD -A1B1C1D1分成两部分后，各部分几何体还是直棱柱吗？(8分) 解：(1)根据多面体的结构特征，正方体ABCD-A1B1C1D1是直棱柱，是正棱柱； (2)根据多面体的结构特征，平面BCEF将正方体ABCD -A1B1C1D1分成两部分后，都是直棱柱． 14．(17分)如图①，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝5k，AC＝8k，AA1＝(k>0)，D，D1分别为AC，A1C1的中点，平面BB1D1D将三棱柱分成两个新的直三棱柱(如图②，③所示). (1)若两个新直三棱柱的表面积之和为72，求实数k的值；(7分) (2)将图②和图③两个直三棱柱重新组合成一个直四棱柱，若组成的所有直四棱柱的表面积都小于132，求实数k的取值范围．(10分) 解：(1)因为AB＝BC，D为AC的中点， 所以BD⊥AC， 又AB＝BC＝5k，AC＝8k， 所以BD＝3k， 易知三棱柱被平面BB1D1D分割成两个相同的直三棱柱， 每个直三棱柱的表面积为：3k×4k＋(3k＋4k＋5k)×＝12k2＋24， 所以两个新直三棱柱的表面积之和S＝24k2＋48＝72， 解得：k＝1． (2)由题可知：图②、图③的两个直三棱柱重新组合成一个直四棱柱时，共有4种可能的情形： ①当底面是边长为3k，4k的矩形，侧棱长为的直四棱柱时， 表面积S1＝2×3k×4k＋(3k＋4k)×2×＝24k2＋28， ②当底面是边长为5k，4k的平行四边形，侧棱长为的直四棱柱时， 表面积S2＝2×3k×4k＋(5k＋4k)×2×＝24k2＋36， ③当底面是边长为5k，3k的平行四边形，侧棱长为的直四棱柱时， 表面积S3＝2×3k×4k＋(5k＋3k)×2×＝24k2＋32， ④当底面是边长为3k，4k的四边形(非矩形)，侧棱长为的直四棱柱时， 表面积S4＝2×3k×4k＋(3k＋4k)×2×＝24k2＋28， 由上可知：表面积的最大值为24k2＋36， 由题意得24k2＋36<132， 解得0<k<2 所以实数k的取值范围为(0，2). 学科网（北京）股份有限公司 $